云南省昆明市禄劝县2025-2026学年高三上册入学考质量检测数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A.1 B. C.2 D.3.已知两个单位向量满足，则（）A.5 B.4 C.3 D.24.函数的定义域为（）A. B. C. D.5.若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.6.已知等差数列的公差为，则“是递增数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.已知实数满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.在中，，，以为直径的半圆弧和的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一组样本数据3，4，4，2，5，3，3，5，7，则该组数据的（）A.众数为3 B.极差为4 C.平均数为4 D.标准差为210.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（）A.若与不垂直，则也不垂直B.若，且，则C.若，则或D.若，，则11.已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（）A.若点的坐标为，则的最小值为3B.若，则线段的中点到轴的最小距离为2C.若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8D.若直线过点，则，（为坐标原点）的斜率之积为定值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为__________________．（用数字作答）13.已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为___________．14.已知且，若，则_____________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在等比数列中，，，且成等差数列．（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和．16.随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表：性别经常借助AI技术不经常借助AI技术合计男女50合计120（1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联；（2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望．参考公式：，．0.0500.0100.0053.8416.6357.87917.已知椭圆的离心率为．（1）求的方程；（2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程．18.如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且．（1）求证：；（2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上．①求平面截球的表面所得圆的周长；②求直线与平面所成角的正弦值．19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在上的值域；（3）若关于的方程在内有两个根，证明：．

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据交集概念求解即可.解答过程：由交集的定义知．故选：C．2.已知复数，则（）A.1 B. C.2 D.答案：D解析：思路：利用复数的除法运算、共轭复数和模的概念即可求解.解答过程：，则，所以.故选：D．3.已知两个单位向量满足，则（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：A解析：思路：根据题意可得，，结合数量积的运算律求模长.解答过程：由题意可知：，，所以.故选：A．4.函数的定义域为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.解答过程：由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为．故选：C．5.若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用双曲线的性质，结合离心率可求渐近线方程.解答过程：由题意知，所以，所以的渐近线方程为，即为，故选：A．6.已知等差数列的公差为，则“是递增数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：B解析：思路：由等差数列是递增数列，结合充分条件和必要条件的概念可得结果.解答过程：因为为等差数列，所以为递增数列，而“”是“”的必要不充分条件，所以“是递增数列”是“”的必要不充分条件.故选：B．7.已知实数满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可.解答过程：设，问题可转化为直线与圆有公共点．由，得，所以的取值范围为，故选：A8.在中，，，以为直径的半圆弧和的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设外接圆的圆心为，半径为，连接，先利用正弦定理可求得再在中利用余弦定理可求得,由扇形的面积减去的面积得弓形的面积，再结合为直径的半圆的面积即可求得结果.解答过程：设外接圆的圆心为，半径为，连接，∵，,由正弦定理，得.所以，即．在中，由余弦定理，得，又，所以，，所以弓形的面积为，又因为以为直径的半圆的面积为，所以月牙形区域的面积为．故选：B．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一组样本数据3，4，4，2，5，3，3，5，7，则该组数据的（）A.众数为3 B.极差为4 C.平均数为4 D.标准差为2答案：AC解析：思路：由众数定义判断选项A；计算极差判断选项B；计算数据平均数判断选项C；计算数据标准差判断选项D.解答过程：在样本数据3，4，4，2，5，3，3，5，7中，3出现了3次，出现的次数最多，所以众数是3，A选项正确；在这组数据中，最大值是7，最小值是2，则极差为，B选项错误；平均数为，故C选项正确；，数据方差，所以其标准差为，故D选项错误．故选：AC．10.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（）A.若与不垂直，则也不垂直B.若，且，则C.若，则或D.若，，则答案：BC解析：思路：根据题意，结合选项中给出的条件，依次分析直线与平面的可能位置关系，可得到正确答案.解答过程：由题可知，.与的关系可能相交，可能平行，也可能在其中的一个平面内.选项A：以正方体为例，与平面不垂直，平面平面，但.所以选项A错误；方法二，若与不垂直，当,与可能垂直（如下图）.所以选项A错误；选项B：在内任取不在直线上的一点，过直线与点作平面，设，又因为，所以.同理，由可得存在直线，不同于直线，使得，所以，又，，故，又，，所以，得到，故选项B正确；选项C：因为，所以，若，又，则，同理可得若，又，则．若都不成立，则，且，所以．又，所以与是同一条直线，这与题设矛盾．故中至少有一个成立，故或，故选项C正确；选项D：当，时有可能，故选项D错误．故选:BC．11.已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（）A.若点的坐标为，则的最小值为3B.若，则线段的中点到轴的最小距离为2C.若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8D.若直线过点，则，（为坐标原点）的斜率之积为定值答案：BCD解析：思路：利用抛物线焦点坐标得出，从而得出抛物线方程，准线方程，设抛物线上动点，利用两点间距离公式结合抛物线方程构建关于的不等式，求出最小值，判断选项A；根据抛物线定义，抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，结合图像判断选项B和C；设过点的的方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理得出，结合抛物线方程得出，计算的值，判断选项D.解答过程：已知，即，所以，故的方程为，设，则，所以，所以当时，，故A错误；如下图，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则的中点到轴的距离，当且仅当过点时等号成立，故B正确；如上图，中点横坐标为3，且抛物线准线为，则，当且仅当过点时等号成立，故C正确；若过点，设其方程为，代入的方程并整理，得，设，，则，所以，所以，故D正确．故选：BCD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为__________________．（用数字作答）答案：28解析：思路：根据二项式定理的展开通项即可得出答案.解答过程：展开式的通项为，令，得，故展开式的常数项为.故答案为：13.已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为___________．答案：解析：思路：数形结合，分在区间上的最大值是和1两种情况讨论.解答过程：如图：当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；当时，函数在区间上的最大值为1，最小值为.综上可知：实数的取值范围为．故答案为：14.已知且，若，则_____________．答案：解析：思路：先设，对原方程进行同构，转化为，再利用导数分析函数（）的单调性，求的值，再结合对数的运算法则求解.解答过程：令，则，若，则，所以不成立，所以，由，得，且，由，得，所以，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以．故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在等比数列中，，，且成等差数列．（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设的公比为，由成等差数列求出，可得的通项公式；（2）错位相减法求的前项和.（1）设的公比为，由，得，因为成等差数列，所以，所以，所以，解得（舍），或，又，所以.（2）由，得两边同乘以，得两式相减，得，所以．16.随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表：性别经常借助AI技术不经常借助AI技术合计男女50合计120（1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联；（2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望．参考公式：，．0.0500.0100.0053.8416.6357.879答案：（1）列联表为：性别经常借助AI技术不经常借助AI技术合计男7030100女5050100合计12080200有关联（2）的分布列为：0123期望为解析：思路：（1）根据题意完成表格，然后利用公式计算的值进行分析即可；（2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取男、女生人数，找出随机变量的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可.（1）列联表为：性别经常借助AI技术不经常借助AI技术合计男7030100女5050100合计12080200零假设为：是否经常借助AI技术与性别无关联．根据表中数据，得:，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常借助AI技术与性别有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.005．（2）采用按比例分配的分层随机抽样，男性抽取人数为，女性抽取人数为，所以随机变量的可能取值为，，，，，所以的分布列为：0123所以.17.已知椭圆的离心率为．（1）求的方程；（2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解；（2）设的方程为，联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合的面积为，列出方程求得的值，即可求解.（1）由题意知，椭圆的离心率为，可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，椭圆，可得，所以右焦点，由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为，联立方程组，整理得到，可得，设，则，所以，又由点到的距离，所以的面积，解得或（舍），所以，所以的方程为或，即直线的方程为或．18.如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且．（1）求证：；（2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上．①求平面截球的表面所得圆的周长；②求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）①；②解析：思路：（1）根据线面垂直的判定可证明平面，即可求证，（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，进而利用外接球的性质，结合勾股定理求解球心位置，或者利用空间中两点距离公式求解球心坐标，进而可求解所截的圆的半径，即可求解①，利用向量法即可求解②.（1）证明：由题意知平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）得两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．所以，设平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，