云南省曲靖市曲靖一中沾益清源高级中学2025-2026学年高一第二学期7月期末考试数学试题 含答案解析

数学满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（）A. B.2 C. D.2.在中，为边上的中线，则（）A. B.C. D.3.已知为钝角，且，则（）A. B. C. D.4.已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（）A. B. C. D.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（）A. B. C. D.7.设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分）9.已知角的终边经过点，且，则（）A. B.C. D.10.若复数，，则下列命题中正确的是（）A.当或2时，是纯虚数B.当时，C.当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限D.若，则11.如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最大值为D.若，则的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则______.13.向量，，若向量，的夹角为钝角，则x的取值范围为________14.如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）15.已知复数，.（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）若是关于的方程的一个根，求的值.16.在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.问题：在中，角所对的边分别为，已知_________.（1）求；（2）若的外接圆半径为1，且，求.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.17.已知正方体的棱长为2.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.18.在中，内角对应的边分别是，且．（1）求角A的大小；（2）若的面积是，求的周长；（3）若为锐角三角形，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为．①求证：平面平面；②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由．

数学满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（）A. B.2 C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，则，其虚部为2．2.在中，为边上的中线，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用向量的线性运算求解即可.解答过程：如图，故选：C.3.已知为钝角，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：

由二倍角公式，代入得，整理得.已知为钝角，则.因此.4.已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：思路：结合空间线面、面面平行与垂直的判定及性质，逐一分析各选项的正误。解答过程：对选项A：若，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故A错误；对选项B：由面面平行的性质可知，若两个平行平面中的一个与一条直线垂直，则另一个平面也与该直线垂直，因此当，时，，故B正确；对选项C：若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直，故C错误；对选项D：若，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故D错误。5.若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设圆锥底面直径为，圆锥的高为，则圆锥底面半径为，球的半径为圆锥的体积与球的体积相等，所以，解得，所以圆锥母线长为：，所以圆锥侧面积，球的表面积，所以，即圆锥的侧面积与球的表面积之比为.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出，，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出．解答过程：由题意可得：，且，，解得：，所以（负值不符合题意舍去），.故选：C7.设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用向量在向量上的投影向量公式，由系数相等得到夹角的关系式，从而求解.解答过程：向量在向量上的投影向量为，其中为与的夹角，且，因为在上的投影向量为，所以,将，代入得，解得，因为，且，所以.8.若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由函数在上单调递增及，结合正弦函数单调性与零点性质，得到的取值范围和的含参表达式；再由推出为对称轴，建立的另一含参表达式；联立两式解出，回代并结合的条件，最终确定．解答过程：因为，在上单调递增，，，所以且，所以，，又，则，故，所以，解得，因，则，所以，又，则当，时，．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分）9.已知角的终边经过点，且，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：由题意可判断角的终边落在第三象限，求出，，利用诱导公式即可得解.解答过程：点的纵坐标为，且．角的终边落在第三象限，又，（负根舍去），，，，，，所以AD正确，BC错误.10.若复数，，则下列命题中正确的是（）A.当或2时，是纯虚数B.当时，C.当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限D.若，则答案：BD解析：思路：利用复数的基本概念依次分析各选项即可.解答过程：选项A，实部：，解得或.时，虚部；时，虚部，此时为实数，不是纯虚数，故A错误.选项B，当时，，，所以，故B正确.选项C，复数在复平面内所对应的点在第三象限时，，解得：，即，故C错误.选项D，因为，只有实数才能比较大小，因此都必须为实数.为实数：虚部，代入，，满足，故D正确.11.如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最大值为D.若，则的最大值为答案：ABD解析：思路：由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；将目标式子转换为三角函数即可判断D．解答过程：对于A，由题意得，故A正确；对于B，由A知，，则，故B正确；对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，设，所以，当时，的最大值为5，故C错误；对于D，由题意得，可得，因为，所以，，因为，所以当时，取得最大值，故D正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则______.答案：##解析：思路：由正弦定理可得边的关系，即可根据余弦定理求解.解答过程：由，故，设，，故13.向量，，若向量，的夹角为钝角，则x的取值范围为________答案：解析：解答过程：因为向量，的夹角为钝角，所以且，不反向共线.由，得，所以；由，不反向共线，得，所以；所以，的夹角为钝角，可得x的取值范围是.14.如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______.答案：解析：思路：作出截面图形，可知小球最大半径满足，求出半径后代入球的表面积公式即可得解.解答过程：设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下：由题意得，，因为，所以，解得，小球的表面积为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）15.已知复数，.（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）若是关于的方程的一个根，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值；（2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值.（1）由题意可知：，因为z是纯虚数，则，解得.（2）因为是关于的方程的一个根，则，整理得，则，解得，，所以.16.在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.问题：在中，角所对的边分别为，已知_________.（1）求；（2）若的外接圆半径为1，且，求.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）选择条件①根据余弦定理边角互化可求解，选择条件②根据正弦定理边化角结合三角恒等变换求解；（2）根据余弦的和差角公式可得，进而利用正弦定理可得，，由余弦定理即可求解.（1）选择条件①：因为，在中，由余弦定理可得，化简得，由余弦定理可得，因为，所以.选择条件②：因为，由正弦定理得，.即，则，因为，，所以，因为，所以.（2）因为，所以，即，即，又因为，所以.由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，可得，所以，由余弦定理可得，所以.17.已知正方体的棱长为2.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量坐标，通过计算数量积为，从而可证；（2）求得和平面的法向量，利用点面距离的向量公式即可求解.（1）以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系．由正方体的棱长为2知，则，，因为，所以，所以；（2），，设平面的法向量为，因为，，所以，令，则，，所以，设点到平面的距离为d，，则.18.在中，内角对应的边分别是，且．（1）求角A的大小；（2）若的面积是，求的周长；（3）若为锐角三角形，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果；（2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果；（3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果.（1）由正弦定理可得，即，因为，所以，则，即.（2）因为，所以，由余弦定理可得，即，所以，则，所以，则的周长为.（3）由可得，则，且为锐角三角形，则，解得，所以，则，所以，即的取值范围是.19.如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为．①求证：平面平面；②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由．答案：（1）取的中点F，连接，，又为的中点，则，且，又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，，则，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）①由题意知，，又是等边三角形，底面为直角梯形，则，，所以，即，又因为，且，所以平面，又平面，故平面平面．②取的中点，连接，，则，，又平面平面，且平面平面，所以平面，所以以为坐标原点，直线，，为轴