云南省文山州2025-2026学年高一第二学期学业质量监测数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数，则所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.样本数据的第三四分位数是（）A.21 B.26 C.39 D.644.角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（）A. B. C. D.5.设，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数的零点分别为，则，的大小顺序为（）A. B. C. D.7.文山州某中学高一学生甲、乙玩抛骰子游戏，游戏共进行两轮，每轮游戏相互独立，甲和乙各抛一枚质地均匀骰子1次为一轮游戏，在一轮游戏后，设事件：“甲抛得向上的点数是1”，事件：“乙抛得向上的点数是偶数”，事件：“甲和乙所得的点数之和能被5整除”，在两轮游戏后，设事件：“甲2次抛得向上的点数都是1且甲和乙4次抛得向上的点数之和能被6整除”，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互斥 B.C. D.8.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.1 B.0 C.-1 D.-2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在棱长为1的正方体中，连接线段，下列说法正确的是（）A.正方体的棱所在直线有6条与直线异面B.直线与平面所成角的正弦值为C.直线平面D.点到平面的距离为10.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.C.是偶函数D.取得最小值时的取值集合为11.已知点是的外心，，记，，设，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则___________．13.对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________．14.在棱长为的正四面体内放入一大一小的2个实心球，其中，大球与正四面体的各个面都相切，则小球的最大半径为___________．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2026年5月23日，滇超联赛第14轮比赛，如期在文山市盘龙体育馆举行，文山队主场迎战临沧队，赛场上文山州运动健将顶住压力、奋勇拼杀，以获得本场比赛的胜利，至此文山队继战胜保山、昭通后又力克临沧队，强势斩获三连胜．为了更好地推广足球运动和足球相关的文化，赛后有关部门随机邀请了200名观众做足球运动和足球文化方面的知识素养调研测试．现将数据按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计该次调研知识测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）按比例分层抽样从和两组中随机抽取了5名观众，现从已抽取的5名观众中随机抽取2名，求至少有1名观众的成绩在的概率．16.已知函数的最小值为-1．（1）求实数的值；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求函数的值域和单调递增区间．17.如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小．18.已知中，内角的对边分别为．（1）求；（2）若，与交于点，求的面积．19.函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，即．已知函数的图象关于点成中心对称，函数．（为自然对数的底数）（1）求函数的定义域，并判断函数的单调性（只需判断即可）；（2）求函数的对称中心；（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．

数学满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，2.在复平面内，复数，则所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：复数，则，所以所对应的点位于第二象限.3.样本数据的第三四分位数是（）A.21 B.26 C.39 D.64答案：D解析：思路：先将样本数据从小到大排序，再依据75%分位数（第三四分位数）的计算规则即可求得结果.解答过程：先对样本数据从小到大排序21，26，39，45，55，64，68，样本容量；；因此该组数据的第三四分位数为第6项64.4.角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则，所以.

5.设，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：取，成立，不成立，故，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件.6.已知函数的零点分别为，则，的大小顺序为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分别判断三个函数的单调性，结合零点存在性定理确定各零点的取值范围，再比较大小.解答过程：

定义域为，求导得，故在上单调递减，代入得，，由零点存在性定理得；

定义域为，求导得（），故在上单调递减，代入得，当时，故，由零点存在性定理得；令，整理得，因恒成立，故唯一零点，综上可得.7.文山州某中学高一学生甲、乙玩抛骰子游戏，游戏共进行两轮，每轮游戏相互独立，甲和乙各抛一枚质地均匀骰子1次为一轮游戏，在一轮游戏后，设事件：“甲抛得向上的点数是1”，事件：“乙抛得向上的点数是偶数”，事件：“甲和乙所得的点数之和能被5整除”，在两轮游戏后，设事件：“甲2次抛得向上的点数都是1且甲和乙4次抛得向上的点数之和能被6整除”，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互斥 B.C. D.答案：C解析：思路：应用互斥事件定义判断A，应用古典概型计算判断B,C,D.解答过程：甲抛得向上的点数是1，乙抛得向上的点数是2，可以同时发生，所以事件与事件不互斥，A选项错误；因为事件包含甲的点数及乙的点数（甲，乙）有4种基本事件，所以，B选项错误；因为事件包含甲的点数及乙的点数（甲，甲，乙，乙）有6种基本事件，所以，C选项正确；因为事件包含甲的点数及乙的点数（甲，甲，乙，乙）有1种基本事件，所以，D选项错误；8.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.1 B.0 C.-1 D.-2答案：A解析：思路：先根据对称性和奇偶性得出周期，再计算一个周期内的函数值之和即可.解答过程：因为，，所以，则，则，则，则是的一个周期，因为当时，，所以，，则，，则，则则二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在棱长为1的正方体中，连接线段，下列说法正确的是（）A.正方体的棱所在直线有6条与直线异面B.直线与平面所成角的正弦值为C.直线平面D.点到平面的距离为答案：ACD解析：思路：A.通过分类统计正方体12条棱与体对角线的位置关系，排除相交、平行的棱，直接数出异面棱数量；B.依据线面角定义确定对应夹角，在直角三角形中求出正弦值；C.利用线面垂直判定定理，证明直线垂直于平面内两条相交直线，即可证线面垂直；D.采用几何等体积法，求解点到平面的距离.解答过程：体对角线，底面对角线，侧面棱；正四面体各棱长均为.A.正方体共12条棱，分三类判断：与相交的棱（6条）：过点的棱；过点的棱，其中相交：共6条；与平行的棱：无，正方体棱均不平行于体对角线；异面棱：剩余6条：，因此有6条棱与异面，A正确；B.在正方体中底面，故为直线与平面所成的角，在直角中，，，B错误；C.底面正方形中，又，，得面，面，故，连接，正方形中；面，得，，故面，面，故，，平面，因此平面，C正确；D.三棱锥，底面是直角三角形，，高，，为边长的正三角形，面积，设点到平面距离为，则，因为，所以，解得，D正确.10.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.C.是偶函数D.取得最小值时的取值集合为答案：ABD解析：解答过程：最小正周期为，故A正确；由题意得，，则，因为，所以，故B正确；，则是奇函数，故C错误；令，得，故D正确.11.已知点是的外心，，记，，设，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：BCD解析：思路：A应用向量数量积的定义求值判断；B、C取线段的中点，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出判断；D取线段的中点，连接，应用向量垂直关系及数量级的运算律求值判断.解答过程：A：如图，，故不正确；B：因为，，所以是等边三角形，如图，取线段的中点，则，所以，故正确；C：因为，所以，则，，，故正确；D：取线段的中点，连接，因为，所以是等腰三角形，所以，，，故正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则___________．答案：解析：思路：由的单调性得出，再借助对数恒等式即可求得结果.解答过程：因为在上单调递增，所以，所以.13.对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________．答案：解析：思路：利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围.解答过程：已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9.因为一元二次不等式在上恒成立，所以，即，解得.所以.14.在棱长为的正四面体内放入一大一小的2个实心球，其中，大球与正四面体的各个面都相切，则小球的最大半径为___________．答案：##解析：思路：设大球球心为，半径为，小球球心为，半径为，当小球的半径最大时，小球与大球相切，且与正四面体的三个面相切，由，解得，再根据题意由求得即可.解答过程：设大球球心为，半径为，小球球心为，半径为，当小球的半径最大时，小球与大球相切，且与正四面体的三个面相切，如图所示：设正四面体的顶点在底面的射影点为，则为正的中心，延长交于点，则为的中点，因为是边长为的等边三角形，则，且，所以，所以正四面体的高为：，易知正四面体每个面都全等，故其表面积为，则，解得，由题意得，，因为，所以，即，解得.故小球的最大半径为.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2026年5月23日，滇超联赛第14轮比赛，如期在文山市盘龙体育馆举行，文山队主场迎战临沧队，赛场上文山州运动健将顶住压力、奋勇拼杀，以获得本场比赛的胜利，至此文山队继战胜保山、昭通后又力克临沧队，强势斩获三连胜．为了更好地推广足球运动和足球相关的文化，赛后有关部门随机邀请了200名观众做足球运动和足球文化方面的知识素养调研测试．现将数据按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计该次调研知识测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）按比例分层抽样从和两组中随机抽取了5名观众，现从已抽取的5名观众中随机抽取2名，求至少有1名观众的成绩在的概率．答案：（1），平均成绩为分；（2）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，再利用各组中点值乘以对应频率求和得到平均成绩；（2）根据频率之比确定分层抽样的人数，利用古典概型概率公式即可求解.（1）由频率分布直方图可知，组距为，所有矩形的面积之和为，即，解得．该次调研知识测试的平均成绩为：

；（2）成绩在的频率为，成绩在的频率为，两组频率之比为．因为按比例分层抽样抽取了名观众，所以成绩在的观众抽取了人，记为，成绩在的观众抽取了人，记为．从这名观众中随机抽取名，所有可能的抽取结果是：

，共种．记“至少有名观众的成绩在”为事件，则事件包含的基本事件有：

，共种．所以．故至少有名观众的成绩在的概率为．16.已知函数的最小值为-1．（1）求实数的值；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求函数的值域和单调递增区间．答案：（1）（2）值域为，单调递增区间为解析：（1），因此，由题意最小值为，所以，得（2）由（1）知依题意得，令，，则在的取值范围：，即值域为由解得结合定义域，取，得的单调递增区间是.17.如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小．答案：（1）连接交于O点，连接，则直三棱柱中，四边形为平行四边形，则O为的中点，又E为AB的中点，故，平面，平面，故平面；（2）解析：思路：（1）利用线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）设，推导出平面，利用锥体的体积公式可求出的值，利用线面角的定义可知，直线与平面所成角为，计算出的正切值，结合的取值范围可得出的值，即为所求.（1）略（2）取的中点为，连接、，因为，为的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，、平面，故平面，因为，，则，所以，因为平面，平面，则，因为，，所以四边形为矩形，设，则，所以，解得，因为平面，所以直线与平面所成角为，在中，，，所以，因为，故，因此直线与平面所成角为.18.已知中，内角的对边分别为．（1）求；（2）若，与交于