云南省昭通市昭通一中教研联盟2025-2026学年高二第二学期期末考试（B卷）数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.3.已知双曲线的一个焦点坐标为，则（）A.3 B.6 C. D.94.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（）A.纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） B.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C.横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D.纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）5.某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对100位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，这组数据的平均数和中位数的大小关系为（）A.平均数=中位数 B.平均数<中位数 C.平均数>中位数 D.无法确定6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知函数的定义域为，且，，则（）A. B.0 C.1 D.28.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列结论正确的是（）A.随机变量X服从二项分布，则B.相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱C.在线性回归分析中，若的值越大，则模型的拟合效果越好D.随机变量X服从正态分布，且，则10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（）A. B.为钝角三角形C.的面积为 D.外接圆的面积为11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（）A.椭圆C的离心率为 B.的周长为C.当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D.的最大值为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线是圆的一条对称轴，则______________．13.已知向量，满足，，则______________．14.棱台上下底面均为有一个内角是的菱形，且上下底面边长分别为4和6，高为，则该棱台的体积为______________．四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）设，求直线到平面的距离．16.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了100人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病21820未患该疾病78280合计8020100（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817.在数列中，，，．（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）求的前n项和．18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若与有两个交点，求实数a的取值范围．19.已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形．

数学答案满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由交集的运算即可求解.解答过程：由题意得.2.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由复数的除法运算结合共轭复数的概念即可求解.解答过程：因为，所以.3.已知双曲线的一个焦点坐标为，则（）A.3 B.6 C. D.9答案：D解析：解答过程：双曲线的标准方程为其中

设双曲线的焦距参数为，则

已知一个焦点坐标为，所以

因此4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（）A.纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） B.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C.横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D.纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）答案：C解析：思路：由指数的运算法则结合函数的图像变换即可求解.解答过程：因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象.5.某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对100位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，这组数据的平均数和中位数的大小关系为（）A.平均数=中位数 B.平均数<中位数 C.平均数>中位数 D.无法确定答案：B解析：思路：法一：根据给定的频率分布计算中位数，平均数，再根据它们的大小关系判断数据的分布形态；法二：通过偏态性质判断.解答过程：法一：组距为，先计算累计频率：频率：，频率：，累计，频率：，累计，频率：，累计，频率：，累计，此中位数在内，计算得：中位数，根据平均数公式可得：，，即平均数中位数，法二：通过偏态性质判断，该直方图长尾在左侧（左偏/负偏分布），左偏分布满足平均数中位数众数，则平均数小于中位数.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得因为所以即

由两角和的正切公式得

代入，得7.已知函数的定义域为，且，，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：A解析：思路：对于抽象函数使用赋值法先求出，再次赋值后即可求得的值.解答过程：令可得，所以，令可得，所以.8.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：C解析：思路：利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，解答过程：方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列结论正确的是（）A.随机变量X服从二项分布，则B.相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱C.在线性回归分析中，若的值越大，则模型的拟合效果越好D.随机变量X服从正态分布，且，则答案：BCD解析：思路：利用二项分布的方差公式计算可判断A；利用相关系数的性质可判断B；利用决定系数的性质可判断C；根据正态密度曲线的对称性可判断D.解答过程：对于A，，故A错误；对于B，相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，故B正确；对于C，在线性回归分析中，若的值越大，则模型的拟合效果越好，故C正确；对于D，正态曲线关于直线对称，且，则，故D正确．10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（）A. B.为钝角三角形C.的面积为 D.外接圆的面积为答案：AB解析：思路：基于已知的三边长，综合运用余弦定理、正弦定理以及三角形面积公式，逐一计算并验证各选项即可.解答过程：对于A，由余弦定理知，因为，所以，A正确；对于B，因为，所以B最大，由余弦定理知，所以，故为钝角三角形，B正确；对于C，的面积，C错误；对于D，因为，所以外接圆的半径，所以外接圆的面积为，D错误.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（）A.椭圆C的离心率为 B.的周长为C.当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D.的最大值为答案：ACD解析：思路：由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D.解答过程：由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故对于A选项,离心率，A选项正确；对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误；对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确；对于D选项，设，由余弦定理可得，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立，又因为余弦函数在上为减函数，且，故，即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线是圆的一条对称轴，则______________．答案：2解析：解答过程：由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．13.已知向量，满足，，则______________．答案：0解析：思路：由向量数量积的运算律结合条件即可求解.解答过程：由题意得，则，整理得，即.14.棱台上下底面均为有一个内角是的菱形，且上下底面边长分别为4和6，高为，则该棱台的体积为______________．答案：解析：思路：分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积.解答过程：上底面面积为，下底面面积为，由棱台体积公式可得：．四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）设，求直线到平面的距离．答案：（1）如图1，连接，图1在中，分别为,中点，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）1解析：思路：（1）利用三角形的中位线证得线线平行，进而根据线面平行的判定定理得出线面平行（2）利用第一问的线面平行性质将“线面距离”转化为“点面距离”，再通过作辅助线构建垂直关系，找出并计算出垂线段DF的长度.（1）略（2），在中，，，过点作，如图2，则有，且为的中点，图2则点为中点，，，因为是直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，平面，所以平面，由上知平面，所以到面的距离即为．16.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了100人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病21820未患该疾病78280合计8020100（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案：（1）（2）超声波检查结果与患该病有关解析：思路：（1）从列联表中得到“检查不正常”的样本总数以及其中的“患病”人数，通过计算两者比值来得出概率的估计值.（2）建立“检查结果与患病无关”的零假设，代入公式计算卡方值，并与给定的临界值比较大小即可求解.（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为．（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，根据表中数据可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.17.在数列中，，，．（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）求的前n项和．答案：（1）由题意得，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列．.（2）解析：思路：（1）由递推关系构造等比数列即可证明，结合等比数列的通项公式即可求得的通项公式.（2）使用分组求和分别求出等比数列的前项和与常数的前项和，将其相加即可.（1）即，所以.（2）由上知，则.18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若与有两个交点，求实数a的取值范围．答案：（1）当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）解析：思路：（1）先求导并明确函数的定义域，再以a