重庆市西南大学附属中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.=（）A. B. C. D.2.已知向量，满足，，则=（）A.8 B.4 C.2 D.-23.已知一圆锥轴截面为等边三角形，其母线长为2，则该圆锥表面积为（）A. B. C. D.4.某班有2名男同学，4名女同学，现从中选取3名同学组成一个乐队，要求乐队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的乐队数量是（）A.16 B.12 C.8 D.245.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则外接圆的半径为（）A. B. C. D.6.甲、乙、丙三人共同做一道数学题，每人答对该题的概率分别为，，，若答题时，三人互不影响，则三人中有人答对该题的概率是（）A. B. C. D.7.已知正方体，棱，靠近的三等分点分别为，，平面截正方体得两个几何体，体积分别记为，（），则（）A. B. C. D.8.若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则下列说法正确的是（）A.这两个图都是二部图的概率为B.这两个图至少有一个是二部图的概率为C.这两个图不都是二部图的概率为D.这两个图恰有一个是二部图的概率为二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分．9.设，为空间中两条不同直线，，为空间中不同的平面，下列说法正确的是（）A.，，则 B.，，则C.，，则或 D.，，，则10.事件，，为三个随机事件，且，，，则下列命题中错误的有（）A.若事件与互斥，则事件与也一定互斥B.若事件与相互独立，则事件与也一定相互独立C.若，则事件，互斥D.若事件与相互独立，且与相互独立，则与也一定相互独立11.A.若为线段的中点，则B.向量在向量上的投影向量为C.设为图2中三个正六边形边上的任意一点，则的最大值为D.若，且，则的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则三次都没有出现点数3的概率为_______________．13.某学校将数学成绩在130分及以上的称为“优秀水平”，其余成绩称为“一般水平”．现在统计某个班级高一期末考试的数学成绩，其中“优秀水平”有10人，“一般水平”有40人．“优秀水平”成绩的平均分为135，方差为，“一般水平”成绩的平均分为120分，方差为10．已知该班成绩的方差为50，则______________．14.在正四棱柱中，，，为棱靠近的四等分点，为四边形内一动点，且直线与底面所成的角为，则动点的轨迹长度为_____________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.设的内角，，的对边分别为，，，已知边上的中线，．（1）求角；（2）求面积的最大值．16.如图，四棱锥，底面是直角梯形，，，，，底面，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.2026年中国大奖赛热度高涨，某班共45名学生，统计每位学生每周观看赛事的时长（单位：小时）．现整理男、女生观赛时长数据如下：已知该班女生共20人，男生共25人．女生每周观赛时长原始数据如下：8.208.408.609.059.109.1510.5010.5011.2011.8012.2012.3012.5012.7013.1013.3013.5013.8015.2020.00男生每周观赛时长采用频率分布直方图，如下：（1）求该班女生每周观看赛事时长的第25百分位数（2）估计该班男生每周观看赛事时长的中位数．（3）从全班每周观赛时长小于12小时的学生中随机任选2人交流观赛感受．设事件：选出的2人中恰有1名女生；设事件：选出的2人中恰有1人观赛时长落在区间内；判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，点，分别为，的中点，点在线段上．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的正切值；（3）若为线段上的动点，设，求三棱锥的体积与四棱锥的体积之比（用含的式子表示）．19.由个实数组成的有序实数组称为维向量．设，称为的转置，记作．将个维向量，，，的转置，，，从左至右顺次排列构成数阵，记．例如，，，则．对任意维向量，和数阵，定义如下运算：①，特别地，若，则称与正交；若，则称为单位向量．②．③对任意且，，其中．（1）设，，，，直接写出和；（2）已知维向量，，均为单位向量，且两两正交．设，，存在正整数，使得．①求，，，的值及的最小值；②若，求证：对任意正整数，为定值，并求出该定值．

数学（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.=（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由复数的乘法运算求解．解答过程：．2.已知向量，满足，，则=（）A.8 B.4 C.2 D.-2答案：C解析：思路：由平面向量的数量积运算求解．解答过程：由，得，得①，由，得，得②，①②得，得．3.已知一圆锥轴截面为等边三角形，其母线长为2，则该圆锥表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先结合圆锥轴截面为等边三角形的性质和母线长求出底面半径，再分别计算侧面积与底面积，求和得到圆锥表面积.解答过程：由题意得圆锥母线长，圆锥轴截面为等边三角形，其三条边分别为两条母线和底面直径，因此底面直径等于母线长，即，解得底面半径，故该圆锥的侧面积，，因此该圆锥表面积.4.某班有2名男同学，4名女同学，现从中选取3名同学组成一个乐队，要求乐队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的乐队数量是（）A.16 B.12 C.8 D.24答案：A解析：解答过程：由于乐队不能全是男同学也不能全是女同学，故只能是1名男同学、2名女同学或2名男同学、1名女同学，1名男同学、2名女同学的选法总数为，2名男同学、1名女同学的选法总数为，因此满足要求的乐队数量是．5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则外接圆的半径为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由正弦定理求得，得到，求得，进而求得，即可求得外接圆的半径为.解答过程：由，可得，即，因为，可得，所以，又因为，可得，所以，又由，所以，设外接圆半径为，可得，所以.6.甲、乙、丙三人共同做一道数学题，每人答对该题的概率分别为，，，若答题时，三人互不影响，则三人中有人答对该题的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可得甲、乙、丙三人答错该题的概率分别为，，，由于答题时三人互不影响，故三人均答错该题的概率为，因此三人中有人答对该题的概率为.7.已知正方体，棱，靠近的三等分点分别为，，平面截正方体得两个几何体，体积分别记为，（），则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：得到平面截正方体所得图形后，可得截出的两个几何体分别为三棱台与正方体剩余部分，再借助棱台体积公式与正方体体积公式可得，，即可得解.解答过程：连接、、，由、分别为棱，靠近的三等分点，故，又由正方体性质可得，故，故四边形即为平面截正方体所得图形，则所得的两个几何体分别为三棱台与正方体剩余部分，设该正方体棱长为，则，故，故.8.若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则下列说法正确的是（）A.这两个图都是二部图的概率为B.这两个图至少有一个是二部图的概率为C.这两个图不都是二部图的概率为D.这两个图恰有一个是二部图的概率为答案：B解析：思路：先根据二部图的定义判断出仅有图（2）和图（3）是二部图，再利用古典概型和排列组合的相关知识即可求出对应的概率．解答过程：对于图（1）、（5）、（6），由于图中存在三角形，而三角形的三个顶点中必有两个同属于或同属于，故图（1）、（5）、（6）不是二部图；对于图（4），由于图中存在五边形，同理五边形的五个顶点中必有两个相邻的顶点同属于或同属于，故图（4）也不是二部图；对于图（2）、（3），将其顶点作如下标记，其中1代表该顶点属于集合，2代表该顶点属于集合，可知图（2）、（3）是二部图，所以六个图中仅有图（2）、（3）是二部图．因此对于A，选出的两个图都是二部图的概率为，故A错误；对于B，选出的两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确；对于C，由A知选出的两个图都是二部图的概率为，故两个图不都是二部图的概率为，故C错误；对于D，选出的两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分．9.设，为空间中两条不同直线，，为空间中不同的平面，下列说法正确的是（）A.，，则 B.，，则C.，，则或 D.，，，则答案：BCD解析：思路：A选项，根据线面平行与线线平行关系进行判断；B选项，根据线面垂直的性质进行判断；C选项，根据面面平行的性质判断；D选项，根据面面垂直的判定方法进行判断．解答过程：A选项，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能异面，也可能平行，故A错误；B选项，根据垂直于同一平面的两条直线互相平行可得B正确；C选项，两平面平行，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线在另一个平面内或与另一个平面平行，故C正确；D选项，由且，则或者，因为，根据面面垂直的判定定理可知，，故D正确．10.事件，，为三个随机事件，且，，，则下列命题中错误的有（）A.若事件与互斥，则事件与也一定互斥B.若事件与相互独立，则事件与也一定相互独立C.若，则事件，互斥D.若事件与相互独立，且与相互独立，则与也一定相互独立答案：ACD解析：思路：利用随机事件互斥、相互独立的定义与性质可判断B、C，通过举反例可判断A、D.解答过程：选项A，互斥事件的定义是两事件不能同时发生，即.举反例：掷一枚骰子，事件为“出现1点”，事件为“出现2点”，、互斥，但为“出现2，3，4，5，6点”，为“出现1，3，4，5，6点”，显然，事件与不互斥，故A错误；选项B，若，相互独立，则.推导可得：，因此与也相互独立，故B正确；选项C，由概率加法公式，又因为，只能推出，但概率为0的事件不一定是不可能事件（如连续型随机变量取某固定值的概率为0，但仍可能发生），无法推出，即不能判定、互斥，故C错误；选项D，事件的相互独立不具有传递性.举反例：掷两次均匀硬币，为“第一次正面向上”，为“第二次正面向上”，为“第一次正面向上”，此时与独立、与独立，但，与不独立，故D错误.11.A.若为线段的中点，则B.向量在向量上的投影向量为C.设为图2中三个正六边形边上的任意一点，则的最大值为D.若，且，则的取值范围为答案：A解析：思路：根据向量的数量积坐标公式，投影向量的坐标公式，距离公式和二次函数的关系式计算判断各个选项；解答过程：对于A，如图建立平面直角坐标系，则，若为线段的中点，则，所以，A正确；对于B，由题可知，，所以向量在向量上的投影向量为，B错误；对于C，设为图2中三个正六边形边上的任意一点，已知，则配方可得三个正六边形上的点离中心最远的点为，代入可得，C错误；对于D，，若，且，则，化简得，令，即代入方程化简得，这是关于的一元二次方程，有实数根的条件是：，解得，D错误；三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则三次都没有出现点数3的概率为_______________．答案：解析：解答过程：易知在抛掷骰子的过程中，每一次出现点数3的概率均为，由对立事件的概率运算性质可知，每一次没有出现点数3的概率均为，又因为三次抛掷骰子相互独立，因此三次都没有出现点数3的概率.13.某学校将数学成绩在130分及以上的称为“优秀水平”，其余成绩称为“一般水平”．现在统计某个班级高一期末考试的数学成绩，其中“优秀水平”有10人，“一般水平”有40人．“优秀水平”成绩的平均分为135，方差为，“一般水平”成绩的平均分为120分，方差为10．已知该班成绩的方差为50，则______________．答案：解析：解答过程：该班成绩的平均分，由，所以.14.在正四棱柱中，，，为棱靠近的四等分点，为四边形内一动点，且直线与底面所成的角为，则动点的轨迹长度为_____________．答案：解析：思路：根据线面角定义，确定点的运动轨迹，通过弧长计算公式即可计算得到轨迹长度.解答过程：过点作底面的垂线，垂足为，则是在底面的投影，且，直线与底面所成角为，根据线面角定义，可得，在直角三角形中，，代入，得，，因此动点的轨迹是以为圆心，半径的圆在正方形内的部分，因此，故设点的轨迹与的交点，与的交点，轨迹如图所示，因为，，所以，，因此,故点的轨迹长为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.设的内角，，的对边分别为，，，已知边上的中线，．（1）求角；（2）求面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式化简求解.（2）利用数量积的运算律、三角形面积公式及基本不等式求出最大值.（1）在中，由及正弦定理，得，即，而，则，而，所以.（2）由边上的中线，得，即，于是，即，则，当且仅当时取等号，，所以面积的最大值为.16.如图，四棱锥，底面是直角梯形，，，，，底面，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）取的中点，连接、，所以是的中位线，因此，，而又因为，且，即，因此，且，因此四边形为平行四边形，故有，又因为平面，平面，因此根据线面平行的判定定理有平面.（2）解析：思路：（1）利用中位线，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）根据线面角定义，通过面面垂直的性质构造出线面角，利用勾股定理求出对应边长，求解即可.（1）略（2）因为底面，底面，因此，而又因为底面是直角梯形，所以，，因此，故由，且、平面，因此平面，过点作，交于点，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面,连接，则是在平面内的射影，因此就是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，，因此，由得，，在底面直角梯形中，过作于点，则，，因此，故在直角三角形中，.17.2026年中国大奖赛热度高涨，某班共45名学生，统计每位学生每周观看赛事的时长（单位：小时）．现整理男、女生观赛时长数据如下：已知该班女生共20人，男生共25人．女生每周观赛时长原始数据如下：8.208.408.609.059.109.1510.5010.5011.2011.8012.2012.3012.5012.7013.1013.3013.5013.8015.2020.00男生每周观赛时长采用频率分布直方图，如下：（1）求该班女生每周观看赛事时长的第25百分位数（2）估计该班男生每周观看赛事时长的中位数．（3）从全班每周观赛时长小于12小时的学生中随机任选2人交流观赛感受．设事件：选出的2人中恰有1名女生；设事件：选出的2人中恰有1人观赛时长落在区间内；判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．答案：（1）（2）（3）事件与事件相互独立，理由如下：因为每周观赛时长小于12小时的女生有10人，男生有人.所以，这16人中观赛时长落在区间内的有4名女生，名男生，所以观赛时长落在区间内的人数为8.所以.且事件表示“选出的2人中，恰有1女，且恰有1人在区间内”，情况1：女生在区间内，男生不在内，对应样本点有个；情况2：女生不在区间内，男生在内，对应样本点有个；所以.因为，即，所以，相互独立.解析：思路：（1）根据百分位数的概念求所求百分位数.（2）利用频率分布直方图估计中位数.（3）利用事件相互独立的概念进行证明.（1）因为，所以该班女生每周观看赛事时长的第25百分位数为第5个数与第6个数的平均数，为.（2）因为，，所以估计该班男生每周观看赛事时长的中位数在区间内，且等于.（3）略18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，点，分别为，的中点，点在线段上．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的正切值；（3）若为线段上的动点，设，求三棱锥的体积与四棱锥的体积之比（用含的式子表示）．答案：（1）证明：因为侧面底面且交线为，因为，故，因为平面，故底面，因为平面，则；又因为，故，又因为，故，则，又因为，分别为，的中点，所以，故；因为且平面，所以平面；（2）；（3）．解析：思路：（1）证明线面垂直，在面内找两条相交直线与已知直线垂直，根据题干所给面面垂直关系找出线线垂直，再根据底面的边角