实际问题与一元二次方程 (3)第课时课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

实际问题与一元二次方程（第3课时）人教版九年级上册数学例题要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？分析：总比赛场数为4×7＝28．设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)支球队各赛一场，则此次邀请赛共需进行

x(x－1)场．例题要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？解：设应邀请x支球队参赛．可列方程x(x－1)＝28．整理，得x2－x－56＝0．解得

x1＝8，x2＝－7（舍去）．答：组织者应邀请8支球队参赛．如果两支球队之间要进行两场比赛（主客场制，A主场对阵B、B主场对阵

A），所列方程会发生什么变化？总结单循环中AvsB

和

BvsA

算作同一场比赛，需要除以

2；主客场双循环中这是两场独立赛事，不再除以

2，总场次表达式变为

x(x－1)．探究若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说：我算出总场数正好是

300．他算得对吗？为什么？思考：①主客场双循环赛制下，总比赛场数怎么表示？

②怎样判断“总场次能否等于300”？什么是主客场双循环比赛？两支球队之间要进行几场比赛？设有n支球队参赛，每一支球队需要和多少支其他球队交手？一共能列出什么样的总场次表达式？如果这个人说法成立，总场次等于300，我们可以列出怎样的方程？在实际问题里，球队数量

n有什么要求？探究若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说：我算出总场数正好是

300．他算得对吗？为什么？分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此之间进行两场比赛．设有n支球队参赛，每一支球队都要与其余(n－1)支球队分别进行主、客场两场比赛，因此比赛总场数为n(n－1)．探究若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说：我算出总场数正好是

300．他算得对吗？为什么？解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，由此可列方程：n(n－1)＝300．整理，得

n2－n－300＝0．我们解这个一元二次方程，观察根的特点；根号内的1201是完全平方数吗？这代表

n能取符合要求的整数吗？探究若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说：我算出总场数正好是

300．他算得对吗？为什么？解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，由此可列方程：n(n－1)＝300．整理，得

n2－n－300＝0．解方程，得

n＝

．因为1201不是完全平方数，所以

n不是整数．所以总场数不可能为300，他算得不对．思考大家观察式子

n(n－1)，n和

n－1是什么数量关系？由此想一想，双循环总场数存在什么特点？n与

n－1是两个连续正整数，总场数一定等于两个连续正整数相乘．16×17＝272，17×18＝306，不存在两个相邻正整数乘积等于300，同样可以验证结论．方程法是通用方法；这个观察法是快速判断的简便思路．通过这道题我们得到什么重要解题习惯？列出方程求出根后，必须检验根是否符合实际意义（正整数、正数等限制）．刚才我们研究了球赛的单循环、双循环模型．生活中还有很多和球赛原理一致的问题，比如聚会握手、同学之间互赠礼品．大家想一想：握手问题更贴近单循环还是双循环模型？例1

某次同学聚会，所有人两两握手一次，经统计一共握手55次，求参加聚会的人数．思考：①A

和B

握手，与B

和A

握手，算作一次还是两次？

②本题属于单循环还是双循环？该列出什么式子？例1

某次同学聚会，所有人两两握手一次，经统计一共握手55次，求参加聚会的人数．设有

x人参加聚会，每个人需要和多少人握手？直接写

x(x－1)代表什么？为什么要乘

（除以2）？例1

某次同学聚会，所有人两两握手一次，经统计一共握手55次，求参加聚会的人数．解：设共有

x人参加聚会．由题意，得

x(x－1)＝55．整理，得

x2－x－110＝0，解得

x1＝11，x2＝－10（舍去）．答：一共有11人参加聚会．握手模型公式为

x(x－1)，属于单循环．

思考：同样是人与人之间互动，本题和握手有什么不同？

例2手工兴趣小组内，每位同学向小组内其他同学各赠送一件手工艺品，全组一共互赠132件手工艺品，这个小组共有多少名同学？

例2手工兴趣小组内，每位同学向小组内其他同学各赠送一件手工艺品，全组一共互赠132件手工艺品，这个小组共有多少名同学？A送给B

礼品、B

送给A

礼品，这是两件独立礼物吗？能不能只算一次？本题还需要乘

（除以2）吗？为什么？解：设小组有

x

名同学．由题意，得

x(x－1)＝132，整理，得

x2－x－132＝0．解得

x1＝12，x2＝－11（舍去负数）．答：小组一共有12名同学．

例2手工兴趣小组内，每位同学向小组内其他同学各赠送一件手工艺品，全组一共互赠132件手工艺品，这个小组共有多少名同学？（1）只发生一次（A—B

等价B—A）：握手、单循环球赛

n(n－1)（2）双向独立（A→B与B→A不同）：主客场球赛、互赠礼品

n(n－1)

例3一个凸多边形共有

20

条对角线，它是几边形？是否存在有18

条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，请说明理由．思考：（1）什么是多边形的对角线？

（2）n边形每个顶点可以引出几条对角线？

例3一个凸多边形共有

20

条对角线，它是几边形？是否存在有18

条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，请说明理由．n边形的一个顶点，能和其余多少个顶点连成对角线？为什么是

n－3，不是

n－1？对角线会重复计算吗？因此总对角线公式是什么？

例3一个凸多边形共有

20

条对角线，它是几边形？是否存在有18

条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，请说明理由．解：设多边形为

n边形，对角线总数公式为

n(n－3)．①由题意，得

n(n－3)＝20．整理，得

n2－3n－40＝0，解得

n1＝8，n2＝－5（舍去）答：它是八边形．

例3一个凸多边形共有

20

条对角线，它是几边形？是否存在有18

条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，请说明理由．解：设多边形为

n边形，对角线总数公式为

n(n－3)．②由题意，得

n(n－3)＝18．整理，得

n2－3n－36＝0．此时

a＝1，b＝－3，c＝－36．所以

Δ=(−3)2−4×1×(−36)＝9＋144＝153，不是整数，没有正整数解，