实际问题与反比例函数（第2课时）课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

实际问题与反比例函数（第2课时）人教版九年级上册数学1．反比例函数解析式的一般形式以及常见变形形式是什么？

，

，xy＝k．(k为常数，k≠0)2．反比例函数

的图象是双曲线，请说一说它的性质和增减性．（1）当k＞0

时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y

随x

的增大而减小；（2）当k＜0

时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y

随x

的增大而增大．3．反比例函数图象上的点有什么共同特征？横、纵坐标的乘积等于常数k，即

xy＝k．例1在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移

s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示．（1）当力F为10N时，求F所做的功W；（2）写出s关于F的函数解析式；（3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围．分层设问：（1）图象中点(10，50)的横、纵坐标分别对应题目中哪个物理量？结合实际情境，自变量F存在什么取值限制？（2）题目给出等量关系式W＝Fs，如何借助图象信息求出恒定的功W，建立函数模型？（3）第（3）小问要求位移满足s＜100，可以运用反比例函数的什么性质分析力F的取值范围？解：（1）由图可知，当力F

为10N

时，物体在力F

的方向上发生的位移s

为50m，此时F

所做的功W＝Fs＝10×50＝500(J)．（2）当W为定值时，可以用反比例函数描述s

与F

之间的关系．由（1）可知其解析式为

(F＞0)．（3）将s＝100

代入

，可得F＝5(N)．因为s

随着F

的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m，力F

要大于5N．我们得到解析式

，为什么一定要标注

F＞0？解第（3）问时，为什么s＜100对应的结论是F＞5，不是F＜5？利用反比例函数解决实际问题的要点：（1）建模时结合实际意义确定自变量取值范围；（2）求解变量不等范围，既可以代数计算，也可以借助图象、增减性数形结合分析．归纳例2

一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位：km/h）与行驶全程所用时间t（单位：h）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．（1）写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围；（2）若客车上午

8

时从甲地出发，需在当天

10

时

40

分至

11

时之间到达乙地，求客车平均速度

v的范围．分层设问：（1）路程不变，平均速度与行驶时间是什么函数关系？如何借助图象上的点求出甲乙两地总路程？（2）题目给出速度范围

60≤v≤120，结合反比例函数增减性，怎样确定自变量时间

t的取值范围？（3）如何根据到达时间段，先算出行驶时间范围，再反向求出对应的速度取值？解：（1）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系．由图可知，当t＝2时，v＝120．于是有

．①当v＝60时，由①得t＝4．因为60≤v≤120，并且平均速度v

随着行驶全程所用时间t

的增大而减小，所以2≤t≤4．（2）客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t＝h，代入①，可得v＝90(km/h)；若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t＝3h，代入①，可得v＝80(km/h)．因为平均速度

v随着行驶全程所用时间

t

的增大而减小，所以客车平均速度

v

的范围是

80≤v≤90．第（1）问为什么一定要配套求出

t

的取值范围？时间越长，行驶速度越小，那当行驶时间为

3≤t≤

时，为什么最终速度是

80≤v≤90？解决这类范围问题除了代数计算，还有什么方法辅助验证？运用反比例函数解决行程类实际问题要点：（1）抓住“路程不变”建立反比例函数模型，结合实际情景确定自变量取值范围；（2）已知自变量范围求函数值范围、或是已知函数值范围求自变量范围，要注意反比例函数增减性带来的区间反向问题，不要直接照搬不等号方向．归纳常见的典型反比例函数数量关系：涉及的量反比例函数的解析式功

W（定值）、力

F、移动的距离

s

路程

s（定值）、速度

v、时间

t压力

F（定值）、压强

p、受力面积

S

电压

U（定值）、电流

I、电阻

R

归纳或或或或跟踪训练

一辆汽车从甲地开往乙地，甲乙两地相距120km．

设汽车行驶的平均速度为

v(单位：km/h)，行驶时间为

t(单位：h)．

（1）写出

v关于

t的函数解析式；

（2）若要求2.5h

之内到达，求汽车平均速度的取值范围．分层设问：（1）本题中不变的量是什么？v与

t存在怎样的函数关系？（2）“2.5h

之内到达”如何转化为自变量的取值限制？结合反比例函数增减性，怎样确定速度取值范围？解：（1）设

v关于

t的函数解析式为

，路程为120km，即

k＝120，所以

(t＞0，v＞0)．（2）当t＝2.5时，

＝48，要求2.5h

之内到达，即行驶时间

0＜t＜2.5．因为在第一象限内，v

随

t

的增大而减小，所以当

0＜t＜2.5时，可得

v＞48．所以汽车平均速度大于48km/h．求解取值范围时，很容易把不等号方向写反，是什么原因？探究某物理实验小组研究气体的压强

p（单位：kPa）与体积

V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了

6

组数据．序号123456体积

V/mL201816141210压强

p/kPa100112123145163201气体的压强p

与体积V

是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa

时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）．分层设问：（1）观察表格，随着体积

V不断减小，压强

p如何变化？（2）仅凭表格数据，能直接判定是什么函数吗？可以用什么方式直观观察变化趋势？（3）描点之后，点的分布形状有什么特征？你猜想是什么函数模型？（4）每组数据计算出来的

k＝pV

不完全相等，为什么？我们该如何确定解析式中的

k？（5）得到函数关系式后，直接代入计算就结束了吗？还需要做什么？分析：由表可知，压强p

是体积V

的函数．由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型．解：（1）为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（如图）．观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点．可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p

与体积V

之间的关系．（2）建立模型．设函数解析式为

(V＞0)，根据表中的数据，分别求出k

的值，列出下表．V201816141210p100112123145163201k200020161968203019562010计算所有k

值的平均值，得k＝(2000＋2016＋1968＋2030＋1956＋2010)≈1997．我们把这个平均值1

997作为k

的值，就得到一个函数模型

．（3）检验模型．将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p

与体积V

的关系．（4）求解问题．将p＝132代入①，得

132＝

．解得

V＝≈15.13(mL)．因此，当压强为

132kPa

时，气体的体积约为

15.13mL．对比前面例1、例2、跟踪训练，这道题建立反比例函数模型和之前题目最大区别是什么？如果描出来的散点完全不在双曲线附近，我们还能选用反比例函数模型吗？问题回顾“探究”，回答以下问题：（1）题目表中的有些数对只能近似满足函数解析式

，即图（1）中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有何不同？（2）结合“探究”和问题（1）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤．分层设问：（1）前面例1、例2、跟踪训练得到的函数关系式，所有数据都严格符合解析式，本题为什么无法完全吻合？（2）本节课两种建模方式分别适用于什么场景？（3）如果以后拿到一组陌生实验数据，完整的分析流程应该是什么？解：（1）以往问题依托固定公式推导，可以得到精确函数模型；本题来源于实验测量，数据存在测量误差，只能构建近似函数模型，点不会全部落在函数图象上．（2）我们可以总结出利用函数解决实际问题的通用流程．利用函数模型解