二次函数与一元二次方程课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

二次函数与一元二次方程人教版九年级上册数学

1．关于x

的一元一次方程kx＋b＝0

的解为x＝1，则当x＝___时，一次函数y＝kx＋b

的函数值为0．1

2．一次函数

y＝kx＋b

的图象如图，则关于x

的一元一次方程kx＋b＝0

的解为_____________．x＝2Oy132xy＝kx＋b

1

3．一次函数与一元一次方程之间的关系．一次函数与一元一次方程

数：在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当y＝0

时，对应的自变量x

的值一元一次方程kx＋b＝0

的解

形：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x

轴的交点的横坐标一元一次方程kx＋b＝0

的解思考下列二次函数的图象与x

轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x

取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y＝x²＋x－2；（2）y＝x²－8x＋16；（3）y＝x²－x＋1．

在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）．抛物线y＝x2＋x－2与x

轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1．当x

取公共点的横坐标时，函数值是0．由此可知，方程x2＋x－2＝0

有两个不相等的实数根－2，1．y246－2xO24－4－2y＝x2－8x＋166y＝x2＋x－2y＝x2－x＋1y246－2xO24－4－2y＝x2－8x＋166y＝x2＋x－2y＝x2－x＋1

在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）．抛物线y＝x2－8x＋16与x

轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4．当x＝4

时，函数值是0．由此可知，方程x2－8x＋16＝0有两个相等的实数根4．y246－2xO24－4－2y＝x2－8x＋166y＝x2＋x－2y＝x2－x＋1

在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）．抛物线y＝x2－x＋1与x

轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x

轴的位置关系．观看动图，思考二次函数图象与

x轴的公共点与一元二次方程根之间的关系．观看动图，思考二次函数图象与

x轴的公共点与一元二次方程根之间的关系．归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c

的图象，可得如下结论：（1）如果抛物线y＝ax2＋bx十c

与x

轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

的一个根．归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c

的图象，可得如下结论：（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c

的图象与x

轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．它们分别对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．

例1

如图，以40

m/s

的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为

h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到20

m？如果能，需要多长时间？

提示：因为小球的飞行高度h

与飞行时间t

有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h

的值代入函数解析式，得到关于t

的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h

的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h

的值．

例1

如图，以40

m/s

的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为

h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到20

m？如果能，需要多长时间？分析：问题“小球的飞行高度能否达到20

m”即“二次函数

h＝20t－5t2的函数值能否取

20”，

由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程

20＝20t－5t2的根的问题．

例1

如图，以40

m/s

的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为

h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到20

m？如果能，需要多长时间？解：当h＝20时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程

20＝20t－5t2，即

t2－4t＋4＝0，解方程，得

t1＝t2＝2．

这说明，当自变量

t＝2时，二次函数

h＝20t－5t2的函数值为

20，即当小球飞行

2s时，它的飞行高度为

20m．

例1

如图，以40

m/s

的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为

h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到20

m？如果能，需要多长时间？1324Oht20结合图象分析，为什么只有一个时刻高度等于

20m？

例1

如图，以40

m/s

的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为

h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到20

m？如果能，需要多长时间？1324Oht20结合本题探究，说一说二次函数与一元二次方程存在怎样的联系？归纳从上面可以看出，已知二次函数的函数值为某一常数，可以转化为解对应的一元二次方程；反之，解一元二次方程，也可以看作已知二次函数取特定函数值，求自变量的取值．练习

关于例1，回答下列问题：（1）小球的飞行高度能否达到15

m？如果能，需要多长时间？（2）小球的飞行高度能否达到20.5

m？如果能，需要多长时间？（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？（1）小球的飞行高度能否达到15

m？如果能，需要多长时间？所以当小球飞行1

s

和3

s

时，它的飞行高度为15

m．1324Oht15解：（1）当h＝15时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程

15＝20t－5t2，即

t2－4t＋3＝0，解方程，得

t1＝1，t2＝3．（2）小球的飞行高度能否达到20.5

m？如果能，需要多长时间？

（2）当h＝20.5时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程

20.5＝20t－5t2，即

t2－4t＋4.1＝0．因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．

这就是说，小球的飞行高度达不到20.5

m．1324Oht（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？

（3）小球飞出时和落地时的高度都为0

m，当h＝0时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程0＝20t－5t2，即

t2－4t＝0，解方程，得

t1＝0，t2＝4．1324Oht（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？1324Oht所以当小球飞行0

s

和4

s

时，它的高度为0

m，这表明小球从飞出到落地要用4

s．从图来看，0

s

时小球从地面飞出，4

s

时小球落回地面．

例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的根的近似值（结果保留小数点后一位）．解：方法1：画出函数y＝x2－2x－2的图象（如图），它与x

轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7．所以方程x2－2x－2＝0

的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7．依靠手绘图象观察会存在误差，因此图象法得到的根一般是近似根．y－142－1xO12－3－23y＝x2－2x－251

例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的根的近似值（结果保留小数点后一位）．y－142－1xO12－3－23y＝x2－2x－251如果我们想要得到精度更高的近似根，有没有更好的办法？方法2：我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根．观察图象，可以发现：点（2，－2）在

x轴的下方，即当自变量x＝2

时，y＜0；点（3，1）在

x轴的上方，即当自变量x＝3

时，y＞0．y－142－1xO12－3－23y＝x2－2x－251方法2：我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根．因为抛物线

y＝x2－2x－2是一条连续不断的曲线，所以抛物线

y＝x2－2x－2在

2＜x＜3这一段经过

x轴．也就是说，当自变量取

2，3

之间的某个值时，函数值为

0，即方程x2－2x－2＝0

在2，3

之间有根．y－142－1xO12－3－23y＝x2－2x－251取2.5，3

的平均数2.75，当自变量

x＝2.75时，y＞0，即方程x2－2x－2＝0

在2.5，2.75

之间有根．y－142－1xO12－3－23y＝x2－2x－251我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．例如，取2，3

的平均数2.5，当自变量x＝2.5时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在2.5，3

之间有根．取2.5，2.75的平均数2.625，当自变量x＝2.625时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在2.625，2.75

之间有根．y－142－1xO12－3－23y＝x2－2x－251我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．例如，重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.687

5，2.75

之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值．例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1

时，由于|2.687

5－2.75|＝0.062

5＜0.1，我们可以将2.687

5

作为根的近似值．y－142－1xO12－3－23y＝x2－2x－251

你能用这种方法得出方程

x2－2x－2＝0

的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于

0.1）？当自变量x＝－1

时，y＞0，当自变量x＝0

时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0

在－1，0

之间有根．y－142－1xO12－3－23y＝x2－2x－251取－1，0

的平均数－0.5，当自变量x＝－0.5时，y＜0，即方程

x2－2x－2＝0在－0.5，－1之间有根．重复上述取平均数的步骤不断缩小根所在的范围．因为|－0.75－(－0.687

5)|＝0.062

5＜0.1，所以可取－0.6875

作为另一个根满足精度要求的近似值．y－142－1xO12－3－23y＝x2－2x－251利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤：（1）构造二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，画出函数图象；（2）观察抛物线与x

轴的交点，确定交点的横坐标在哪两个整数之间；（3）在区间内选取自变量计算函数值，根据函数值正负交替缩小区间范围；