第二十五章章末复习课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

第二十五章章末复习人教版九年级上册数学请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！

1．比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能写出这些方程的一般形式吗？

2．一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你能说说“降次”在解一元二次方程中的作用吗？

3．求根公式与配方法有什么关系？如何判别一元二次方程根的情况？请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！

4．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？我们是如何得到这种关系的？

5．你能举例说明用一元二次方程解决实际问题的过程吗？例1

已知关于x的方程(2k＋1)x2＋k－4kx＋(k－1)＝0．当k为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．考点一一元二次方程及其相关概念

解：由题意得2＋k＝2且2k＋1≠0，解得k＝0．∴当

k＝0时，关于

x

的方程是一元二次方程，该一元二次方程为x2－1＝0．∴这个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－1．

一元二次方程满足的三个条件

（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2，并且二次项系数不为0．考点一一元二次方程及其相关概念一元二次方程的二次项系数不为

0是易考点，同时也是易错点．

1．已知关于x的方程是一元二次方程，试求代数式m2＋2m－4的值．考点一一元二次方程及其相关概念

解：根据题意，得m2－2＝2且m－2≠0，解得m＝±2且m≠2，∴m＝－2．∴m2＋2m－4＝(－2)2＋2×(－2)－4＝4－4－4＝－4．例2

用适当的方法解下列方程：（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考点二一元二次方程的解法观察方程结构，你优先选择哪种方法？为什么？例2

用适当的方法解下列方程：（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考点二一元二次方程的解法解：（1）方程两边除以2，得(x－1)2＝9，则x－1＝3或－3，即x1＝4，x2＝－2．（2）原方程可整理为x2－4x＋4＝5，则(x－2)2＝5，解得x1＝，x2＝．例2

用适当的方法解下列方程：（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考点二一元二次方程的解法解：（3）整理得3y2＋2y－5＝0，则b2－4ac＝64＞0，∴y＝＝，∴y1＝1，y2＝．例2

用适当的方法解下列方程：（1）2(x－1)2＝18；

（2）x2－2x＝2x＋1；（3）(3y－1)(y＋1)＝4；

（4）x(2x＋3)＝2x＋3．考点二一元二次方程的解法解：（4）移项得x(2x＋3)－(2x＋3)＝0，因式分解得(2x＋3)(x－1)＝0，则2x＋3＝0或x－1＝0，解得x1＝，x2＝1．一元二次方程解法的选择（1）若方程符合a(x－n)2＝m(m≥0，a≠0)的形式，优先直接开平方法．（2）方程左侧容易分解因式，优先选用因式分解法．（3）不易因式分解时，选用公式法．（4）配方法是通用基础解法，当二次项系数为

1，一次项系数为偶数时，计算简便．考点二一元二次方程的解法一元二次方程解法的选择补充：配方法不仅可以解方程，是推导求根公式的工具，在后续二次函数学习中还会持续使用。选择优先级观察顺序：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．注意：配方法通用性强，但计算量通常偏大，若无特殊要求一般不作为解方程首选．考点二一元二次方程的解法

例3

下列一元二次方程中，没有实数根的是（）．

A．4x2－5x＋2＝0

B．x2－6x＝－9

C．5x2－4x－1＝0

D．3x2－4x＋1＝0考点三一元二次方程根的判别式解析：选项A，Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×4×2＝－7＜0，所以方程没有实数根；选项B，方程变形得x2－6x＋9＝0，Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0，所以方程有两个相等的实数根；分析：计算各方程Δ＝b2－4ac的值，根据Δ＝b2－4ac与0

的大小关系进行判断．

例3

下列一元二次方程中，没有实数根的是（）．

A．4x2－5x＋2＝0

B．x2－6x＝－9

C．5x2－4x－1＝0

D．3x2－4x＋1＝0考点三一元二次方程根的判别式

选项C，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，所以方程有两个不相等的实数根；选项D，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×1＝4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A．A考点三一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式是判断方程的根的情况的重要工具，主要从两个方面考查：一是利用根的判别式判断一元二次方程根的情况；二是已知一元二次方程根的情况，利用根的判别式求方程中未知系数的取值范围．注意：Δ＝b2－4ac判断根的前提是一元二次方程，必须满足二次项系数

a≠0．

2．已知关于x

的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a

的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．考点三一元二次方程根的判别式解：（1）∵关于x

的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，且a≠0，即22－4a·(－3)＞0，且a≠0，∴a＞且a≠0．

2．已知关于x

的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a

的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．考点三一元二次方程根的判别式解：（2）将x＝1

代入方程ax2＋2x－3＝0，解得a＝1．把a＝1代入，得方程x2＋2x－3＝0，解方程得x1＝1，x2＝－3．∴a

的值为

1，方程的另一个实数根为－3．

2．已知关于x

的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a

的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．考点三一元二次方程根的判别式解：（2）将x＝1

代入方程ax2＋2x－3＝0，解得a＝1．设另一根为

x2，由根与系数关系

1＋x2＝－2，

直接得到

x2＝－3．考点四一元二次方程根与系数的关系

例4

设x1，x2

是方程

2x2＋5x－7＝0

的两个实数根，不解方程，求下列式子的值．（1）；

（2）．解：∵x1，x2是方程2x2＋5x－7＝0

的两个实数根，∴

x1＋x2＝，x1x2＝．（1）原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋7＝．考点四一元二次方程根与系数的关系

例4

设x1，x2

是方程

2x2＋5x－7＝0

的两个实数根，不解方程，求下列式子的值．（1）；

（2）．

解：（2）原式考点四一元二次方程根与系数的关系我们是如何推导出一元二次方程根与系数的关系

x1＋x2＝－

，x1x2＝

？你能写出两种推导思路吗？思路1：将求根公式代入进行化简推导；思路2：若方程两根为

x1，x2，二次项系数为

a时，方程可写成a(x－x1)(x－x2)＝0，展开后和一元二次方程一般形式对比系数得到．温馨提示：使用根与系数关系的前提是Δ≥0，方程有实数根．

在实数范围内，一元二次方程根与系数的关系的四个主要应用一是已知方程的两个根，可写出一元二次方程；二是已知方程的一个根，可求方程的另一个根及方程中的字母参数；三是不解方程，直接利用两根之积与两根之和求与一元二次方程两个实数根有关的代数式的值；四是已知与方程两个实数根有关的代数式的值，确定方程中的字母参数．考点四一元二次方程根与系数的关系

3．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0

有实数根．（1）求

m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．考点四一元二次方程根与系数的关系解：（1）根据题意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4．

（2）根据题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1．∵2x1x2＋x1＋x2≥20，∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3．由（1）得m≤4，∴m的取值范围为3≤m≤4．考点五一元二次方程的应用

例5

如图，在一面墙（墙长度不限）边，怎样用

20m

长的篱笆围成一个面积为

48m²

的矩形菜园？解：设垂直于墙的边长为

xm，则平行于墙的边长为(20－2x)m．根据题意，得

x(20－2x)＝48，整理，得

x2－10x＋24＝0，解得

x1＝4，x2＝6．①x＝4，垂直于墙的边长为4m，平行于墙的边长为20－8＝12（m）；②x＝6，垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为20－12＝8（m）．答：有两种围法，围法①垂直于墙的边长为4m、平行于墙的边长为12m；围法②垂直于墙的边长为6m、平行于墙的边长为8m．

4．如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块矩形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道．已知矩形空地的长为50m，宽为40m，求通道的宽度．解：设通道的宽度为x

m．根据题意得(50－2x)(40－2x)＝1200，解得x1＝5，x2＝40（不合题意，舍去）．

答：通道的宽度为5

m．考点五一元二次方程的应用考点五一元二次方程的应用重点区分两类面积易混题型：①四周等宽通道：长方形上下左右都有通道，长和宽同时减去2x；②一边靠墙篱笆：仅两条垂直于墙的边长为x，平行于墙的边长为20－2x．易错警示：很多学生混淆“2x”的来源，复习课放在一起对比，区分两种图形结构，有效减少列式错误．考点五一元二次方程的应用

例6

新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有

169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），求每轮传染中平均每个人传染的人数．解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x

人被传染，第二轮传染后有x(1＋x)

人被传染．

根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝169，解得x1＝12，x2＝－14（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均每个人传染了12人．

5．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x

．根据题意，得400(1－x)2＝324，解得x＝0.1或x＝1.9（不合题意，舍去）．

答：该种商品每次降价的百分率为10%．考点五一元二次方程的应用

5．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：（2）设第一次降价后至少要售出该种商品

m件．

[400(1－10%)－300]m＋(324－300)(100－m)≥3120，解得m≥20．

答：第一次降价后至少要售出该种商品20件．考点五一元二次方程的应用

例7．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？考点五一元二次方程的应用