2026年安徽省北师大版高三数学第10章概率统计练习题

2026年安徽省北师大版高三数学第10章概率统计练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某校高三年级随机抽取100名学生进行身高调查，得到样本频率分布直方图如下。若该校高三年级共有1200名学生，则身高在170cm以上（含170cm）的学生约有多少人？（1）根据直方图可知，身高在170cm以上的学生频率为0.15，因此该校身高在170cm以上的学生约有1200×0.15=180人。（2）直方图中身高在170cm以上的频率为0.15，即15%，所以该校身高在170cm以上的学生人数约为1200×15%=180人。（3）由直方图可知，身高在170cm以上的学生频率为0.15，故该校身高在170cm以上的学生人数约为1200×0.15=180人。（4）根据直方图数据，身高在170cm以上的学生频率为0.15，因此该校身高在170cm以上的学生约有1200×15%=180人。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，他连续射击3次，恰好有2次命中目标的概率是多少？（1）设射击命中目标为事件A，则P(A)=0.8。连续射击3次，恰好有2次命中目标的概率为C(3,2)×0.8^2×(1-0.8)=3×0.64×0.2=0.384。（2）连续射击3次，恰好有2次命中目标的概率为P(X=2)=C(3,2)×0.8^2×(1-0.8)=3×0.64×0.2=0.384。（3）设命中次数为X，X～B(3,0.8)，则P(X=2)=C(3,2)×0.8^2×0.2=0.384。（4）连续射击3次，恰好有2次命中目标的概率为P(X=2)=C(3,2)×0.8^2×(1-0.8)=3×0.64×0.2=0.384。3.已知一组样本数据：3,5,7,x,9，其平均数为6，则这组数据的方差是多少？（1）由平均数公式可得(3+5+7+x+9)/5=6，解得x=6。（2）样本方差公式为s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n，代入数据得s^2=[(3-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2]/5=4.8。（3）先求出x=6，再计算方差s^2=[(3-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2]/5=4.8。（4）样本方差s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n，代入数据得s^2=[(3-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2]/5=4.8。4.某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到3名男生和2名女生的概率是多少？（1）抽到3名男生和2名女生的概率为C(30,3)×C(20,2)/(C(50,5)=0.312。（2）根据超几何分布，抽到3名男生和2名女生的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)=0.312。（3）抽到3名男生和2名女生的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)=0.312。（4）根据组合数公式，抽到3名男生和2名女生的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)=0.312。5.已知随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(μ+σ<X<μ+2σ)的值是多少？（1）由正态分布对称性可知，P(X>μ+σ)=0.8，P(X>μ+2σ)=0.6，因此P(μ+σ<X<μ+2σ)=0.2。（2）根据正态分布性质，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6，P(μ-2σ<X<μ-σ)=0.2，因此P(μ+σ<X<μ+2σ)=0.2。（3）由标准正态分布表可知，P(Z<-1)=0.2，P(Z<-2)=0.4，因此P(μ+σ<X<μ+2σ)=0.2。（4）根据正态分布性质，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6，P(μ-2σ<X<μ-σ)=0.2，因此P(μ+σ<X<μ+2σ)=0.2。6.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击4次，至少有3次命中目标的概率是多少？（1）至少有3次命中目标包括3次和4次命中两种情况，概率为C(4,3)×0.7^3×0.3+C(4,4)×0.7^4=0.847。（2）设命中次数为X，X～B(4,0.7)，则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=0.847。（3）至少有3次命中目标的概率为P(X≥3)=C(4,3)×0.7^3×0.3+C(4,4)×0.7^4=0.847。（4）根据二项分布，至少有3次命中目标的概率为P(X≥3)=0.847。7.已知一组样本数据：2,4,6,8,10，其标准差为√10，则这组数据的极差是多少？（1）极差是数据中的最大值减去最小值，即10-2=8。（2）标准差s=√10，但极差与标准差无直接关系，极差为10-2=8。（3）样本数据为2,4,6,8,10，最大值为10，最小值为2，极差为10-2=8。（4）极差是数据中的最大值减去最小值，即10-2=8。8.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机抽取100名学生进行调查，得到如下列联表：||对数学感兴趣|对数学不感兴趣|合计||-------|--------------|----------------|------||男生|30|20|50||女生|25|25|50||合计|55|45|100|根据列联表，能否有99.5%的把握认为“对数学的兴趣与性别有关”？（附K^2检验临界值表）（1）计算K^2=(100×(30×25-20×25)^2)/(50×50×55×45)=4.545，查表得临界值4.605，因此不能认为有99.5%的把握。（2）根据K^2检验公式，K^2=(100×(30×25-20×25)^2)/(50×50×55×45)=4.545，临界值4.605，因此不能认为有99.5%的把握。（3）计算K^2=(100×(30×25-20×25)^2)/(50×50×55×45)=4.545，临界值4.605，因此不能认为有99.5%的把握。（4）根据列联表，K^2=(100×(30×25-20×25)^2)/(50×50×55×45)=4.545，临界值4.605，因此不能认为有99.5%的把握。9.已知随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(X>μ+σ)的值是多少？（1）由正态分布对称性可知，P(X>μ+σ)=P(X<μ-σ)=0.2。（2）根据正态分布性质，P(X<μ-σ)=0.2，因此P(X>μ+σ)=0.8。（3）由标准正态分布表可知，P(Z<-1)=0.2，因此P(X>μ+σ)=0.8。（4）由正态分布对称性可知，P(X>μ+σ)=P(X<μ-σ)=0.2。10.某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到至少3名男生的概率是多少？（1）至少3名男生包括3名、4名和5名男生，概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)+C(30,4)×C(20,1)/C(50,5)+C(30,5)/C(50,5)=0.835。（2）根据超几何分布，至少3名男生的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)+C(30,4)×C(20,1)/C(50,5)+C(30,5)/C(50,5)=0.835。（3）至少3名男生的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)+C(30,4)×C(20,1)/C(50,5)+C(30,5)/C(50,5)=0.835。（4）根据组合数公式，至少3名男生的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)+C(30,4)×C(20,1)/C(50,5)+C(30,5)/C(50,5)=0.835。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知一组样本数据：3,5,7,x,9，其平均数为6，则这组数据的方差为______。参考答案：4.8解析：由平均数公式可得(3+5+7+x+9)/5=6，解得x=6。样本方差公式为s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n，代入数据得s^2=[(3-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2]/5=4.8。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.6，他连续射击5次，恰好有3次命中目标的概率为______。参考答案：0.0576解析：设射击命中目标为事件A，则P(A)=0.6。连续射击5次，恰好有3次命中目标的概率为C(5,3)×0.6^3×(1-0.6)^2=0.0576。3.已知一组样本数据：2,4,6,8,10，其标准差为√10，则这组数据的极差为______。参考答案：8解析：极差是数据中的最大值减去最小值，即10-2=8。标准差与极差无直接关系。4.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机抽取100名学生进行调查，得到如下列联表：||对数学感兴趣|对数学不感兴趣|合计||-------|--------------|----------------|------||男生|30|20|50||女生|25|25|50||合计|55|45|100|根据列联表，K^2的值为______。参考答案：4.545解析：根据K^2检验公式，K^2=(100×(30×25-20×25)^2)/(50×50×55×45)=4.545。5.已知随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(μ-2σ<X<μ)的值是多少？参考答案：0.5解析：由正态分布对称性可知，P(X>μ+σ)=P(X<μ-σ)=0.2，因此P(X>μ)=0.5，P(μ-2σ<X<μ)=P(μ<X<μ+2σ)=0.5。6.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击4次，至少有2次命中目标的概率为______。参考答案：0.9988解析：至少2次命中目标包括2次、3次和4次命中，概率为C(4,2)×0.7^2×0.3^2+C(4,3)×0.7^3×0.3+C(4,4)×0.7^4=0.9988。7.已知一组样本数据：3,5,7,9,11，其平均数为7，则这组数据的方差为______。参考答案：8解析：样本方差s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n，代入数据得s^2=[(3-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-7)^2]/5=8。8.某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到2名男生和3名女生的概率为______。参考答案：0.336解析：根据超几何分布，抽到2名男生和3名女生的概率为C(30,2)×C(20,3)/C(50,5)=0.336。9.已知随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(X>μ+2σ)的值是多少？参考答案：0.0228解析：由标准正态分布表可知，P(Z<-1)=0.2，P(Z<-2)=0.0228，因此P(X>μ+2σ)=0.0228。10.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机抽取100名学生进行调查，得到如下列联表：||对数学感兴趣|对数学不感兴趣|合计||-------|--------------|----------------|------||男生|30|20|50||女生|25|25|50||合计|55|45|100|根据列联表，能否有95%的把握认为“对数学的兴趣与性别有关”？（附K^2检验临界值表）参考答案：不能解析：根据K^2检验公式，K^2=(100×(30×25-20×25)^2)/(50×50×55×45)=4.545，临界值3.841，因此不能认为有95%的把握。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知一组样本数据：3,5,7,x,9，其平均数为6，则这组数据的方差为4。参考答案：×解析：由平均数公式可得(3+5+7+x+9)/5=6，解得x=6。样本方差s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n，代入数据得s^2=[(3-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2]/5=4.8，因此原命题错误。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击4次，恰好有3次命中目标的概率为0.8192。参考答案：×解析：设射击命中目标为事件A，则P(A)=0.7。连续射击4次，恰好有3次命中目标的概率为C(4,3)×0.7^3×0.3=0.4116，因此原命题错误。3.已知一组样本数据：2,4,6,8,10，其标准差为√10，则这组数据的极差为8。参考答案：√解析：极差是数据中的最大值减去最小值，即10-2=8。标准差与极差无直接关系，但原命题正确。4.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机抽取100名学生进行调查，得到如下列联表：||对数学感兴趣|对数学不感兴趣|合计||-------|--------------|----------------|------||男生|30|20|50||女生|25|25|50||合计|55|45|100|根据列联表，K^2的值为4.545。参考答案：√解析：根据K^2检验公式，K^2=(100×(30×25-20×25)^2)/(50×50×55×45)=4.545，因此原命题正确。5.已知随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(X>μ+σ)的值是0.8。参考答案：×解析：由正态分布对称性可知，P(X>μ+σ)=P(X<μ-σ)=0.2，因此原命题错误。6.某射手每次射击命中目标的概率为0.6，他连续射击5次，至少有3次命中目标的概率为0.832。参考答案：×解析：设射击命中目标为事件A，则P(A)=0.6。连续射击5次，至少有3次命中目标的概率为C(5,3)×0.6^3×0.4^2+C(5,4)×0.6^4×0.4+C(5,5)×0.6^5=0.832，因此原命题正确。7.已知一组样本数据：3,5,7,9,11，其平均数为7，则这组数据的方差为8。参考答案：√解析：样本方差s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n，代入数据得s^2=[(3-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-7)^2]/5=8，因此原命题正确。8.某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到至少3名男生的概率为0.835。参考答案：√解析：至少3名男生包括3名、4名和5名男生，概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)+C(30,4)×C(20,1)/C(50,5)+C(30,5)/C(50,5)=0.835，因此原命题正确。9.已知随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(X>μ+2σ)的值是0.0228。参考答案：√解析：由标准正态分布表可知，P(Z<-1)=0.2，P(Z<-2)=0.0228，因此P(X>μ+2σ)=0.0228，因此原命题正确。10.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机抽取100名学生进行调查，得到如下列联表：||对数学感兴趣|对数学不感兴趣|合计||-------|--------------|----------------|------||男生|30|20|50||女生|25|25|50||合计|55|45|100|根据列联表，能否有99.5%的把握认为“对数学的兴趣与性别有关”？（附K^2检验临界值表）参考答案：×解析：根据K^2检验公式，K^2=(100×(30×25-20×25)^2)/(50×50×55×45)=4.545，临界值7.879，因此不能认为有99.5%的把握。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述正态分布的性质。参考答案：正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，具有以下性质：（1）对称性：正态分布曲线关于均值μ对称；（2）钟形曲线：正态分布曲线呈钟形，在均值处达到最大值；（3）均值、中位数、众数相等；（4）68-95-99.7法则：约68%的数据在μ±σ范围内，约95%的数据在μ±2σ范围内，约99.7%的数据在μ±3σ范围内；（5）可加性：正态分布的线性组合仍然是正态分布。2.解释什么是超几何分布，并举例说明其应用场景。参考答案：超几何分布是一种离散概率分布，用于描述在不放回抽样情况下，从有限总体中抽取样本时成功次数的概率分布。例如：某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到3名男生和2名女生的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)=0.312。超几何分布在市场调研、质量控制等领域有广泛应用。3.什么是样本方差？如何计算样本方差？参考答案：样本方差是衡量样本数据离散程度的统计量，计算公式为s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/(n-1)，其中x̄为样本均值，n为样本容量。例如：一组样本数据为3,5,7,9,11，其平均数为7，则样本方差为s^2=[(3-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-7)^2]/(5-1)=8。4.解释什么是二项分布，并举例说明其应用场景。参考答案：二项分布是一种离散概率分布，用于描述在n次独立重复试验中，成功次数的概率分布。例如：某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击4次，恰好有3次命中目标的概率为C(4,3)×0.7^3×0.3=0.4116。二项分布在质量控制、医学试验等领域有广泛应用。5.什么是列联表？如何使用列联表进行假设检验？参考答案：列联表是一种用于分析两个分类变量之间关系的表格，例如：||对数学感兴趣|对数学不感兴趣|合计||-------|--------------|----------------|------||男生|30|20|50||女生|25|25|50||合计|55|45|100|使用列联表进行假设检验通常采用卡方检验，计算公式为K^2=[Σ((oi-ei)^2)/ei]，其中oi为观察频数，ei为期望频数。若K^2大于临界值，则拒绝原假设。6.解释什么是随机变量，并举例说明离散型随机变量和连续型随机变量。参考答案：随机变量是随机试验结果的数值表现，分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量：取值可以一一列举，例如：掷骰子出现的点数。连续型随机变量：取值可以连续取值，例如：人的身高。7.什么是抽样分布？抽样分布有什么作用？参考答案：抽样分布是指样本统计量的概率分布，例如：样本均值的分布。抽样分布的作用是用于推断总体参数，例如：通过样本均值的抽样分布来估计总体均值。8.解释什么是置信区间，并举例说明如何计算置信区间。参考答案：置信区间是指在一定置信水平下，包含总体参数的区间估计。例如：一组样本数据为3,5,7,9,11，其平均数为7，样本标准差为√8，则95%置信区间为(7±1.96×√8/√5)=(4.8,9.2)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击5次，恰好有3次命中目标的概率是多少？至少有3次命中目标的概率是多少？参考答案：（1）恰好有3次命中目标的概率为C(5,3)×0.7^3×0.3^2=0.3087。（2）至少有3次命中目标的概率为C(5,3)×0.7^3×0.3^2+C(5,4)×0.7^4×0.3+C(5,5)×0.7^5=0.8369。2.已知一组样本数据：2,4,6,8,10，其平均数为6，则这组数据的方差和标准差是多少？参考答案：样本方差s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n，代入数据得s^2=[(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2]/5=16。标准差s=√16=4。3.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机抽取100名学生进行调查，得到如下列联表：||对数学感兴趣|对数学不感兴趣|合计||-------|--------------|----------------|------||男生|30|20|50||女生|25|25|50||合计|55|45|100|根据列联表，计算K^2的值，并判断能否有95%的把握认为“对数学的兴趣与性别有关”？（附K^2检验临界值表）参考答案：K^2=(100×(30×25-20×25)^2)/(50×50×55×45)=4.545。临界值3.841，因此有95%的把握认为“对数学的兴趣与性别有关”。4.已知随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(μ-2σ<X<μ)的值是多少？参考答案：由正态分布对称性可知，P(X>μ+σ)=P(X<μ-σ)=0.2，因此P(X>μ)=0.5，P(μ-2σ<X<μ)=P(μ<X<μ+2σ)=0.5。5.某射手每次射击命中目标的概率为0.6，他连续射击4次，至少有2次命中目标的概率是多少？参考答案：至少2次命中目标包括2次、3次和4次命中，概率为C(4,2)×0.6^2×0.4^2+C(4,3)×0.6^3×0.4+C(4,4)×0.6^4=0.8192。6.已知一组样本数据：3,5,7,9,11，其平均数为7，则这组数据的极差和方差是多少？参考答案：极差是数据中的最大值减去最小值，即11-3=8。样本方差s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n，代入数据得s^2=[(3-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-7)^2]/5=8。7.某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到至少3名男生的概率是多少？参考答案：至少3名男生包括3名、4名和5名男生，概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)+C(30,4)×C(20,1)/C(50,5)+C(30,5)/C(50,5)=0.835。8.已知随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(X>μ+2σ)的值是多少？参考答案：由标准正态分布表可知，P(Z<-1)=0.2，P(Z<-2)=0.0228，因此P(X>μ+2σ)=0.0228。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.A3.B4.C5.A6.B7.A8.D9.A10.C二、填空题1.4.82.0.05763.84.4.5455.0.56.0.99887.88.0.3369.0.022810.不能三、判断题1.×2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，具有以下性质：（1）对称性：正态分布曲线关于均值μ对称；（2）钟形曲线：正态分布曲线呈钟形，在均值处达到最大值；（3）均值、中位数、众数相等；（4）68-95-99.7法则：约68%的数据在μ±σ范围内，约95%的数据在μ±2σ范围内，约99.7%的数据在μ±3σ范围内；（5）可加性：正态分布的线性组合仍然是正态分布。2.超几何分布是一种离散概率分布，用于描述在不放回抽样情况下，从有限总体中抽取样本时成功次数的概率分布。例如：某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到3名男生和2名女生的概率为C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)=0.312。超几何分布在市场调研、质量控制等领域有广泛应用。3.样本方差是衡量样本数据离散程度的统计量，计算公式为s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/(n-1)，其中x̄为样本均值，n为样本容量。例如：一组样本数据为3,5,7,9,11，其平均数为7，则样本方差为s^2=[(3-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-7)^2]/(5-1)=8。4.二项分布是一种离散概率分布，用于描述在n次独立重复试验中，成功次数的概率分布。例如：某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击4次，恰好有3次命中目标的概率为C(4,3)×0.7^3×0.3=0.4116。二项分布在质量控制、医学试验等领域有广泛应用。5.列联表是一种用于分析两个分类变量之间关系的表格，例如：||对数学感兴趣|对数学不感兴趣|合计||-------|--------------|----------------|------||男生|30|20|50||女生|25|25|50||合计|55|45|100|使用列联表进行假设检验通常采用卡方检验，计算公式为K^2=[Σ((oi-ei)^2)/ei]，其中oi为观察频数，ei为期望频数。若K^2大于临界值，则拒绝原假设。6.随机变量是随机试验结果的数值表现，分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量：取值可以一一列举，例如：掷骰子出现的点数。连续型随机变量：取值可以连续取值，例如：人的身高。7.抽样分布是指样本统计量的概率分布，例如：样本均值的分布。抽样分布的作用是用于推断总体参数，例如：通过样本均值的抽样分布来估计总体均值。8.置信区间是指在一定置信水平下，包含总体参数的区间估计。例如：一组样本数据为3,5,7,9,11，其平均数为7，样本标准差为√8，则95%置信区间为(7±1.96×√8/√5)=(4.8,9.2)。五、应用题1.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击5次，恰好有3次命中目标的概率是多少？至少有3次命中目标的概率是多少？参考答案：（1）恰好有3次命中目标的概率为C(5,3)×0.7^3×0.3^2=0.3087。（2）至少有3次命中目标的概率为C(5,3)×0