北师大版九年级数学上册 第2课时 正方形的判定（导学案）

第1章特殊平行四边形

1.4正方形的性质与判定

第2课时正方形的判定

【学习目标】

1.用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力.

2.探究并证明正方形的判定定理.

3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.

学习重点：证明正方形的判定定理.

学习难点：灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能九

【复习导入】

问题I：什么是正方形？正方形有哪些件质？

问题2：你是如何判定矩形、菱形的？

思考怎样判定一个四边形是正方形呢？

【合作探究】

探究点1：正方形的判定

活动1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形,

可量量验证验证.

猜想：满足怎样条件的矩形是正方形?

证一证

已知：在矩形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC1DB.

求证：四边形ABCD是正方形.

活动2把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量

看是不是正方形.

正方形

猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？

证一证

已知：在菱形ABCD中，对角线AC=DB.

求证：四边形ABCD是正方形.

归纳总结

常用的正方形判定方法:

定义法

矩形法

菱形法

归纳总结

正方形判定的几条途径:

练一练

1.在四边形ABCD中，0是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）

A.AC=BD,AB〃CD,AB=CD

B.AD〃BC,ZBAD=ZBCD

C.AO=BO=CO=DO,AC±BD

D.AO=CO,BO=DO,AB=BC

典例精析

例1如图，在矩形ABCD中，BE平分NABC,CE平分NDCB,BF〃CE,CF//BE.

求证：四边形BECF是正方形.

练一练

2.如图，在RtAABC中，ZC=90°,NA、ZB的平分线交于点D,DE±AC于点E,

DF±BC于点F.求证：四边形CEDF为正方形.

AB

探究点2:中点四边形问题

如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形

的形状有什么特征？

做一做

如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？

原四边形中点四边形

一般四边形平行四边形

平行四边形?

矩形?■

菱形?■

正方形

拓展1如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四

边形？

AEp

拓展2如图，顺次连接矩形ABCD各边中点,得到的四边形EFGH是什么四边形？

;＜一

G

拓展3如图，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形?

拓展4如图，顺次连接正方形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边

形？

归纳总结

原四边形中点四边形

一般四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形

思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？

当堂反馈

1.当矩形的对角线互相垂直时，此矩形将变成（）

A.菱形B.等腰梯形

C.正方形D.无法确定

2.在四边形ABC。中，NA=NB=NC=90。，如果添加一个条件，即可推出该四边形是

正方形，那么这个条件可以是（）

A.ZD=90°B.AB=CD

C.AD=BCD.BC=CD

3.如图，在。ABC。中，AC_L8。于点。.若不添加任何字母与辅助线，要使四边形A8CD

是正方形，则还需增加的一个条件是.

4.在口A8CD中，AC,BD为对角线，如果A8=BC,AC=8/）,那么。48C。一定是,

5.如图，EG,777都过正方形A8co对角线的交点。，且EGLFH.

求证：四边形ErG”是正方形.

参考答案

【合作探究】

探究点1:正方形的判定

证一证：证明：•・•四边形ABCD是矩形，

AAO=CO=BO=DO,ZADC=90".

・；AC_LDB,

:.AD=AB=BC=CD.

・•・四边形ABCD是正方形.

证一证

证明：•・•四边形ABCD是菱形，

AAB=BC=CD=AD,AC1DB.

*/AC=DB,

・•・AO=BO=CO=DO.

AAAOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形.

・•・ZDAB=ZABC=ZBCD=ZADC=90°.

・•・四边形ABCD是正方形.

练一练1.C

典例精析

例1证明：：BF〃CE,CF〃BE,

・•・四边形BECF是平行四边形.

•・•四边形ABCD是矩形，

ZABC=90%ZDCB=90°.

又丁BE平分/ABC,CE平分/DCB,

AZEBC=|ZABC=45°,ZECB=|ZDCB=45°.

ZEBC=ZECB.・,.EB=EC.

/.□BECF是菱形（菱形的定义）.

SAEBC中，VZEBC=45°,ZECB=45°,

・•・ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°-2x45°=90°.

・•・菱形BECF是正方形［有一个角是直角的菱形是正方形）.

练一练2.

证明：VDE1AC,DF1BC,

AZDEC=ZDFC=90°.

又•:ZC=90°,

・•・四边形CEDF是矩形.

过点D作DG±AB于点G.

VAD是NCAB的平分线，

DE=DG.同理，DG=DF,:.DE=DF.

・•・四边形CEDF为正方形.

知识点二：中点四边形问题

拓展1

解：连接AC、BD.

点E、F、G、H为各边中点，

：.EF=GH=-BD,FG=EH=-AC.

22

・•・四边形EFGH是平行四边形.

拓展2

解：连接AC、BD.

四边形ABCD是矩形，

/.AC=BD.

,点E、F、G、H为各边中点，

：.EF=GH=-BD,FG=EH=-AC.

22

:.EF=GH=FG=EH.

・・・四边形EFGH是菱形.

拓展3

解：连接AC,BD.

E,F分别是AB和BC边中点，

・•・EF〃AC,同理可证HG〃AC,EH/7BD,

，EF〃HG,EH〃FG,

・•・四边形EFGH,PFQO为平行四边形.

又•・•四边形ABCD是菱形

AAC1BD,

AZ1=90°,Z2=90°.

・•・四边形EFGH是矩形.

拓展4

证明：连接AC,BD,

•・•E,F分别是AB和BC边中点,

・•・EF//AC且EF=1AC,

同理可证HG/7AC且HG二JAC,

EH〃BD且EH=|BD,FG〃BD且FG=JBD.

・•・四边形PFQO为平行四边形.

又♦・♦四边形ABCD是正方形，

AAC=BD,AC±BD.

・•・EF=FG=HG=EH,ZDOC=90°.

••・四边形EFGH是菱形,ZEFG=90°.

・•・四边形EFGH为正方形.

归纳总结

原四边形中点四边形

一般四边形平行四边形

平行四边形平行四边形

矩形菱形

菱形矩形

正方形正方形

思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？

决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置

关系.

当堂反馈

l.C2.D3.AC=8Q（答案不唯）4正方形

5.

证明：•••四边形ABC。为正方形，

；.OB=OC,ZABO=ZBCO=45O,ZBOC=90°,

即NCO”+N8O”=90°.

■:EG1FH,••・NEO〃=9()。，即N8OE+N8O”=9(尸.JNCO〃=N8OE.