湘教版九年级数学上册《相似三角形的性质》同步练习题（带答案）

湘教版九年级数学上册《1.6相似三角形的性质》同步练习题（带答案）

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一、单选题

I.如图，A48C中，点。，上分别是AB,力。的中点，SMM，S08C分别表示△力0E，△的面积，则受匹=（）

S"8c

2.若△力BC与AOE尸的相似比为1:2,则对应边上的高之比为（）

A.1:1B.1:2C.2:1D.1:4

3.如图，71。与C0交于点。，且/CII5D.若BD=2AC,则△/OC的面积SN0C与A夕0。的面积S0”之间的关系正

确的是（）

M----------------、B

A*S^BOD=2S&AOCB.S^BOD=3SAAOC

C.S^BOD=4sMOCDS&BOD-5sMOC

4.如图△力OE~44BC,若/1D=1,BD=2,则△40E与△ABC的相彳以比是（）

A

----------------、C

A.1:2B.1:3C.1:9D.1:4

5.如图，在RtAABC中,CD是边HB上的高,若4c=4,4B=10,则力。的长为（）

C

ADB

A.1.5B.1.6C.1.8D.2.0

6.如图N/1CA=4(73。=9UIAC=y,CH=6.若AACB〜&CBD,则4。的长是(

A.2B.3C.4D-T

7.如图，矩形中4B=7,BC=12,E为边40的中点，点F为边。。上一点，将线段EF绕点E顺时针旋转90。得

到EH,若点“恰好在线段8户上，则CF的长是（）

C.4D.4.5

二、填空题

8.两个相似三角形面积比为1:4,则对应高的比为.

9.己知△48C〜AOEF,△A8C与△/）£1?的面积之比为1：4,则△ABC与△OEF的周长之比为

10.已知△ABCABC,它们的相似比为2:3,那么它们的周长比是,面积比是___.

11.如图月811c。，口.△。月8与△OCD的面积之比是1:4,若。月=2.则AC的长为.

13.如图，在△力BC中，。是4B上的一点NACD=NB,AC=4,AB=8,则4D=

c

14.如图，正方形力BCD中BC=2,点M是边A8的中点，连接CM,DM与4c交于点P,点E在DC上，点F在DP上,

且NOFE=45°.若PF=—,贝IJCE=_____.

6

三、解答题

15.如图，点0、E分别在边力B、ACkZ-ADE=Z.C,若48=9,AD=2,AC=6,求力E的长.

如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板A8CD上裁剪出一对“仿古三角旗”(阴影部分)，其中点E,F分别在4。，BC

上，连结EF交AC于点G.

【数学理解】

(1)这对'仿古三角旗”是相似的，请写出△4EG〜△CrG的证明过程.

(2)若AB=28F=4DE,CG=5,求月G的长.

17.如图，在△ABGf,点。是8C边上一点，连接4。，8C=24C=4,CD=1,求证：Z.ABC=/LDAC.

BC

D

18.如图，点。、E分别在aABC的边AB、AC上，若乙4=40°,ZB=65%Z.AED=75°.

⑵已知=2:3,AE=3,求4C的长.

19.如图，在△力BC与△力DE中==90。，/-ABC=/-ADE,连接BD,CE,若AC=BC，求证：△ACE〜

△ABD.

20.如图，ADE^LBAD=Z-CAE,4ABC=B、D、E三点共线，求证：祭=

21.【教材呈现】

关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半这一性质，华师版新、旧教材给出两种不同的证明

方法.

已知：如图①，在△A8C中，点D,E分别是A8和4C的中点.

求证：DE\\BC,DE=-BC.

方法一：新版八下教材第99页如图②，过点C作CrWAB,且与DE的延长线交于点F.由平行线性质和已知条件,

可以证明△ADE三△CFE,从而推出四边形是平行四边形，可得DE\\BC,DE=EF=^BC.

方法二：旧版九上教材第77页如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似''证明△力〜△/WC,再利

用“相似三角形的对应边成比例,对应角相等“，可得DEWBC,DE=-BC.

图①图②

图④

(1)请按照方法二写出完整证明过程.

证明；

(2)【结论应用】如图③，在四边形中A。=BC,点P是对角线8D的中点，点M、N分别是中点4MPN=118°,

则4PNM的度数是

(3)【拓展延伸】如图④，在四边形力中力C1BD,且AC=8。=8,点，、Q分别是4。、的中点，则，Q的长

度是

参考答案

题号1234567

答案CBCBBCC

1.C

【分析】证明△力0E〜△ABC即可解答.

【详解】解：•.•点。七分别是484C的中点

ADE||BCDE=^BC

ADEABC

SAABC\RC/4

2.B

【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解.

【详解】解：•・•相似三角形对应边上的高之比等于相似比

又♦：△DEF的相似比为1:2

，△4BC与△CE/对应边上的高之比为1:2.

3.C

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.

【详解】解：•：ACWBD

△AGCs&BOD

，：BD=2AC

"丫=(,2=工

SABOD\BDJ\2J4

:。SRBOJ=4s

4.B

【分析】求出AB的值进而即可求出△ADE与△ABC的相似比.

【详解】解：'：AD=1BD=2

：.AB=AD+DB=3

.•・△AOE与AHBC的相似比为4=1:3.

5.B

【分析】根据题意证明△力CD〜AABC利用相似三角形对应边成比例得出*=*代入已知数据计算即可得出结

ABAC

果.

【详解】解：/-ACB=90°CD1AB

•••/.ADC=乙ACB=90°

又•••4CA0=z-BAC

•••△ACDABC

.AC_AD

"AB-AC

•••AC=4AB=10

4_AD

=

10-----4

•••AD=—=1.6.

io

6.C

【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求解.

【详解】解：OACBjCBD

.AC_CB

•・布一'BD

即2=2

6BD

=4.

7.C

【分析】过点H作HM_L40于点M过点〃作HN，力3于点N假设CF=x证明△EMH三△尸0E得出相等的线

段表示出相关线段证明△BNH~ABCF得出黑=会列出分式方程求解.

nNBC

【详解】解：如图所示过点H作HM140于点M过点、H作HNJ.AB于点、N

=乙EMH=(ANH=乙BNH=90°

•・,四边形48CD为矩形

力=乙ABC=40==90°,AD=BC=12,CD=AB=7

:.NH||BC

LBHN=乙FBC

：,△BNH八FCB

...-B-N=一CF

HNBC

由旋转可得EF=EH,乙HEF=90。

=乙DEF=90°-乙HEM

•••△EMH三△9DE(AAS)

・・・MH=DE,ME=DF

YE为边的中点

：,AE=DE=MH=6

假设CF=x则ME=DF=7-x

：.AM=AE-ME=x-1

•：5=Z.AMH=Z.ANH=90°

，四边形/1N"M是矩形

:・HN=AM=x-lAN=MH=6

=AB-AN=1

••1•=一X

X-l12

解得％=4（负值已舍）

经检验当％=4时X-1=3手0是原分式方程的解符合题意

ACF=4.

8.1:2

【分析】两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

【详解】解：•••两个相似三角形的面积之比为1:4

，两个相似三角形的相似比为1:2

•••这两个三角形对应高比为1:2.

9.1:2

【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方周长比等于相似比先求出两个三角形的相似比即可得到周长

之比.

【详解】解：VAABC-ADEF44BC与NDEF的面积之比为1:4

.•.44BC与40E尸的相似比为1:2

••・相似三角形的周长比等于相似比

•••zL4BC与4DEF的周长之比为1:2.

10.2:34:9

【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比面积之比等于相似比的平方求解即可.

【详解】解：•・•两个相似三角形的相似比为2:3

•••它们的周长比为2:3面积比为4:9.

11.2

【分析】由相似三角形面积的比等于相似比的平方求出OC进而求出4C即可.

【详解】解：•••4BIICD

•••△OABOCD

•••△。43与40。。的面积之比是1:4

OA1

:.--=一

OC2

•••OA=2

:.OC=4

.'.AC=OC-OA=4-2=2.

12-5

【分析】先证明△力OE〜△ABC得到*=芸=饕=5再根据比例的性质从而得出答案.

ABACDC3

【详解】解：・・・DE||8C

Z.ADE=乙B,乙AED=Z.C

△ADE〜bABC

,AD_AE_DE_2

ABACBC3

.AD+AE+DE_2

**AB+AC+BC_3"

13.2

【分析】证出人40〜人力”利用相似二角形的性质求解即可.

【详解】解:在AACD和△4BC中

(Z.ACD=乙B

I44=乙A

/.△ACDABC

.AD_AC

••就=而

9：AC=4AB=8

.AD4

♦•—

48

解得/W=2.

I4-A

【分析】连接“首先求出DM0尸的长证明尸〜aOPC可得会=黑求出DE即可.

L/CkJr

【详解】解：如图连接EF

•••四边形A8CD是正方形

，AB=BC=CD=DA=2乙DAB=90°乙DCP=45°

AM=BM=1

在RtaADM中DM=y/AD2+AM2=V5

vAM||CD

MPADPC

AM_MP_1

"~DC=~PD=2

•••DP=—

PF

6

V5

DF=DP—PF=—

vZ.EDF=Z.PDCZ.DFE=Z.DCP

DEFDPC

DFDE

DCDP

5

・♦.DE=-

6

CF=CD-DF=2-7=7.

66

15.3

【分析】利用题目条件推出△&48从而与=需代入值可得4E的长.

ACAB

【详解】解：匕DAE=Z.CAB/.ADE=ZC

DAECAB

AD_AE

"AC=AB

vAB=9AD=2AC=6

2AE

._—___

"6-9

AE=3.

16.（1）见解析

⑵AG=y

【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即

可判断

（2）根据菱形的性质和己知可得力£CF=BC-BF=-AB结合（1）中〜产G可

42

得催=竽甘由此即可求解.

【详解】（1）解：•・•在菱形力BCD中ADIIBC

：,LAEG〜>CFG

(2)解：*：AB=2BF=4DE

又丁在菱形49C0中ADAB=BC

，AE=AD-DE=AB--AB=-AB

44

11

CF=BC-BF=AB--AB=-AB

22

由（1）得：AAEG八CFG

,AGAE

..—=—

GCCF

17.证明：'：BC=2AC=4

：.BC=4AC=2

*：CD=1

.AC21CD1

..—=-=--=-

BC42AC2

.・.任=竺

BCAC

VzC=Z-C

△ABCDAC

：.LABC=LDAC.

【分析】先计算出胎二年再由“=”即可判定出△ABC'ZMC进而即可得解.

oCAC

【详略

18.（1）

证明：*：Z-A=40°乙B=65。

AzC=180°-40°-65°=75°

AzC=Z-AED

XVzZ=N4

/.△ADEABC

喈

【分析】（l）根据两组对应角相等证明△力DE〜a/lBC

（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解.

【详解】⑴略

（2）解：vAADEfABC

•••A一D=A一E

ABAC

解得力C=y.

19.证明见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质根据相似三角形的判定^ABC^ADE得畔脸端根

据勾股定理得到再根据“4C+N8/1E=N04E+N84E推出Z&4E=NB40最后根据相似三角形的

/1O乙

判定即可.

【详解】解：证明如下:

=Z.AED=90°

△ABCADE

AC_BC_AB

AE~DE~AD

AC=BCZ-ACB=90°

：.AD=QAC?+BO=42AC^ADC=乙BAC=45°

・AC42

••--=--

AB2

*：^.BAC=乙DAE=45°

：.Z-BAC+Z.BAE=Z.DAE+Z-BAE

・"C4E=Z.BAD

..AC__AE_42

'AB~AD~2

△ACE