线段双中点模型（解析版）-七年级数学上册重难点题型突破

专题4.1线段双中点模型

一国4m___________________

模型一：两线段无公共部分（作和）

已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=5C

证明：•・,点M、N为线段AB、BC的中点

AMBNC

/.MB=|AB,BN=1BC•••・••

贝I]MN=MB+BN=TAB*BCWG4B+BC）=\AC

文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半

模型二：两线段有公共部分（作差）

1）己知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，MMN=jAC

证明：•・•点M、N为线段福、BC的中点AMCNB

AMB=|AB,BN=1BC

2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=1AC

证明：•••点M、N为线段邨、BC的中点____4nA/

.-.MB=|AB,BN号BCMN

则“皿二忸\昨敏和二:缸一砸二碗

/z/，

文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半解:

速记口诀：一半一半又一

匡满今於栋

【典例1】（2022秋•大竹县校级期末）已知，点C是线段48上的一点，点用

是线段4c的中点，点N是线段8。的中点.

（1）如果18=10o〃，那么MN等于多少？

（2）如果4C：BC=3：2,NB=35cm,那么力4等于多少？

AMCNB

【答案】(1)5cm-,(2)11.5cm.

【解答】解：(1)MN=CM+CN

=-2AC+2BC

=知

=5cm；

(2)•:NB=35cm,

:・BC=7cm,

：.AB=74--

5

=17.5。〃.

AMCNB

II111

【变式1-1](2022秋•离石区期末)如图，点”是45的中点，点N是的

中点，AB=\2cm,BC=20cm,CD=\6cm,则MN的长为()

।___।____।____________।___।_______।

AMBNCD

A.24cmB.22cmC.26cmD.20cm

【答案】A

【解答】解：..•点M是N5的中点，

：.BM=AM=1AB=1X12=6(cm),

22

•・・BC=20CTW,CO=16C〃7,

・・・8。=8。+。=20+16=36(cm),

・・,点N是8。的中点，

ABN=DN=lBD=lx36=18(cm),

22

Z.MN=MB+BN=6+18=24(cm).

故选：A.

【变式1・2】(2023•天心区开学)如图，C是线段48上的点，。是线段力C的

中点，E是线段BC的中点，若45=10,则DE长为()

1111]

ADCEB

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解答】解：丁点。是线段4。的中点，

：.AC=2CD

•・•点E是线段的中点，

：.BC=2CE

VJB=10,

:・AB=AC+BC=2CD+2CE=2（CQ+CE）=2DE=\0,

:・DE=5,

故选：C.

【变式1-3]（2023春•德城区校级月考）如图，4、B、C、。是直线上的顺次

四点，"、N分别是4?、CQ的中点，且"N=6cm,BC=3cm,则力。的长

等于（）

~A'_BC*~D~

A.ScmB.9cmC.10cmD.11cm

【答案】B

【解答】解：•：MN=6cm,BC=3cm,

:・MB+CN=MN・BC=3.

•・・〃、N分别是CO的中点，

:,AB=2MB,CD=2CN.

：.AB+CD=2MB+2CN=2（MB+CN）=6.

；.AD=4B+BC+CD=（AB十CD）+BC=6+3=9（cm）.

故选：B.

【典例2】（2022秋•双阳区期末）如图，线段48=10cm,点C为线段力8上一

点,BC=3cm,点、D,E分别为4C和48的中点，求线段。石的长.

■I■

ADECB

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由线段的和差，得

AC=AB-BC=\0-3=7cm,

由点。是力。的中点，

所以/。=工4。=上义7=岂）”

222

由点E是48的中点，得

AE=1AB=1-X10=5"?，

22

由线段的和差，得

DE=AE-AD=5-工=当〃？.

22

【变式2・1】（2022秋•仪征市期末）如图，线段48=10cm,C是线段上一

点，AC=6cmfD、E分别是48、8C的中点.

（1）求线段CO的长；

（2）求线段。石的长.

♦」」.」.」

ADCEB

【答案】（1）\cm；

（2）3cm.

【解答】解：（1）是4B的中点，

：.AD=X4B=lx10=5。〃，

22

a

：CD=AC-ADt

.".CD=6-5=Icvw；

（2）・：BC=AB・AC,

：.BC=[0-6=4cm.

・・・£是3。的中点，

・•・CE="C=-lx4=2cm,

22

•:DE=DC+CE,

DE=1+2—3cm.

【变式2-2]（2022秋•天山区校级期末）如图，已知线段4B=60cm,M为43

的中点，点尸在上，点N为PB的中点，且NB=13c〃?,求MP的长.

AMPNB

【答案】4cm.

【解答】解：TA/是48的中点，

・・.M8=L5=JLX60=30(cw)；

22

・；N为PB的中点,且N8=13c加，

・・・P8=2N8=2X13=26(cm)；

9：MB=30cm,PB=26cm,

：.PM=MB-F5=30-26=4(cm).

【典例3】(2022秋•驻马店期末)线段/8=16,C,。是线段力B上的两个动

点(点。在点。的左侧)，且CO=2,E为8C的中点.

(1)如图1,当/C=4时，求。f的长.

(2)如图2,尸为的中点:

①点C,。在线段48上移动的过程中，线段环的长度是否会发生变化，若

会,请说明埋由，若不会，请求出川的长.

②当b=0.8时，请直接写出线段。E的长.

AC~DEB

图1

AF~C~DEB

图2

AB

备用图

【答案】(1)4；

(2)①线段石厂的长度不会发生变化，EF=7；

②4.2或5.8.

【解答】解：(1)VJC=4,48=16,

・・・8C=12,

・・・£为3c的中点，

ACE=6,

VCD=2,

：.DE=6-2=4；

(2)①・・・E是8C1勺中点，尸是力。的中点，

.11

••AF=FD=yAD»CE=BE=yBC»

：.EF=FD+DE

yAD-^BC-CD

y(AD+EC)-CD

二3(AD+BDMD)-CD

=ABCD

4乙-^乙-

Tx16-1

2

=7,

・・・线段EP的长度不会发生变化，EF=7；

②当点"在点C的左侧时，

VFC=0.8,CD=2,

:・FD=FC+CD=2.8,

由①知£F=7,

：.DE=EF-b0=7-2.8=42

当点尸在点C的右侧时，

•・•下C=08,CD=2,

:.FD=CD-FC=\2,

由①知E广=7,

：.DE=EF-FD=7-1.2=5.8,

综上所述，当。尸=0.80寸，线段。£的长为4.2或5.8.

【变式3-1](2022秋•聊城期末)如图，。为线段4B上一点，。为C3的中点,

AB=1Ocm,AD=7cm.

(1)求力C的长；

(2)若点E在线段48上，且CE=2cm,求8E的长.

I111

ACDB

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）解：•.Z8=10cm,AD=7cm,

:.BD=3cm,

*：D为CB的中点，

：.CB=2BD=6cm.

.9.AC=4cm.

(2)解：当点E在点C左侧时，BE=CB+CE=8cm：

当点E在点C右侧时，BE=CB-CE=4cm.

【变式3・2】(2022秋•禹城市期末)如图，已知点。为线段48上一点，4C=

12cm,CB=8cm,D、E分别是4C、48的中点.求：

(1)求力。的长度；

(2)求。E的长度；

(3)若A/在直线45上，且A"=6c〃?，求4M的长度.

I__________I______I___I___________/

ADECB

【答案】(1)6cm；

(2)4cm；

(3)26cm或14cm.

【解答】解：(1)由线段中点的性质，力。=14c=6(cm)；

2

(2)由线段的和差，得"=/C+8C=12+8=20(c/«),

由线段中点的性质，得/E=_1AB=10(cm),

2

由线段的和差，得Z)E=ZE-4Q=10-6=4(cm)；

(3)当M在点8的右侧时，AM=AB+MB=20+6=26(cm),

当收在点8的左侧时，AM=AB-MB=20-6=\4(。〃)，

：.AM的长度为26cm或14cm.

锦后制珠

1.(2022秋•栾城区校级期末)如图，M是力C的中点，N是8c的中点，若

AB=5cm,MC=\cmf则N3的长是()

11」」」

AMCNB

A.2.5cmB.1.5cmC.2cmD.3c〃？

【答案】B

【解答】解：・・・M是力。的中点，AB=5cm,MC=\cmf

：.AC=2CM=2cm,BC=AB-AC=5-2=3cm,

是3C的中点，

・1

••BN=yBC=l.5cm

故选：B.

2.（2022秋•铜梁区期末）如图，点8在线段NC上，点。是线段48的中点,

点0是线段4C的中点，若/C=16cm,BQ=6cm,则尸。的长度是（）

PQ

A*B'C

A.5cmB.6cmC.1cmD.Scm

【答案】C

【解答】解：•・•点0是线段4C的中点，AC=16cm,

•»AQ=Scm,

VBQ=6cm,

:・AB=2cm,

•・•点。是线段48的中点，

:.PB=1cm,

PQ=PB+BQ=1cm-^6cm=7cm,

故选：C.

3.（2022秋•新会区期末）如图，点C是线段4?的中点，。是线段力。的中点，

若48=8,则线段0c的长度是（）

I」」」

ADCB

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解答】解：•・•点C是线段的中点，

.11

••AC=yAB=yX8=4'

又•・,点。是线段力。的中点，

.11

・・CD畸AC畸X4=2，

故选：C.

4.（2023春•张店区期末）如图，。是48的中点，E是8c的中点，若

5,8C=8,则下列说法中错误的是（）

I______I___________II____\

ADBEC

A.AC=18B.DC=\3C.DE=10D.BE=4

【答案】C

【解答】解：♦・•。是45的中点，£是8C的中点，［0=5,BC=8,

：・AD=BD=1AB=5,BE=CE=1BC=4,

22

：.AC=AB+BC=\^,因此选项/不符合题意；

。。=力/升NC=5+8=13,因此选项。不符合题意：

DE=DB+BE=5+4=9,因此选项。符合题意；

BE=CE=LBC=4,因此选项。不符合题意；

2

故选：C.

5.（2023春•肥城市期末）如图，点3、。在线段4c上，且3。=工48=」

34

CD,E、歹分别是18、CQ的中点，EF=\0cmf则CQ=（）cm.

♦•♦♦♦•

AEDBFc

A.16B.12C.8D.6

【答案】A

【解答】解：由BD=LB=LCD,得

34

AB=3BD,CD=4BD.

由线段的和差，得

AD=AB-BD=2BD,AC=AD+CD=2BD+4BD=6BD.

由线段45、CO的中点石、F,得

AE=LB=1BD,FC=1CD=^BD=2BD.

2222

由线段的和差，得EF=AC・AE・FC=6BD-耳D-2BD=10,

2

解得：BD=4,

C£)=AX4=X12X4=16

4B4Q'm)’

故选：A.

6.(2023春•九龙坡区校级期中)如图，已知点。是线段48上一点，AC：BC

=8：3,点£是48的中点，点。是4c的中点.若DE=9,则48的长为

()

IIII|

ADECB

A.48B.52C.60D.66

【答案】D

【解答】解：设

VAC：BC=8：3,

・・・/。=旦，

11

•・•点E是48的中点，

.\AE=^AB=^x,

22

•・,点。是4C的中点，

・・・4o=Lc=±,

211

♦：DE=9,

：.DE=AE-AD=lx-±=9,

211

解得x=66,

：.AB=66.

故选：D.

7.(2023秋•沙坪坝区校级月考)如图，己知：线段月B,延长13到点。，使

得3C：AB=2：5,点。为4c的中点，E为43的中点，若4。=14,求线

段QE的长度.

AEDBC

【答案】2.

【解答】W：VBC：45=2：5,

•••设8c=2x,AB=5x,

*.AC=AB+BC=5x+2x=7x,

,・ZC=14,

A7x=14,

解得：x=2,

.•・4B=5x=10,

・・,点E为48的中点，

:・AE=BE=5,

,・♦点。为力。的中点，

:・AD=CD=7,

:・DE=AD-AE=7-5=2.

故莲段DE的长度为2.

8.（2022秋•仓山区期末）如图，点E是线段48的中点，C是EB上一点,且

EC：CB=1：4,AC=12.CIH.

（1）求48的长；

（2）若尸为的中点，求政长.

J▲AiJ

AECFB

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图所示：

/1AAJ

AECFB

（1）设EC的长为x,

VEC：CB=\：4,

：.BC=4xf

又,：BE=BC+CE,

:・BE=5x,

又YE为线段的中点，

；.AE=BE=£Q,

•»AE=5xr

又,：AC=AE+EC,AC=\2cm,

••6x=12,

解得：x=2,

・••力B=1Ox=20cm；

(2)・・・b为线段C8的中点，

.1

•­CF-yBC=2x*

又・：EF=EC+CF

.\EF=3x=6cm.

9.(2023秋•聊城月考)如图，点C在线段48上，点M、N分别是4C、BC

的中点.

(1)若4C=10cm,C8=8C〃7,求线段MN的长；

(2)若C为线段上任一点，满足4C+C3=m其它条件不变，你能猜想

MN的长度吗？写出你的结论并说明理由；

(3)若C为直线48上线段之外的任一点，且力CB=〃，则线段

MN的长为一-i-(n-m)或1(irrn)一•

IIIII

AMCNB

【答案】(1)9cm；

(2)MN=la,理由见解析；

2

(3)3(n-m)或得(irrn)，

乙乙

【解答】解：(1)•・•点M,N分别是4C,8C的中点，4c=10c〃z,C8=8

cm,

CM——AC=5cm,CN=-BC=4cm

22

AMN=CA/+CA^=-1AC-^BC=5+4=9

乙乙

(2)MN=LQ,理由如下：

2

,:点、M,N分别是4C,8。的中点，

・・・。”黑(?CNYBC，

乙乙

♦：MN=CM+CN,

*：AC+CB=a1

:.MN=L；

2

(3)分两种情况讨论：

①当。在力的左侧时，如图2,

।iI__________I_____________________L

CMANB

图2

•・•点M,N分别是4C,BC的中点，

,-.CM=1AOCN=/CB

:、MN=CN-OW=±CB_±CA=±(CB-CA)，

乙乙乙

*•AC—m>CB=n,

*.MN=^-(n-m);

②当。在8的右侧时，如图3,

AMBNC

图3

,:点、M,N分别是4C,8。的中点，

・・・CN=/BC，^=|AC

乙乙

:.MN=MC-C7V=1AC-1BC=1(AC-BC)*

乙乙乙

**AC=m>CB=n,

,、

MNA.(m-n).

故答案为:-y(n-m)或1(m-n)•

10.(2022秋•益阳期末)(1)如图，己知点。在线段力B上，AC=6cm,且

BC=4cm,M、N分别是4C、8C的中点，求线段MN的长度；

AMCNB

(2)在(1)题中，如果力。=农7〃，BC=bcm,其他条件不变，你能猜出MN

的长度吗？请你用一句简洁的话表达你发现的规律；

(3)对于(1)题，当点。在84的延长线上时，且其他条件不

变，求的长度.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)・・・/C=6c〃z,点M是4C的中点，

•**(JM=C=3ci7i,

2

•・・BC=4c〃?，点N是BC的中点，

：.CN=lBC=2cm,

2

:.MN=CM+CN=5cm,

.,•线段MN的长度为5cm；

(2)\•点M、N分别是4C、3c的中点,

•••CM=1,CN=U

乙AC乙Q

:.MN=±(4C+3C)=-^iLrir：

22

规律：宜线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；

(3)当点C在氏4的延长线上时，MN=-1(3C-4C)=上梯』.

222

11.(2022秋•韩城市期末)如图，点C是线段4月上一点，并且力C：CB=\：

2,点M,N分别为4cC8的中点.

(1)若线段48=24的,求804c的值;

(2)若线段48=〃cm,求线段MV的长.(用含。的式子表示)

I_____I____I____________I____________I

AMCNB

【答案】(1)8c/n；

'-;MN=^-acm-

【解答】解：(1)因为力C：CB=1：2,AB=24cm,

''1以AC]AB=8cirrCBqAB=16cm,

oo

所以BC-4C=16-8=8(cm)；

(2)因为点M,N分别为4C,CB的中点，

所以MCIAGCN=4CB'

乙J

所以HN=MC+NC](AC+BC)=yAB-

乙乙

又因为4B=ac〃?,

助以MN=^~acm-

12.(2022秋•江夏区校级期末)如图，点E是线段43的中点，。是E3上一

点,4c=12,

(1)若EC：CB=]：4,求48的长；

(2)若尸为C8的中点，求£尸长.

/-------------------S—C~~F------%

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)VEC：CB=\：4,

・••设"=》，贝iJC3=4x,

•・•点E是线段力8的中点，

：.AE=BE,

."E=5x,

**•AC=6x—12»

**•x=2,

：.AB=\0x=20；

(2)•・•点E是线段的中点，

；.AE=BE,

设CE=x,

:・AE=BE=V2-x,

：.BC=BE-CE=n-x-x,

♦・,尸为08的中点，

：.CF=lBC=6-xt

2

:・EF=CE+CF=x+6-x=6.

13.(2022秋•吉州区期末)已知：如图，线段,40=8,点心。在线段力。上,

灰7=3,点N分别是线段43,CO的中点，求A/N的长.

AMBCND

【答案】见试题解答内容

【解答】解：TA/、N分别是48,的中点，

:.MN=MB+BC+NC=LB+BC+LCD=1~(AB+CD)+8C=」(AD-BO+BC

2222

=_1(8-3)+3=5.5.MN=5.5.

2

14.(2022秋•清河区校级期末)如图，C是线段48上一点，线段力8=25cm,

BC=2AC，。是4。的中点，石是48的中点.

3

(1)求线段CE的长；

(2)求线段。后的长.

4.-------------------------------田

DEC

【答案】(1)CE=2.5cm；

(2)DE=5cm.

【解答】解：(1)­=25cm,BC=ZC,

3

・・・8C=%B=2X25=10(cm),

55

YE是力8的中点，

・・・8后=18=12.5c掰，

2

：.EC=[2.5-10=2,5(。〃)；

(2)由(1)得，AC=AB-CB=25-10=15(cm),

・・,点。、E分别是4C、45的中点，

：.AE=kAB=^x25=12.5Ccni),/O=X1C=工x15=7.5(cm),

2222

：.DE=AE-AD=12.5-7.5=5Cem).

15.(2022秋•东莞市期末)如图，点C是线段.48上的一点，点M是线段/C

的中点，点N是线段的中点.

(1)如果43=12。加,4M=5cm,求8C的长；

(2)如果MN=8cm,求48的长.

IIIII

BNCMA

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)丁点M是线段4。的中点，

：.AC=2AM,

'CAM=5cm,

».AC—1Ocm,

9

：AB=\2cmf

••BC=AB-4C=2cm；

(2)・・,点/是线段力。的中点，点N是线段8C的中点，

:・BC=2NC,AC=1MC,

VMN=NC+MC=8cm,

：.AB=BC+AC=2MN=2X8=16cm.

Illi1

BNCMA

16.(2022秋•黄石期末)如图，已知点力、3在数轴上对应的数分别为-2和

14,点C、。在线段48上，且CO=4,点E、/分别是/C、8。的中点.

(1)若为C=4,求线段Eb的长.

(2)当线段CD在线段力8上运动时，试判断防的长度是否发生变化.如果

不变，请求出政的长；如果变化，请说明理由.

A••E・C•DF•B•A

【答案】(1)10；(2)不改变，理由见解析.

【解答】解：(1)・・•点力、8在数轴上对应的数分别为-2和14,

：.AB=}6,

CD=4,4C=4,

:・BD=AB・CD-AC=8,

•:E、尸分别是4C、8。的中点，

：,CE=lAC=2fDF=1BD=4,

22

・•・EF=CE+CD+DF=10；

（2）不改变，

理由：,・"8=16,。。=4,

：.AC+BD=AB-CD=\2,

・・・£、•分别是4C、BD的中点,

・,.CE=LC,DF=LBD,

22

：.CE+DF=LC+MD=6,

22

:.EF=CE+CD+DF=10.

17.(2022秋•福清市期末)如图，C为线段43上一点，M为力C的中点，N

为5C的中点，其中4C=8,AC<BC.

(1)若8c=12.求MN；

(2)若。为上一点，满足2CD=BN-4,请说明：点。是线段MN1勺中

点.

【答案】(1)10,；(2)理由见解析.

【解答】解：(1)・・,"为4C中点，AC=8,

/.MC=-^4C=4f

2

<N为CB中点,BC=12,

:.CN=1BC,

2

・•・MN=MC+CN=4+6=10.

(2)・・・/为4。中点，4C=8,

MC=-4C=4,

2

：.MD=MC+CD=4+CO,

•：2CD=BN-A,

:・BN=2C04,

TN为CB中点，

:・CN=NB=2CD+4.

：.DN=CN-CD=2CD+4-CO=CO+4,

:・MD=DN,

：.D为MN中点、.

18.（2022秋•洪山区校级期末）已知，直线/上线段48=6、线段。。=2（点

力在点3的左侧，点。在点。的左侧）.

（1）若线段4c=1,则线段7或9；

（2）如图2,点夕、。分别为8c的中点，求线段。。的长度；

（3）若线段CO从点8开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从

点/开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段8。的中点，若MN=

2DN,求线段CO运动的时间.

ABPQCD

图2

AMBCND

图3

【答案】（1）7或9；

（2）2；

（3）2s或18s.

【解答】解：（1）①当点。在点片的左侧时，

•・Z8=6,BC=1,CD=2,

：.AC=5,

；.AD=AC+CD=7,

②当点。在点8的右侧时，

•:AB=6,BC=1,CO=2,

：.AD=AB+BC+CD=9,

・••线段力。=7或9；

故答案为：7或9；

（2）设8C=x,

则4Q=48+8C+CZ）=8+x,

丁点尸、。分别为8。的中点，

・・.尸。=工。=4+工，CP=i,

222

：.PQ=PD-CD-C0=4+Ar-2-L=2；

22

(3)线段CD运动的时间为3

则4W=2f,BC=t,

:.BM=AB-4M=6-It或BM=AM-AB=2t_6,BD=BC+CD=t+2,

,・♦点N是线段8。的中点，

：.DN=BN=lBD=lt+\,

22

，：MN=2DN,

・・・6・2r+L+l=2(1/+1)或(2r-6)-(L+l)=2(X+l),

2222

解得：z=2或z=18

故线段CD运动的归间为2s或18s.

19.(2022秋•凤凰县期末)如图，线段43=12,点C是线段45的中点，点。

是线段8c的中点.

(1)求线段力。的长；

(2)若线段力。上有一点、E,且CE」BC，求力E的长.

3

ACDB

【答案】⑴9；(2)4.

【解答】解：(1)因为43=12,点C是线段48的中点，

所以AC=BC=6,

又因为。是8C的中点，

所以CD=^BC=3，

所以AD=AC+CD=6+3=9；

(2)因为8C=6,CE'B。

所以，CE]X6=2，

故:AE=AC-CE=6-2=4.

19.(2022秋•洛阳期末)(1)如图，点。在线段48上，点/、N分别为

AC.8C的中点.如果4C=6C〃7,MB=\Ocm,求线段8C、MN的长；

(2)如果点。在线段48的延长线上，/、N分别是线段4。、8。的中点，

且满足4c-4C=bc〃z,求MN的长度.

II,iI

AMCNB

【答案】(1)6.5cm；

(2)，cm.

2

【解答】解：(I)・.1C=6c〃z,,M是4c的中点，

：.AM=MC=C=3cm,

2

:・BC=MB-MC=7cm,

•••N为AC的中点，

:,CN=LBC=35cm,

2

:・MN=MC+CN=6.5(cm)；

(2)点。在线段4B的延长线上，如图：

tIill

AMBNC

•・•/是NC中点，N是BC中点，

・・.MC=LC,NC=1BC,

22

■:AC-BC=bcm,

：.MN=MC-CN=^4C-1BC=