直线与圆中的最值、范围问题（讲义）原卷版-2026年高二数学（人教A版）

厂痴01斜率、内+外的几何意义应用

T〔题型°2两点间的距离公式几何意义应用）

直线与圆中的Y题型03点到线、两平行线间的距离）

最值、范围问题

题型04定点到圆上的最值问题

（含将军饮马问题）J

题型05弦长、切线长有关的最值问题

知识点01代数式的几何意义最值（范围）问题

1、形如歹=匕心，可以转化为过点（x,y）和点伍力）的动直线斜率；

x-a

2、形如z=（x-a）2+（y—6）2,可以转化为点（x,y）和点伍,6）的距离的平方；

3、形如z=〃x+勿，可以转化为动直线纵截距

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即时即练

1.已知圆C：（A-+2）2+V2=1,P（x,y）为圆C上任意一点.

（1）求2的最大值利最小值；

X-1

（2）求x-2y的最大值和最小值；

⑶求（x-炉+（广1）2的最大值和最小值.

知识点02距离与位置关系中的最值、范围问题

一、常用距离公式

1、点到点的距离公式:平面内两点々（菁,必），鸟（忆,必）间的距离公式为：\P}P2\=J（X|72『+（必一%丫•

2、点到直线的距离公式：点尸（天,盟）到直线/:"+为+C=0的距离d」1.

3、直线到直线的距离公式：两条平行直线4：4c+By+G=0,/,:JX4-^+C2=0（C,^C2）,它们之间的距

离为：.

>IA2+B2

二、三点共线最值问题

I、点A、8在直线/同侧，点P在直线/上，则（4P+8P）加〃=4夕（当点4、P、1共线时取到）,点8,是点8关于直

线/的对称点.

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2、点力、5在直线/同侧，点尸在直线/上,则必尸-5尸|s=”（当点4、P、4共线时取到）.

3、点力、8在直线/异侧，点尸在直线/上，则I4P-8PI"心=48（当点,4、尸、8共线时取到），点夕是点8关于直线/

三、点与圆的位置关系最值（范围）问题

1、若点M在圆内，则MN加产MNm-OM,MNmax=MN2=r+OM；

2、若点M在圆外，贝IJMN〃〃/MM=OMT，MNnMMNEOM：

3、圆上一•点到圆外一定直线的距离最值

若直线/与圆。0相离，圆上一点尸到直线/的距离为尸E,d为圆心。到直线/的距离，〃

为圆半径，贝1」尸&»加=8尸=1寸，PEmax=P2F=d+r.

四、直线与圆的位置关系最值（范围）问题

设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直

的弦弦长为2/2_|CMJ

即时即练

1.（25-26高二下•上海・期中）圆/+/=4上的点到直线3x-4y+15=0的最小距离是.

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2.（25-26高二上•云南保山,期末）已知点力（3,0）,点P在圆f+/—2x-"+1=0上运动，则伊目的取值

范围为.

3.（25-26高二上•湖南•期末）已知圆/+9—”=0,过点（1,1）的直线被该圆截得的最短弦长为.

4.（25・26高二上•贵州遵义•期末）唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，

黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处

出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是

力（2,4）,军营所在位置为4（6,2）,河岸所在直线方程为/：x+y-3=（）,则将军从出发点到河边饮马，再

回到军营的总路程最短为.

5.（25-26高二上•福建•阶段检测）点2在直线歹=2-4上运动，从点尸向圆0:（x+2）2+（y+2>=l引切

线，则切线长的最小值为.

题型01斜率、d+少，的几何意义应用

I.（25-26高二上•山西太原•期中）若点P（xj）在圆/+/+4工+3=0上，则上的取值范围是（）

X

A.邛、。

3,3

D.用U净f

2.（24-25高二上•山东济宁•期中）如果实数x，»满足等式*-2）2+炉=2,那么上二的取值范围是（）

A.B.

C.1-00,-3U[l,+oo）D.-1,1

3.（25-26高二上•河南南阳•阶段检测）已知j-l+VIM,则三的最大值为（）

x-2

14

A.yB.-C.1D.2

4.（25・26高二上•河北唐山•阶段检测）实数满足/+/+2》一外+1=0,则2x+y的最大值为（）

A.2B.277C.2。D.2>/6

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5.（25-26高二上•广东揭阳•阶段检测）已知力（-2,3）、8（2,1）,点P（x,y）在线段”上,则二的取值范

X

围为.

6.（25・26高二下•上海•阶段检测）若实数-N满足/+/-4.丫+1=0,则的取值范围是

题型02两点间的距离公式几何意义应用

1.若实数'J满足/+y2=],则[（下―1）2+（.—以的最大值是.

2.若点（xj）在直线3x+4y+25=0上移动，则/+/的最小值为.

3.（20-21高一上•内蒙古鄂尔多斯•期末）已知0<x<2,0<j<2,则

yjx*23+y2+^x24-（2-J^）2+^（2-X）2+y2+^（2-x）2+（2-^）2的最小值为.

4.（25-26高二上•内蒙古呼和浩特•阶段检测）代数式"F+Q——2）2+（工一4）2的最小值为（）

A.710B.V17C.V?D.而

5.已知实数满足（=三=3,则J（a—c『+e—d）2的最小值为（）

6.（25.26高二上•重庆黔江•期中）已知xjeR,则而而+庐衣+庐而^的最小值是

（）

A.3B.372C.V26D.5&

题型03点到线、两平行线间的距离

1.已知力，5两点的坐标分别为（1坐）,（-1,2）,若两平行直线心4分别过点4B,则4，乙间的距离的

最大值为（）

A.1B.72C.2D.2&

2.（25-26高二上•河南•期中）直线《3x-4j，+5=0与£3x-4尸2=0上各有一动点P,。，则尸。的最小值

为（）

A2c3「712

AYB-?c-iD-T

3.（25・26高二上•内蒙古锡林郭勒•期末）已知点力）在直线/：x+2y=5上，则行Q的最小值为

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（）

A.1B.2C.V5D.5

4.（25-26高二上•山西太原•阶段检测）已知实数〃也。,二满足西-46+3=0,3c-44-7=0,则

（4"）2+3-1）2的最小值为（）

A.1B.4C.9D.16

5.（25-26高二上•贵州遵义・期中）已知0（0,0）,4（0,3）,尸州,6）,满足21Poi=|尸㈤,则|。+3人2025|的最小

值为（）

A.2025B.2028C.2025-2而D.2028-2函

6.对任意实数小，坐标原点O到直线（3+〃以+（2-〃山+1=0炬离的最大值为.

7.（25・26高二上•湖南岳阳•期末）动点。与两个定点。（0,0）,力（0,3）满足|尸川=2归。］,则点。到直线

/：3X+4V-10=0的距离的最大值为.

题型04定点到圆上的最值问题（含将军饮马问题）

I.（25-26高二上•云南德宏•期中）己知圆M：/+/一4%+2丁-4=0,点尸（-1,3）,点。是圆M上的一个

动点，线段夕。的最大值为（）

A.2B.6C.8D.10

2.已知点”（0,2）,噌，（）），过点M作直线交圆。：/+J,2=9于4，B两点,"的中点为。，则|NQ|

的最小值为（）

I24

A.-B.-C.1D.—

3.（河南省天一大联考•2025-2026学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版））“白日登山望

烽火，黄昏饮马傍交河''来自唐代诗人李顽的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军

饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚卜.某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程

最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，4（4,0）,河岸线所在直线的方程为x-y+2=0,若将军

从山脚下的点4（4,4）处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（）

A.2应B.4C.5D.2710

4.（25-26高二上•江西赣州•期中）已知点4（3,2）,5（-1,4）,在x轴上求一点儿使|二|+|必|最小，则点

P的坐标为（

I加仁信。）口.卜|,0

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5.（25-26高二上•江西萍乡•期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则

见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系工。j中，由点外3,5）出发

的一束光线经直线/：工-歹-2=0反射后到达圆C:（X+1）2+（J，-3）2=9上某一点，则光线经过的最短路程为

（）

A.2V17-3B.3+272C.275-3D.5

6.（25-26高二上•河南洛阳•期中）已知机，〃wR,苏+〃2/0,记直线+—2〃=0与直线心一，少—2〃=0

的交点为尸，点。是圆。：（X+2『+5-2）2=1上的一点，若与圆。相切，则的取值范围是（）

A.[4,亚]B.C.[如习D.口&,5&]

7.（25-26高二上•辽宁沈阳•期末）已知圆C:（X-1）2+3-3）2=4.若0为直线“：3x+y+4=0上的动点,

M是圆C上的动点，定点N（-l,4）,则IQMI+IQVI的最小值（）

A.5B.4C.3D.2

8.（25-26高二上•四川泸州•期末）M是圆C：F+/=l上的动点，。为直线/：》7+2=0上的动点，

定点N（2,-l）,则|QM|+|QV|的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

题型05弦长、切线长有关的最值问题

1.（24-25高二上•山东潍坊•期中）已知圆C：/+y=4,直线/：y=kx-k+l,若/与C交于48两点,

则|”|的最小值为（）

A.V2B.2C.272D.273

2.（25-26高二上•湖南邵阳•期中）从点P（〃?,4-〃?）向圆C：（x+l）2+（y+i）2=3引切线，则切线长的最小值

为（）

A.V15B.A/17C.V19D.72?

3.过坐标原点。作两条互相垂直的直线0408,点48（异于点。）均在圆。:一+/一4》+6），=0上，

则面积的最大值为（）

l13

A.26B.13&C.13D.—

4.（25-26高二上•天津南开•期末）过P（2,l）的直线与圆（"1『+_/=25交于48两点，当弦48长度最短

时，宜线48的方程是（）

A.x+y-1=0B.x+y-3=0

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C.x-y-3=0D.2x-y-5=0

5.（24-25高二上・河南郑州•期末）已知?是直线/：x-y+6=0上一动点，过点?作圆C:d+/-4x=0

的两条切线，切点分别为4B,则四边形21cB周长的最小值为（）

A.2+2行B.4+4V?C.4+2币D.8

6.（24-25高二上♦广东广州•期中）已知圆A7:（X+2）2+/=2,直线/：工+»-2=0,点，在直线/上运动,

直线7分别与圆M相切于点48,则四边形尸41"的面积的最小值为（）

A.273B.6C.4D.2

1.（25-26高二上•重庆・期中）点汽-1,2）到直线/：（l+2可x+（l+/l）y-"3/l=0（/l€R）的距离的最大值

为（）

A.屈B.72C.342D.75

2.已知动点P到坐标原点的距离是其到点1（3,0）的距离的方，则点尸到直线/：x-岛-5=0的距离的最

小值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（25-26高二上•河北•阶段检测）已知点尸（一；,”,圆C:/+/=4,则经过点尸且被圆撮得的弦长最

短时直线的方程为（）

A.2x-4y-5=0B.2x-4y+5=0C.2x+4y+3=0D.2x+4y-3=0

4.（24-25高二上•浙江金华期末）点尸为直线），=2上一动点，过点P作圆/+/=］的切线，切点为0,

则「。|的最小值为（）

A.1B.72C.GD.2

5.（24-25高二上,江苏扬州•期末）已知〃?，〃，P,夕均为实数,则

p）~4-（AZ-p-l）2_"/+（〃-4-3）2的最小值为（）

A.1B.y/2C.y/iD.2

6.（25-26高二上•福建漳州•期末）已知圆G：f—2x+jJ=0,圆q：（工一41+3-力『=4,其中a,〃wR,

若两圆外切，则J（“+3）2+S+3y的最大值为（）

A.VL3B.5C.V13+3D.8

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7.已知圆G：（X-1）2+/=4,点尸是圆。2：（、+2）2+（＞，-4）2=1上的一点，过尸作圆G的两条切线，切点分

别为4B,则四边形尸/cm的面积的最小值为（）

A.2GB.4GC.8百D.1673

8.（25-26高二上•福建龙岩•期中）已知圆。:“一2『+（丁—3）2=4,直线/：4一2."1=0,N为直线/上一

动点，定点户（-2,1）,则|CN|+|/W|的最小值为（）

A.373B.2屈C.3石D.2出

9.（24-25高二上•江西萍乡,期末）己知点尸在直线'-），+1=0上运动，点力（2,4）,8（2』），则||尸川一|物|

的最大值为（）

A.1B.y/3C.2D.y[5

10.（25-26高二上•江苏扬州•期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处

出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为/（L2）,

军营所在位置为8（5,6）,河岸线所在直线的方程为x-y-l=0,若将军从出发点到河边饮马，再到军营的

总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（）.

A.（2,1）B.（3,4）C.（4,3）D.（6,5）

11.（25-26高二上•江苏盐城•阶段检测）已知P,。是直线八＞一＞+1=0上两动点，旦|尸0|二收，点

4（-3,5）,8（1,5）,则|第+归。|+|。8|的最小值为（）

A.2713+72B.2V13-V2C.2历+&D.2屈-应

12.（25-26高二上•安徽阜阳•期末）点（2，）在曲线x=67+l上，则段一句+12]的取值范围为（）

'71「7

A.y,5B.[7,25]C.[7,15]D.y,3

13.（25・26高二下•上海•阶段检测）已知。C：*-l）2+（y-l）2=3,点4为直线八》=-1上的动点，过点力

作直线与。。相切于点尸.若。（-2,0）,则|月PI+MQ最小值为（）

A.4B.V15