广东省佛山市南海区2025-2026学年第二学期期末测试八年级数学（试卷+解析）

八年级数学

试卷说明:

本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名等信息按

要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡

交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.2026年5月25口中国航天员在“天宫”完成第8次“太空会师”，向世界展现了中国智急和中国力

最.下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（)

B.9D6

映中国探月

中国行星探演中国火箭

中国探火

CLEPMar5

2.交通法规人人遵守，文明城市处处安全.在某路段上有如图所示的标志,表示车辆速度不超过40千米/

时，则限速标志允许的车速-（千米/时）的范围表示为（）

40

限速40公里

A.v<40B.v>40C.0<v<40D.0<v<40

3.下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是（）

A.3(R+)，)=3JV+3yB.x1-x+1=x(x-l)+1

C.x2+2x+4=(x+1)2+3D.£-4=(x+2)(x-2)

4.在么45。中，D，£分别是边A3和边AC的中点,OE=3,则线段8c的长为（）

3

A.8B.6C.26D.

2

5.若“7<〃，则下列各式一定成立的是（)

mn

A.tn-\<n-\B.-n\<-nC.me<ncD.一>—

33

6.下列条件中,能判定四边形A8CO为平行四边形的是（）

A.AB=BC,CD=DAB.AB//CD,AD=BC

C.AB//CD,AD-CDD.ZA=/6，*C-/D

7.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式.观察妇图所示的长

A.2a(^a+b)=2a2+2abB.(o+*「=a2+2ab+b2

C.2/+2"=2〃(〃+/?)D.a2+2ab4-Z?2=(«+b)~

8.如图，1tsBC沿BC方向平移到/.DE尸的位置，连接AO,若BF=7,CE=1,则线段AO的长为

()

A.2B.4C.5D.6

9.若关于x的方程一；二一、+1有增根，则，〃的值是（）

x-4x-4

A.4B.3C.-4D.-3

10.在中，ZB=90%AB=6,BC=8,NA,NC的平分线相交于点用，则用到AC边

的距离为（）

24

A.2B.3C.4D.—

5

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.如果/=/,那么。=人的逆命题是.

12.一个多边形的内角和是1080。，则这个多边形是边形.

13.若f-a在有理数范围内可以用平方差公式分解因式，则数〃的值可以是.（只写答案）

x+2>n

14.不等式组《的解集为一I<xv3,则机一〃的值为.

x<m

15.如图，在AABC中，NAC3=120。，点。为A4上一点，点£为3。的中点，作EFJ.AB交BC于

点F,连接CD,DF,将LACD沿着C。折叠，点A恰好和点/重合，则N5的度数为.

A

三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题9分，22题13分，23题14

分，共75分.

XX—1

16.先化简：———；—,并求当工=2时代数式的值.

x+1X--I

17.如图，已知点A、队C、。在同条直线上，E4_L4B,F£>_LAO,AB=C。.用“HL”证明

.需添加什么条件？并写出你的证明过程.

证明：

18.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为聪慧数.例如：8=32-12，

16=52-32,24=72-52,8,16,24都是聪慧数.

（1）写出一个除8,16,24外的聪慧数：:

（2）证明：任意一个聪慧数都能被8整除.

19.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔200支以上（含200支），可以按批发价付款；购买

铅笔数最小于200支只能按零售价付款.已知零售价是批发价的1.2倍.某学校开展区域性会一义，需要购

买一批铅笔，学校派采购人员小明到该店购买铅笔，花108元钱给参会人员每人买1支铅笔，回来后小明

算了一下，发现如果再多买20支，反而可以少花8元钱.

（I）在该文具店购买铅笔的批发价是每支多少元？

（2）某学校计划在该文具店购买〃支铅笔，求购买所需的费用（用含有〃的式子表示）.

2（）.小明和小丽相约骑自行车，两人从相距Qkm的A,B两地同时相向而行，如图，乙，分别表示小

明、小丽两人到A地的距离与骑行时间之间的关系.已知小明骑行的速度为10km/〃.何时小明到A地

的距离大于小丽到A地的距离？

21.在学习八年级数学下册第一章第1节"三角形内角和定理”时，小华发现：在上ABC中，过边上

一点尸，添加适当的辅助线，也能证明NA+N3+NC=180。.

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作出所需辅助线：（保留作图痕迹，不写作法）

（2）根据所作辅助线，证明：ZA+ZB+ZC=180°.

22.综合探究

定义：我们将有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做平行倍角四边形.

例：如图1所示，AB//CD,ZD=2ZB,四边形ABC。为平行倍角四边形.

图1图2图3

（1）已知四边形ABC。是平行倍角四边形，AB//CD,ZC=120°,N8与/。满足两倍角关系.求

NO的度数；

（2）如图2,在四边形ABCO中，ZB+ZC=180%AB=BC+CD.求证：四边形A8CO是平行倍

角四边形；

（3）如图3,四边形A8CQ（A5>CO）是平行倍角四边形，AB//CD,AD=BC=4,连接4C,当

点D关于直线AC的对称点恰好落在AB边上时，求线段AC的长度.

23.如图1,在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点A的坐标为（2,26），点B的坐标为（4,0）.

（1）判断AAOB的形状，并说明理由；

（2）如图2,点C为x轴上的一点，且不与原点重合，连AC,将线段AC绕点4顺时针旋转角度

得到线段4力，连接0。，BD.

①当点C的坐标为（6,0）,且2=60。时，求线段B力的长度；

②如图3,当。=120°时，设工AOC的面积为m请用含。的代数式表示4A8。的面积.

八年级数学

试卷说明:

本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名等信息按

要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡

交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.2026年5月25口中国航天员在“天宫”完成第8次“太空会师”，向世界展现了中国智急和中国力

最.下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（)

B.9D6

映中国探月

中国行星探演中国火箭

中国探火CLEPMars

【】D

【解析】

【分析】把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做

中心对称图形，据此判断即可求解.

【详解】A、不是中心对称图形，该选项不符合题意;

B、不是中心对称图形，该选项不符合题意;

C、不是中心对称图形，该选项不符合题意;

D、是中心对称图形，该选项符合题意.

2.交通法规人人遵守，文明城市处处安全.在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/

时，则限速标志允许的车速U（千米/时）的范围表示为（）

40

限速40公里

A.v<40B.v>40C.0<v<40D.0<v<40

【答案】C

【解析】

【详解】解:速度不超过40千米/时,

速度小于等于40千米/时，

速度应为正数，

••・速度大于0千米/时，

用不等式表示为0vuK40.

3.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是()

A.3(x+y)=3x+3yB.x2-x+1=x(x-l)+l

C.X2+2X+4=(A:+1)2+3D.X2-4=(X+2)(X-2)

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查判断是否是因式分解，根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式化为整式的积的形式

即可.

【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意；

B、等式右边是和的形式，不符合题意；

C、等式右边是和的形式，不符合题意；

D、是因式分解，符合题意；

故选D.

4.在一A5C中，D,E分别是边48和边AC的中点，DE=3,则线段3。的长为()

A.8B.6C.2GD.-

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据中点可判断。E是一ABC的中位线，利用三角形口位线的性质即可计算得到3c的长度.

【详解】解：•••D，七分别是边A3和边AC的中点，

:,力七是一/15。的中位线，

・•・DE=-BC

2

,:DE=3

・•・BC=2OE=2x3=6.

5.若〃zv〃，则下列各式一定成立的是()

..八mn

A.m-\<n-\B.-m<-nC.nic<ncD.—>-

33

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解决问题的关键.根据不等式的基本性质：

加减性质：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变；乘除正数：不等式两边乘（或除以）同一个

正数，不等号方向不变；乘除负数：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；逐项验证即可

得到答案.

【详解】解：A.若/〃<〃，则加—1<〃一1,故选项A成立，符合题意；

B.若则-〃2>-〃，故选项B不成立，不符合题意；

C.若，〃V”,则，〃c<〃c（c>0）,故选项C不成立，不符合题意；

D.若，〃<〃，则故选项D不成立，不符合题意；

33

故选：A.

6.下列条件中，能判定四边形A8CO为平行四边形的是（）

A.AB=BC,CD=DAB.AB//CD,AD=BC

C.AB//CD,AB=CDD.ZA=/8，/C=/D

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可.

【详解】解：A、由A3=8C,CD=DA,仅能得到两组邻边相等，不符合平行四边形的判定定理，不

能判定四边形43co为平行四边形，此选项错误；

B、由AD=BC,一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形

A8C力为平行四边形，此选项错误；

C、由AB7CO,AB=C。，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形

A8C。为平行四边形，此选项正确；

D、由NA=NB,ZC=ZD,邻角相等无法推出四边形满足平行四边形的判定条件，例如等腰梯形也

满足该条件，不能判定四边形A8CO为平行四边形，此选项错误.

7.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式.观察如图所示的长

方形，可以得到的因式分解是（）

h[

a

b

A.2。(〃+〃)=2a2+2abB.(^a+hY=a2+2ab+b2

C.2/+2而=2a(a+Z?)D.a2+lab+/?2=(«+Z?)2

【答案】C

【解析】

【分析】运用组合图形的思路求整体的面积，另直接求整体图形面积，进而得到因式分解.

【详解】解：运用组合图形的思路求整体的面积=24+2",直接求矩形面积=2。(。+3

/.la2+2ab=2a(a+b).

8.如图，「ABC沿3C方向平移到AOE尸的位置，连接AO,若BF=7,CE=1,则线段AO的长为

()

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【详解】解：由平移的性质知3C=所,AC=。尸,AC||。尸，

，四边形AOFC是平行四边形，

.・.AD=CF,

•;BF=BC+CE+EF=2EF+CE=2EF+\=1，

：.EF=3,

AD=CF=CE+EF=4.

3in

9.若关于“的方程^—二——十1有增根，则切的值是()

x-4x-4

A.4B.3C.-4D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】先求出方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根计算用的值即可.

【详解】解：•・•美于X的方程——=——+1有增根，

x-4x-4

・•・.―4=0,

解得1=4,即方程的增根为4,

3m

------=-------+1,

x-4x-4

方程两边同乘(x—4)去分母，得3=〃z+(x—4),

化简，得x=7-m,

7-77?=4»

解得m=3.

10.在RtZ\A8C中，NB=90。，AB=6.8C=8,NA,NC的平分线相交于点M,则M到AC边

的距离为()

24

A.2B.3C.4D.一

5

【答案】A

【解析】

【分析】利用勾股定理求出AC的长，根据角平分线的性质和等积法，进行求解即可.

【详解】解：・・・/3=90。，A3=6,BC=8,

•*-AC=VAB2+BC2=10*

•・•乙4，NC的平分线相交于点M,

・•・点M到4aBC、AC的距离都相等，

设点M到AB,BC,AC的距离为/?,

,**§.ABC=S./WC+SJMB+S.BMC，

'Ab.SC=LAB•h+L6C•h十上AC・h,

2222

A6x8=(6+84-10)/?,

解得〃=2；

故加到AC边的距离为2.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.如果/=",那么〃=〃的逆命题是.

【答案】若a=b,则/=〃

【解析】

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，

【详解】解：命题“如果/=〃，那么a=b”的条件是如果结论是a=b,

故逆命题是：如果a=b,那么c『二〃2.

故答案为若a=b,那么/=/

【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一

个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆

命题.

12.一个多边形的内角和是1080。，则这个多边形是边形.

【答案】八

【解析】

【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(〃-2)x180。是解答本题的关键.根

据多边形内角和公式求解即可.

【详解】设这个多边形是〃边形，

由题意得(〃-2)180。=1080。,

解得〃=8,

・••这个多边形是八边形.

故答案为：八.

13.若_?一〃在有理数范围内可以用平方差公式分解因式，则数。的值可以是.(只写答案)

【答案】4(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据平方差公式的结构特征，要使工2一〃在有理数范恚内能用平方差公式分解因式，。需为有理

数的平方，任取一个满足条件的。即可.

【详解】解：X2-4=X2-22=(X+2)(X-2),符合要求.

x+2>n

14.不等式组《的解集为一lvx<3,则"2-〃的值为.

x<m

【答案】2

【解析】

X+2>72x>n-2

【详解】解：解不等式组《得〈

x<mx<tn

•・•不等式组的解集为

••〃=1,

•*./n—n=2.

15.如图，在一ABC中，ZACB=120。，点。为AB上一点，点E为8。的中点，作EFLAB交BC于

点、F，连接CO,DF,将AACD沿着。。折叠，点A恰好和点尸重合，则N8的度数为.

【解析】

【分析】易得垂直平分80,得到8尸=OF,进而得到NB=N8E万，根据三角形的外角的性质,

折叠的性质和三角形的内角和定理，即可得出结果.

【详解】解：•••点E为的中点，EFLAB,

:.七”垂直平分打”，

・•・BF=DF，

・•・/B=/BDF,

・•・乙DFC=N8+ZBDF=2N8,

■:上AC。沿着CO折叠，

・•・Z4=ZDFC=2ZB,

・•・ZA+NB+ZACB=3N4+120°=180°,

AZB=20°.

三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题9分，22题13分，23题14

分，共75分.

XX—1

16.先化简：——并求当工=2时代数式的值.

X+1X--1

【答案】k3

【解析】

xx-}

【详解】解:

7+\~x2-\

x+\(x-l)(x+l)

x+\x+\

x-\

当.1=2时,

17.如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，EA1AB,FDLAD,AB=CD.用“HL”证明

RlAAEC丝RtZ\OFB,需添加什么条件？并写出你的证明过程.

解：需要添加的条件是；

证明：

【答案】EC=FB,证明见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是能正确理解HL所需条件.

先求出AC=BD,ZA=ZD=90°,再根据HL定理推出即可.

【详解】解：条件是EC=BF,

证明：:AB=CD,

;.AB+BC=CD+BC,

:.AC=BD,

・・・E4_L48，FD±AD，

/.Z4=ZD=90°,

在RtA£C和RtZXO用中

EC=BF

AC=BD

RUAEC^RUDFB(HL)

故答案为：EC=FB.

18.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为聪慧数.例如：8=32-12»

16=52-32»24=72-52>8,16,24都是聪慧数.

（1）写出一个除8,16,24外的聪慧数：:

（2）证明：任意一个聪慈数都能被8整除.

【答案】（1）32（答案不唯一）

（2）证明：设连续的两个奇数中，较小的数为2〃一1,则较大的数为2〃+1,〃为正整数，

/.（2«+1）2-（2/7-1）2

=［（2w+l）+（2H-l）］-［（2w+l）-（2n-l）］

=4〃・2

=872

・•・任意聪慧数都能被8整除.

【解析】

【分析】（1）根据新定义，写出一个聪慧数，即可求解.

（2）设连续的两个奇数中，较小的数为2〃-1,则较大的数为2〃+1,〃为正整数，根据平方差公式因式分

解，即可求解.

【小问1详解】

解：32=92-72

故答案为：32（答案不唯一）

【小问2详解】

略

19.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔200支以上（含200支），可以按批发价付款；购买

铅笔数量小于200支只能按零售价付款.已知零售价是批发价的1.2倍.某学校开展区域性会演，需要购

买一批铅笔，学校派采购人员小明到该店购买铅笔，花108元钱给参会人员每人买1支铅笔，回来后小明

算了一下，发现如果再多买20支，反而可以少花8元钱.

（1）在该文具店购买铅笔的批发价是每支多少元？

（2）某学校计划在该文具店购买〃支铅笔，求购买所需的费用（用含有〃的式子表示）.

【答案】（1）该文具店购买铅笔批发价是每支0.5元

（2）当。＜200时，购买费用为0.6。元，当。之200时，购买费用为0.5。元

【解析】

【分析】（1）设该文具店购买铅笔批发价是每支工元，则零售价是每支1.2x元，根据“花108元钱给参会

人员每人买I支铅笔，回来后小明算了一下，发现如果再多买20支，反而可以少花8元钱”列分式方程求

解印可；

（2）求出零售价格，进而根据“凡一次性购买铅笔200支以上（含200支），可以按批发价付款；购买铅笔

数最小于200支只能按零售价付款”作答即可.

【小问1详解】

解：设该文具店购买铅笔批发价是每支x元，则零售价是每支1.2x元.

根据题意得衅+20=些*,

1.2xx

解得x=0.5,

经检验，x=0.5是方程的根且符合题意；

答：该文具店购买铅笔批发价是每支0.5元；

【小问2详解】

解：由（I）知，零售价格为0.5xl.2=0.6元，

当。＜200时，购买费用为0.6。元，

当〃之200时，购买费用为0.5。元.

20.小明和小丽相约骑自行车，两人从相距4km的A,R两地同时相向而行，如图，/1,6分别表示小

明、小丽两人到A地的距离与骑行时间之间的关系.已知小明骑行的速度为10km/〃.何时小明到A地

的距离大于小丽到A地的距离？

【答案】当小明出发时间大于lh时，小明到A地的距离大于小丽到A地的距离

【解析】

【分析】根据题意可得直线4的表达式为、=10,由图象可知4经过点（°，3。）和（1.5,0）,设4为

%=辰+〃，待定系数法求解析式，进而根据小明到A地的距离大于小丽到A地的距离，得加

10x>-20x+30,解不等式，即可求解.

【详解】解：小明的骑行速度为10km/h,

・・・直线4的表达式为）1二10九

将上=3代入y可得：々=10x3=30,

A，B两地距离为30km,

••・由图象可知/2经过点（0,30）和（1.5,0）,

设4为%="+b,将点（0,30）和（1.5,0）代入乂，

30=0+8

得：

0=1.5%+〃'

b=30

解得《

k=-20,

y2=-20x+30,

小明到A地的距离大于小丽到A地的距离,

•*-V）>%，

.\10x>-20x+30,

解得x>l,

二.当小明出发时间大于1〃时，小明到A地的距离大于小丽到A地的距离.

21.在学习八年级数学下册第一章第1节"三角形内角和定理”时，小华发现：在中，过A3边上

一点P,添加适当的辅助线，也能证明NA+N3+NC=180。.

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作出所需辅助线；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）根据所作辅助线，证明：ZA+ZB+ZC=180°.

【答案】（1）如图所示，射线PO,庄就是要求作的辅助线；

A

D

(2)证明：如图所示，由作图可知：ZAPD=ZB，ZBPE=ZA，

PD//BC»PE//AC,

••・四边形PECO为平行四边形,

/./DPE=NC,

zS4+Zfi+ZC=AAPD+ABPE+ADPE=ZAPS=180c,

.-.Z4+ZB+ZC=180°.

【解析】

【分析】(1)作NAP£)=ZB，即可；

(2)证明四边形PECO为平行四边形，得出NOPE=NC,再结合平角的定义计算即可得出结果.

【小问1详解】

略；

【小问2详解】

略.

22.综合探究

定义：我们将有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做平行倍角四边形.

例：如图1所示，AB//CD,ZD=2/B,四边形43co为平行倍角四边形.

图1图2图3

(1)已知四边形A8CD是平行倍角四边形，AB//CD.ZC=120°,/B与/。满足两倍角关系.求

/Z)的度数；

(2)如图2,在四边形48CQ中，Z^+ZC=180°,AB=BC+CD.求证：四边形A8C。是平行倍

角四边形；

(3)如图3,四边形48a>(A8>C。)是平行倍角四边形，AB//CD,AD=BC=4,连接AC,当

点。关于直线AC的对称点恰好落在AB边上时，求线段AC的长度.

【答案】(1)/力=30。或/。=120。

(2)证明：过点C作CE〃A。，交AB边于点E,

vZB+ZC=180°,

:.CDAB,

二.四边形A£C£>为平行四边形，ZA=NCEB,ZCEB=ZDCE,

:.CD=AE,

•.AB=AE+BE=CD+BE,

vAB=CD+BC,

BE=BC,

/BEC=ZBCE=ZDCE,

/.』DCB=2/BEC=2ZA,

二•四边形A3CO为平行倍角四边形；

⑶

【解析】

【分析】(1)根据平行线的性质求出4=60。，再根据平行倍角四边形的定义求解即可；

(2)过点。作CE〃AO,交AB边于点E,得到四边形AECO为平行四边形，ZA=ZCEB,

ZCEB=ZDCE,推出8=则AB=CD+BE,结合AA=8C+CD得到,推出

ZBEC=ZBCE=ZDCE,即可得证；

(3)过点C■作AO〃C£,交边AB干点E，得到四边形AECD为平行四边形，/BAD=NBEC,则

AD=CE=BC,推出NB4O=N5EC=N8,结合平行线的性质可推出CE平分N8CO，得到eBCE

为等边三角形，4=60。，设。关于直线AC的对称点为点。'，连接OD，设与4c交于点尸，

推出eAOD为等边三角形，AO=AZ7=O0=4,点/为。。的中点，4尸_1。。，根据勾股定理求

出AF，即可求解.

【小问1详解】

解：・"8〃CD,

...N3+NC=18（）。，

.­.Zfi=180°-120=60°,

①当N3=2NO时，ZD=-Z^=30°,

2

②当Z£>=2NB时，ZD=2Zfi=120°；

【小问2详解】

略

【小问3详解】

过点C作CEIIA。，交边AB于同E，

,:CD〃AB,AD//CE,

二.四边形A£CO为平行四边形，ZBAD=/BEC,ZDCE=ZCEB,

AD=CE=BC,

;"BAD=/BEC=/B,

・・・ABAD+ZADC=ZB+ZBCD=180°,

ZADC=ZBCD,

四边形A8CZ）（A8>C。）是平行倍角四边形，AB//CD,

/BCD=2NBAD,

/BEC=ZDCE=/BAD,

:"BCD=2/DCE,

:.CE平分/BCD,

/BCE=-