高考物理二轮复习 模型06“等时圆”模型（含解析）

06“等时圆”模型

1.如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A,B和C分别是小

圆和大圆上的两个点，其中AB长为gR,AC长为2&R.现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A

处由静止释放小球，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为ti，沿AC轨道运动到C点所用时间为

出则ti与t2之比为（）

A.l：x/2B.1:2C.1#D.1:3

【答案】A

【详解】

方法一：

设48与竖直方向的夹角为仇则：

AB=2RcosB,

由牛顿第二定律得物体沿48F滑的加速度为：斫geos。，解得在上运动的时间为:

公母=2后

同理设48与竖直方向的夹角为出则：

AC=4Rcosa,

由牛顿第二定律得物体沿4C下滑的加速度为：

a=gcosa,

可知物体在AC上运动的时间为：

r,1

则］=7W，故A正确.

方法二、

令4C和小圆的交点与D点，物体沿力C运动到。的时间为£.则在小圆中物体沿AC到D点的时间和

沿AB到B点的时间相等，等于:

物体沿/C运动到。的时间为为:

1

丁正

【点睛】

本题主要考查了牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，解题时要分析清楚小球的运动情况，并

能结合几何关系求解.

2.（2019•江西省宜丰中学高一开学考试）如图所示，一个物体由A点出发分别沿三条光滑轨道到达G,C2,

A.物体到达G点时的速度最大B.物体分别在三条轨道上的运动时间相同

C.物体到达C3的时间最短D.在C3上运动他加速度最大

【答案】C

【详解】

在沿斜面方向上，物体受重力沿斜面向下的分力，所以根据牛顿第二定律得，物体运动的加速度

mgsinO.八

a=---------=gsmO

tn

斜面倾角越大，加速度越大，所以a上运动的加速度最大，根据几何知识可得:物体发生位移为工=一々

sinO

物体的初速度为零，所以

12

x=—at~

2

解得

"竺二工

VaNgsin20

倾角越大，时间越短，物体到大G的时间最短，根据声=2，a得，u=知到达底端的速度大小

相等，故C正确。

故选C。

3.（2020•全国高一课时练习）如图所示，。点是竖直圆环的顶点，0c是圆环直径，。。和06是两条不同倾角

的弦.在Oc、Oa.Ob线上置三个光滑的斜面，一个质点从。自由释放，先后分别沿Oc、Oa,。力下滑，

则到达。、氏。三点的时间

A.时间都相同

B.最短的是〃点

C.最短的是方点

D.最长的是。点

【答案】A

【详解】

设圆的半径为R,斜面与竖直方向夹角为仇则物体运动的位移为尸2RcosO,物体运动的加速度

.二维二-geos。=geos0根据x=La/，解得，=J竺，与夹角。无关，即三种路径的运动时

mm27g

间相同；故选A.

【点睛】

本题要掌握等时圆模型的特点，根据牛顿笫二定律求出加速度，然后根据运动学公式求出运动的时间，

看时间与。角的关系.

4.（2020•北京海淀•北大附中高三三模）如图所示，在竖直平面内有“以abc.adc三个细管道，农沿竖直方

向，Med是一个矩形。将三个小球同时从。点静止释放，忽略一切摩擦，不计拐弯时的机械能损失，当

竖直下落的小球运动到C点时，关于三个小球的位置，下列示意图中可能正确的是（）

b.

【答案】B

【详解】

设〃c=d,Zacb=a»设小球沿。匕、be、、ad、de下滑的加速度分别为％、的、&、

%。

根据牛顿第二定律得

mgsin。.

a=a=----------=gsma

}5m

42=。4=叫如（90。一。）=

对出?段有

dsina=—a.r=—

2112

对段有

d'gG

得

h=

对ad段有

dcosa=-a4t；」gcosat1

22

得

所以有

即当竖直下落的小球运动到。点时，沿"c下落的小球恰好到达b点，沿ode下落的小球恰好到达d点，

故ACD错误，B正确。

故选B。

5.如图所示，Pa、Pb、R:是竖直面内三根固定的光滑细杆，P、。、b、c位于同一圆周上，点、d为

圆周的最高点，。点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从P处释放（初

速为0）,〃"、J、J依次表示各滑环到达。、b、c所用的时间，则（）

A.乙<，2<，3B.ty>t2>C.r3>Zj>t2D.ti=(2=h

【答案】B

【详解】

以P点为最高点，取合适的竖直直径代作圆，如图虚线所示

三个滑环从尸静止释放到达虚线圆上/、g、a的时间设为，，杆与竖直方向的夹角为a,虚线圆的直径为

心根据位移时间公式可得

J12

6/COS«=—^00801/

解得

则知虚线圆为等时圆，即从夕到/、b、g是等时的，比较图示位移尸e/；Pc〈Pg,故推得

故B正确，ACD错误。

故选B“

6.（2020•全国高二开学考试）如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，。、5、c、d位于

同一圆周上，。点为圆周的最高点,d点为最低点。每根杆上都套着一个完全相同的小滑环（图中未画出），

三个滑环分别从。、权c点无初速释放，下列关于它们下滑到d过程的说法中正确的是（）

A.沿〃细杆下滑的滑环用时最长B.重力对各环的冲量中a的最小

C.弹力对各环的冲量中c的最大D.合力对各环的冲量大小相等

【答案】C

【详解】

A.物体从同一竖直圆上各点沿不同的光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等，如图

即等时圆模型，小球下滑过程均满足

2/?cos。=ggcosOr

解得

根据等时圆模型可知三个滑环卜滑的时间均相等，A错误；

B.三个滑环重力相等，根据冲吊：/二月可知重力对各环的冲审:大小相等，B错i比

C.假设光滑细杆与ad的夹角为〃，受力分析可知滑环所受弹力为

N=mgsin8

od杆与ad的夹角最大，所以弹力最大，根据冲量的定义可知弹力对各环的冲量中。的最大，C正确；

D.根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的变化量，根据机械能守恒定律

.I、

nif>h=­mv~

解得

可知从。滑到底端的滑环速度最大，合外力的冲量最大，D错误。

故选C。

7.（2019•广东高三零模）如图，倾斜传送带上有两条光滑导轨，PA竖直、PB垂直于传送带，现同时在P点

释放两个质量相同的小货物（均视为质点），各自沿两条导轨滑下，则它们滑到导轨底端（）

A.末速度相同B.所用的时间相同

C.重力所做的功相同D.重力做功的功率相同

【答案】B

【详解】

A.货物落到传送带上的速度的方向不同，所以末速度不同，A错误;

B.导轨光滑，PB上AB，所以做出△PA8的外接圆：

根据等时圆模型可知，两物体落到传送带上的时间相等，B正确:

C.重力做功根据：

W=mgh

货物质量相等，落到“点的货物高度大，重力做功多，C错误；

D.重力做功的功率为重力做功与时间的比值，即：

t

叫〉喉，时间相同，所以〃＞弓，D错误。

故选B“

8.处于竖直平面内的某圆周的两条直径48、CO间夹角为60。，其中直径48水平，力。与C。是光滑的细

杆.从力点和。点分别静止释放两小球，从力、。点下落到D点的时间分别是八、八，贝。力：及是（）

A.1：IB.3：2C.D.后:百

【答案】C

【详解】

由几何关系得，AO与水平面的夹角为30°,设圆周的半径为R,则有:

xAl）=2/?cos30°=73R

根据牛顿第二定律得，小球在AO上运动的加速度大小为：

4=gsin3（T=gg

根据

可得:

1

由几何关系得：

XCD=2R

小球在C。上运动的加速度大小：

生=gsin600=#g

根据

1,2

也=*2

可得:

则有:

r,_x/3

丁正

ABD错误；C正确。

故选C。

9.（2019・上海高一课时练习）光滑斜轨道PA、PH、Pc的端点都在屈直平面内的同一圆周上，物体从P点由静

止开始沿不同轨道下滑，如图所示，下列说法中正确的是（）.

B.物体沿PH下滑时间最短

C.物体沿Pc下滑时间最短D.物体沿不同轨道下滑所用时间相同

【答案】D

【详解】

设过P点的任意光滑斜轨道与PB的夹角为可知轨道长为2Rcos。，根据牛顿运动定律，可得沿轨

道下滑的物体的加速度为。=gcos。，再结合匀变速直线运动的规律可得2RCOS6=LR2,可得

2

，=秒，与夹角无关，故D正确

10.（2019•贵州贵阳一中高三月考）如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于时点，

圆环上4、B、。点与M点的连线和竖直面的夹角分别为30。、45。、60°,已知。、b、。三个小球分别由

.4、B、C三点从静止开始沿光滑倾斜直轨道4W、BM.CW运动到M点。则

A.ta>tb>tcB.ta=tly=tc

C.ta=tc>thD.tc>tb>ta

【答案】B

【详解】

对于4"段有

2/?cos30°=-^2,a=级皿90。-30。）,

2

得

t=

与，角无关，即三个小球运动时间和光滑倾斜直轨道与竖直面的夹角无关,

A.与分析不相符，A错误

B.与分析相符，B正确

C.与分析不相符，C错误

D.与分析不相符，D错误

11.（2018•广西南宁三中高二月考）如图所示，在斜面.上同一竖直面内有四条光滑细杆，其中0A杆竖直放置,

。8杆与。。杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），四个环分别从。

点由静止释放，沿OA、O8、OC、。。滑到斜面上所用的时间依次为人、匕、13、口.下列关系正确的是（)

B.tl>t3

C.t2=b

D.12Vt4

【答案】D

【解析】

以OA为直径画圆，根据等时圆模型，对小滑环，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向

正交分解,根据牛顿第二定律得小滑环做初速为零的匀加速直线运动的加速度为a=gcos0（G为杆与竖直方

向的夹角）

由图中的直角三角形可知，小滑环的位移S=2Rcos。

4Rcos。

所以t=1=,t与0无关,

gcos0

可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到底所用时间相同，故沿0A和0C滑到底的时间相同，即L=t3,OB

不是一条完整的弦,时间最短，BPti>t2,OD长度超过一条弦，时间最长，即12Vt4.故ABC错误,D正确

故选D

点睛：根据等时圆模型，可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到底所用时间相同，故沿0A和0C滑到底的

时间相同，0B不是一条完整的弦，时间最短，0D长度超过一条弦，时间最长.

12.（2019四川泸县五中高期中）如图所示,ab、cd是竖直平面内两根固定的细柏a、b、c、d位于同•

圆周上，圆周半径为R,b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点.现有两个小滑环A、B分别从a、c

处由静止释放，滑环A经时间力从a点到达b点，滑环B经时间t2从c点到达d点；另有一小球C从b

点以初速度vo=7^沿be连线竖直上抛，到达最高点时间为t3,不计一切阻力与摩擦，且A、B、C都

可视为质点，则U、t2、t3的大小关系为（）

A.ti=t2=t3

B.tj=t2>t3

C.

D.A、B、C三物体的质量未知，因此无法比较

【答案】A

【解析】

由已知条件知，小球C竖直上抛能达到的最高点为c点，由对称性可知，小球。运动的时间与从c点自

由下落到b点的时间相等.结合等时圆的结论可知，力=，2=3A正确.

故选A

13.（2020•安徽六安一中高一月考）如图所示，AD是固定斜面体底边BC的高，F、G分别是光滑斜面AB、

AC的中点,DE垂直于AB,DH垂直于AC,甲、乙两个小球（均视为质点）从斜面的顶点A分别沿斜面AB、

AC同时由静止下滑，下列说法正确的是

D

A.当甲球运动到E点时,乙球可能运动到AG间某点

B.当甲球运动到E点时,乙球一定运动到H点

C.当甲球运动到F点时,乙球一定运动到G点

D.当甲球运动到F点时,乙球一定运动到H点

【答案】B

【解析】

设斜面AB和AC的倾角分别为a,p,AD=h,则小球在两个斜面上下滑的加速度分别为q=gsina,

%=gsin〃，当小球甲到达E点时所需时间乙-=^—,同理乙球到达H点所需时间也

为，2=J&，即当甲球运动到E点时，乙球一定运动到H点，选项B正确，A错误；甲球到达F点的

时间.12,sina1忸，同理乙球到达G点的时间为右=工」匕■，因a不一定等于由

4-----：-----=--J-sm0Ng

VgsinasinaVg'

故当甲球运动到F点时;乙球不一定运动到G点，选项C错误；a不能等于90。，故当甲球运动到F点

时，乙球一定不能运动到H点，选项D错误；故选B.

14.（2019•常州市北郊高级中学高一月考）如图所示光滑竖直圆槽，AP、BP、CP为通过最低点P与水平面

分别成30。、45。、60。角的三个光滑斜面，与圆相交于A、B、C点.若一物体由静止分别从A、B、C滑

至P点所需的时间为h，t2，t3,则（）

B.t]>t2>t3

C.ti=t2=t?D.t|=t2<t3

【答案】C

【解析】

设任一斜面的倾角为。，圆槽直径为d.根据牛顿第二定律得到。=都山8,斜面的长度为x=〃“加9,

1IdsinO

则由工二一。厂0，得，=,可见物体卜.滑时间与斜面的倾角无关.则有

2

/1=/2=/3.C正确，故选C.

【点睛】设任一斜面的倾角为，，圆槽直径为d,根据牛顿第二定律得出加速度与。的关系，由运动学

求出时间与。和d的关系，由数学知识分析时间关系.

15.（2019,库车县乌尊镇中学高三月考）如图所示，在竖直平面内有一矩形，其长边与一圆的底部相切于O

点，现在有三条光滑轨道。、氏c,它们的上端位于圆周上，下端在矩形的底边，三轨道都经过切点O,

现在让一物块先后从三轨道顶瑞由静止下滑至底端（轨道先后放置），则物块在每一条倾斜轨道上滑动时

所经历的时间关系为（）

B.t(l<tb<tc

C.ta=tb=tcD.无法确定

【答案】B

【详解】

设上面圆的半径为r,矩形宽为R,则轨道的长度s=2rcosa+一4一，下滑的加速度。=也丝，根据

cosain

II2/114rcoset+R

位移时间公式得，x=[at2,则~.因为a、b、c夹角由小至大，所以有tc>tb>

2\g\gcosa

ta.故B正确，ACD错误.故选B.

【名睛】

解决本题的关键通过牛顿第二定律和运动学公式得出时间的表达式，结合角度的大小关系进行比较.

16.（2020・广东二师番禺附中高一期末）如图所示，竖直圆环中有多条起始于A点的光滑轨道，其中AB通

过环心O并保持竖直，一质点分别自A点沿各条轨道下滑，初速度均为零，那么，质点沿各轨道下滑的

时间相比较（）

A.质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，时间越短

B.质点沿着轨道AB下滑，时间最短

C.轨道与AB夹角越小（AB陵外），质点沿其下滑的时间越短

D.无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同

【答案】D

【详解】

设半径为R,斜面与竖直方向夹角为仇则物体运动的位移为x=2Rcos6,物体运动的加速度a=々=

m

gcosO,根据％=^砒2,则^二后，与。角无关，而知道弦长和倾角也能算出半径，所以D正确，ABC

错误.

【点睛】

解决本题的关键根据牛顿第二定律求出加速度，然后根据运动学公式求出运动的时间，看时间与e角的

关系.

17.（2019•上饶中学高三月考）身体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点力沿光滑杆自由卜.滑到倾斜的木

板上（人可看作质点），若木板的倾斜角不同，人沿着三条不同路径48、力C、滑到木板上的时间分别

为〃、小t3t若已知45、AC、4。与板的夹角分别为70。、90。和105。，则（）

A.tl>t2>t3B.tl<t2<tiC.ti=t2=t3D.不能确定小f2、，3之间的关系

【答案】A

【解析】

试题分析：若以OA为直径画圆，则AB交圆周与E点，C点正好在圆周上，D点在圆周之内，AD的延

AOcosa_2-AO

长线交圆周与F点:设AC与AO的夹角为a,则可知人从A到C的时间为，=

gcosaYg

可知与斜面的倾角无关，及人从A点滑到E、C、F的时间是相等的，则可知人从A点滑到BCD的时间

考点：牛顿第二定律的应用

【名师点睛】此题是牛顿第二定律的应用问题；要抓住物体从直径的顶端沿光滑斜面滑到圆周上时所用

的时间是相等的这一结论，则很容易解答此题；同样物体从圆周上的各点滑到圆周的底端时的时间也是

相等的，这些结论都要记住.

18.如图，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点力，竖直墙上另一

点8与"的连线和水平面的夹角为60°,C是圆环轨道的圆心，。是圆环上与M靠得很近的一点（DM远

小于CM）,已知在同一时刻：a、b两球分别由力、8两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c

球由。点自由下落到时点：d球从。点静止出发沿圆环运动到M点0则（）

A.a球最先到达M点

B.b球最先到达M点、

C.c球最先到达M点

D.d球最先到达M点

【答案】C

【解析】

【详解】

对于段，位移

X]=y/2R

加速度

mgsin456

m2

根据得

对于8W段，位移

x2=2R

加速度为

mgsin6013

根据工2=5。2名得

对于CM段，位移

x3=R

加速度为

03=g

根据得

对于d小球，做类似单摆运动

所以，3最小，力最大，故C正确。

故选C。

19.（2019呐蒙古集宁一中高三月考）如图所示，几条足够长的光滑直轨道与水平面成不同角度，从P点以

大小不同的初速度沿各轨道发射小球，若各小球恰好在相同的时间内达到各自的最高点，则各小球最高

点的位置（）

B.在同一竖直线上

C.在同一圆周上

D.在同一抛物线上

【答案】C

【解析】

试题分析：

角度为。的轨道上，小球沿轨道上滑的加速度为。=8$而a上滑的距离S=gg（si〃a）产，

上升高度H=Ssina=；g（sin2a）t2

水平移动距离L=Scosa=gg（s/力acosa）「,

简化为”=ksirra，L=ksinacosa（A=；g/为定值）

所以H=—（2sinasina-l）+—=—（l-cos2cr）

222

L=­sin2cr

2

所以（"一勺?+心2=

故小球是在同一圆周匕圆半径为V.

2

考点：牛顿定律，云变速执行运动规律

点评：注意培养和锻炼应用数学知识解决物理问题的能力.

20.（2020•肥东县综合高中高三月考）如图所示，。〃、。6和4是竖直平面内三根固定的光滑细杆，。、八b、

。、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，。为最低点，。'为圆心.每根杆上都套着一个小滑环，两个

滑环从。点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用小乙、今分别表示滑环沿。。、。AHa到达。、

5所用的时间，则下列关系正确的是

A.f]=，2B.4FC.八<t2D.t2<t3

【答案】BC

【详解】

设ob与竖直方向的夹角为夕，由几何关系得oa与竖直方向的夹角为大。，环沿oa下滑时的加速度大小

2

为

0

4=gcos]

沿。b卜.滑时的加速度大小为

a2=gcos0

设。b长为L,由几何关系得oa长为Lcosg,根据运动学公式有

2

r12r012

L=—a2t；fLeos—=-6tl/l-

得

、2L、2L0

(2=—，A=—C0ST

gg2

由此得到。<%；由于4=,同理可得到4=，因此八=N'2>’3，

故选BCo

21.（2019・靖远县第四中学高三月考）如图所示，让物体同时从竖直圆上的外、P2处由静止开始下滑，沿光

滑的弦轨道《A、6A滑到A处，《4、鸟A与竖直直径的夹角分别为，、%则（）

A.物体沿用4、8A下滑加速度之比为si吧速加a

B.物体沿[A、6/4下滑到A处的速度之比为cosG

C.物体沿《464下滑的时间之比为1:1

D.两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为8.烟：cos%

【答案】BCD

【详解】

A.物体受重力、支持力，根据牛顿第二定律得

rn^cosO八

a=—-----=gcosO

m

所以加速度大小之比为。。烟：COS0-,,故A错误；

BC.物体的位移则

2RcosO=-at2

2

与夹角无关，知下滑时间之比为1:1.则u=",知速度之比为cosO|：cos”,故BiE确，C止确;

D.加速度大小之比为cos〃]:，*。?，根据牛顿第二定律知，合外力之比为cos%:cos”,故D正确。

故选BCDo

22.(202()•山西高一期末)如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有四块光滑的板，它们

的一端力搭在竖直墙面上，另〜端搭在圆2上，其中5、C、。三块板都通过两圆的切点，片在圆1上,

。在圆1内,。在圆1外,力板与。板最低点交于一点〃(</),且两板与竖直墙面的夹角分别为30°、60。，

从4、6、C、。四处同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到这叫板底端的时间分别为八、⑴、(、

心，