高考数学一轮复习：计数原理与排列组合

第10章计数原理

第一节计数原理与排列组合

知识点1两个计数原理

1.分类加法计数原理

完成一件事，有〃类办法，在第1类办法中有叫种不同的办法，在第2类办法中有m2种不同的

方法，…，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：N=叫+叫++〃乙种不同

的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有叫种不同的方法，做第2步有"4种不同的方法,

，做第〃步有〃?“种不同的方法，那么完成这件事共有：N=mf•m,,种不同的方法.

3.两个计数原理的综合应用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如

果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事

的方法数时,使用分步计数原理.

知识点2排列组合

1.排列问题

（1）定义:从〃个不同元素中取出（m<n）个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中取

出〃z个元素的一个排列.从〃个不同元素中取出“（〃2工〃）个元素的所有排列的个数，叫做从〃个

不同元素中取出加个元素的排列数,用符号A：表示.

（2）排列数的公式：+加.

（〃—〃?）！

特例：当m=n时，=〃（〃一1）（〃一2）・・3・24；规定0!=1.

（3）排列数的性质:①;②4"=一!_黑川=—；③A；="寓,

n-mn-m

（4）解排列应用题的基本思路：

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）.

2.组合问题

（1）定义:从〃个不同元素中取出/77（/77<7?）个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取出m

个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m[m<n）个元素的所有组合的个数，叫做从〃个不同元

素中取出m个元素的组合数用符号C；表示.

（2）组合数公式及其推导，求从〃个不同元素中取出，"个元素的排列数A'；；,可以按以下两步

来考虑：

第一步，先求出从这n个不同元素中取出加个元素的组合数C：;

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数A：;

根据分步计数原理，得到A：=C：・A；：；因此~△——-------L.

A”加

这里〃,，〃£%+，且加工〃，这个公式叫做组合数公式.因为A：二,“二,

（n-m）!

所以组合数公式还可表示为：3=,〃!、.特例c；=c;;=i.

注释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是

按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题.

（3）组合数的主要性质:①C1=C：f；②C；+C：T=C'.

题型1约数问题

2n

如果一个正整数A分解质因数A=a；'a^碟，其中a,a2a均为质数，则A的约数个数

为（1+%）（1+工2）…（1+大〃），

所有约数之和为（1+4+/+・・+«"）（1+生+〃；+・・+唠）…（1+〃“+片+-+«；”）

【例1】2520有多少个约数，偶约数有多少个？

【例2】216所有约数之和为多少？

题型2立体几何的计数问题

【例3】正方体的8个顶点可连成多少对异面直线—.

【例4】（2022•苏州模拟）如图,已知点P在四边形所在平面外，如果把两条异面直线看成

一对，那么P与四边形ABCD四个顶点连线以及此四边形的四条边所在直线共8条直线中，异面直线

共有一对。

题型3捆绑法（相邻问题，用捆绑法，注意内部存在一定的顺序）

【例5】4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（）

A.48B.96C.120D.240

【例6】（2022•新高考II）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，

丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【例7】要为5位同学和2位老师拍照留念，要求排成一排，且2位老师相邻，不同的排法有一种.

【例8】2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总

比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、

乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）

A.18种B.24种C.30种D.36种

题型4插空法（不相邻问题用插空法，先排列不受限的事物，再插空不相邻的事物）

【例9】（2020•章丘区模拟）若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻坐法有一

种。

【例10]（2024春•汨罗市期末）某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人,现安排三人

就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有一种。

【例11】（2020春•洪北区期末）四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排

法£勺种数是

【例12】一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（）

A.120种B.60种C.40种D.20种

［例13］张老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为

了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而张老师决定腹部彩超和胸部C7两项不连在一起

检查，则不同的检查方案一共有一种。

【例14】要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单.，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈

节目不相邻，则不同的排法总数为一.

题型5特殊元素（位置）法（限制条件下，优先考虑并满足有艰制的事物，然后再考虑不受限的事物）

【例15】用0,1,234,5可以组成多少个无重复数字的五位数？五位倚数？五位偶数？

【例16】甲、乙等6个人按下列要求站成一横排，甲不站在最左端，乙不站在最右端，有多少种不同的

站法？

【例17】（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中

恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C120种D.240种

【例18】某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加A3,C,。这4个项目的

比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加A项目，则不同的报名方法种数

有（）

A.18B.21C23D.72

【例19】（2023■甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两

人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C40D.30

【例20】某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙、衡阳、郴州、株洲、益阳这5个城市中选择4个

（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站、第二站、第三站、第四站），且第一站不去株洲，

则该旅游团四站的城市安排共有（）

A.96种B.84种C72种D.60种

【例21】要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课

排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（）

A.24B.72C144D.288

【例22】以编号为1,2,345的5个球中任取4个，放在编号为A,B,C,D的4个盒子里海盒一球,且2

号球不能放在B盒中的不同的方法数是（）

A.24B.48C.54D.96

题型6间接法（正难则反）

【例23】从0,1,2,3,4,567,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不问的取法有多

少种？

【例24】从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲、乙

中至少有1人入选的不同参赛方案共有一种。

【例25】某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3

名教师中男女都有，则不同的选派方案共有一种.

【例261（2018•新课标I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生

人选，则不同的选法共有一种。（用数字填写答案）

题型7重排问题求幕策略（解决可重复问题）

【例27】有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（）

A.243B.125C.60D.120

【例28】甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1

名冠军产生，有一种不同的冠军获得情况.

【例29】把6名实习生分配到7个车间实习，共有一种不同的分法.

题型8组合问题

【例30】（2023•新高考H）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法

作抽样调杳，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和

200名学生，则不同的抽样结果共有（）

A.短种B.C需V）种C.C森・瑞）种D.鼠种

【例31】（2023•新高考I）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门

课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有一种（用数字作答）。

【例32]（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天

安排1个人，第二天安排1个人，第二天安排2个人，则共有一种安排情况.

【例33］现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3

张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）

A.484B.472C.252D.232

【例34］某校计划选拔4名学生参加科技创新大赛.现从3名女生、5名男生中进行选择，要求队伍

中至少包含男、女生各1名，则不同选法的总数为（）

A.65B.60C.35D.30

【例35】（2023•甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人

参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

【例36】（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场

馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同佗安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

题型9分组分配问题

1.平均分组问题

【例37】导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干

学生的个性、人格发展和全面素质提高负责，已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名

同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（）

A.90B.15C.60D.180

【例38】为提升教育教学质量，促进各分校区发展，西南大学附属中学开展本部一分校区联合教研.现计

划从本部派出7男2女共9名老师到A、8、C三个分校区开展教研，每个校区三人，则有

（）种安排方案.

A.1050B.1680C.2940D.3360

【例39】中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022

年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成「最后一个关键部分的发射，“梦

天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完

毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舲中

每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（）

A.72种B.90种C.360种D.540种

2.不平均分组问题

【例40】现有高校进入高中校园组织招生宣传，4名男生、3名女生去参加A,B两所高校的志愿

填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生乂有女生参加，则不同的安排

方法数是（）

A.42B.60C.84D.120

【例41】教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选

派了5名教师到A8、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，

不同的选派方法数有（）种

A.25B.60C.90D.150

【例42】将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至

少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（）种.

A.114B.150C.72D.100

［例43］10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不

同的分组方法？

【例44】2023年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A、

B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人.不同的安排方式共有（）种.

A.540B.480C.360D.240

题型10排列组合混合问题先选后排策略

【例45】（2020.新课标H）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每

个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有一种.

【例46】将6名实习教师分配到5所学校进行培训，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少

分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）

A.600种B.900种C.1800种D.3600种

［例47］为了落实立德树人的根本任务,践行五育并举，某校开设4B、C三门德育校本课程，现有甲、

乙、丙、丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名

方法有（）

A.72种B.60种C.54种D.36种

【例48】（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项

目进行培训，每名志愿者只分配到1个项每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有

A.60种B.120种C.240种D.480种

【例49】（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村

里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

【例50】（2017•新课标H）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人

完戌，则不同的安排方式共有（）

A.36种B.24种C.18种D.12种

题型11定序问题倍缩法（排列中涉及到定序的问题，则用除法，除去多余全排列中涉及到顺序的问题）

【例51】某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺

序不变，则不同的加入方法种数为（）

A.10B.20C.24D.30

【例52】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术痔色.如图，

现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为一.

【例53】书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有一种不同的插法

（具体数字作答）

【例54］城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即

将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌

王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）

A.110R.144C.122D.1S6

题型12隔板法（相同元素的分配问题，用插板法进行求解）

【例55】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（）种不同分配方案？

A.9B.36C.84D.120

【例56］已知不定方程玉+X2+X3+%=12，求：

（1）不定方程正整数解的组数；（2）不定方程自然数解的组数

【例57】某高校举行一场智能机器人大赛.该高校理学院获得8个参赛名额.已知理学院共有4个班,

每个班至少要有一个参赛名额，则该理学院参赛名额的分配方法共有（）

A.20种B.21种C.28种D.35种

题型13合理分类与分步策略（多面手问题）

【例58］我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人

只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞，现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）

种不同的选法.

A.675B.575C.512D.545

［例59］3成人2小孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他

们任选2只船或3只船，但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少种乘船方法？

【例60］某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英

语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法

A.225B.185C.145D.110

题型14涂色问题（先分配好颜色，再进行涂色，最后加法合并到一起）

求解涂色（种植）问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：

（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；

（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分

析；

（3）对于涂色（立方体）问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题

【例61】（2010•天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点

涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）

A.288种B.264种C.240种D.168种

【例62］（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用

同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有一种.（以数字作答）

【例63］用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有

A.240B.360C.480

【例64】一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（n>3,

nwN")等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.

（1）如图（1）,种不同的种植方法;

（2）如图（2）,圆环分成4等份，分别为％,a2,%，小，则有——种不同的种植方法.

【例65】（2021•武汉四调）某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花0J栽植鲜花，该圆环区

域被等分为〃个部分（〃24）,每个部分从红，黄，蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相

邻区域不能用同种颜色的鲜花.将总的栽植方案数用表示，则4二a

【例66】重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带.东邻湖北、

湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西，现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色

不相同，则共有一种涂色方式.

题型15标号排位问题（不配对问题）

【例67］将数字1,2,3,4填入标号为1,234的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均

不相同的填法有（）

A.6种B.9种C.11种D.23种

【例68】编号为1,2,3,4的四位同学，分别就座于编号为1,234的四个座位上，每位座位恰好坐一位同

学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为一.

题型16环排问题线排策略

【例69］如图，某手链由10颗较小的珠子（每颗珠子相同）和11颗较大的珠子（每颗珠子均不

相同）串成，若10颗小珠子必须相邻，大珠子的位置任意，则该手链不同的串法有（）

A"A12

A.种B.寸种C.4,2种D.芳■种

【例70】有10个人围着一张圆臭坐成一圈，共有多少种不同的坐法？

题型17构造模型策略

【例71］某排共有10个座位，安排4人就坐.若每人左右两边都有空位，则不同的坐法有一种（用

数字回答）.

【例72］.马路上有编号为1,2,3...,9九只路灯,现要关掠其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不

能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

题型1S走楼梯问题（分类法与插空法相结合）

【例73］（2023春•余姚市校级月考）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），

A.23条B.24条