高一数学：集合与常用逻辑用语 全章综合测试卷-解析版

第一章集合与常用逻辑用语全章综合测试卷

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2023春•重庆北陪•高二校考阶段练习）命题：V%WR,/+%一130的否定是（）

22

A.3x0ER,x0+x0—1>0B.WR,x0-I-x0—1<0

C.Vx£R,产+%-1W0D.VxeR,x2+x-l<0

【解题思路】利用全称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论

【解答过程】解：命题：的否定是三/€2

Vx6R,/+%-120LX0+XQ-1<0,

故选：B.

2.（5分）（2023•全国高一假期作业）下列说法：①集合｛x£N|%3=无｝用列举法可表示为｛—1,0,1｝；

②实数集可以表示为｛.巾•为所有实数｝或｛R｝；③一次函数y=%+2和y=-2x+8的图像象交点组的集合为｛x

=2,y=4｝,正确的个数为（）

A.3B.2

C.1D.0

【解题思路】对于①，通过解方程求出x的值，即可判断出结果的正误；对于②，根据集合的表示方法即可

判断出结果的正误；对于③，通过联立方程，得出交点坐标，从而判断结果的正误.

【解答过程】由％3=X,得%（X-1）（%+1）=0,解得x=（）或x=l或X=-1,又因为一1WN,故集合｛x£N"‘

=/｝用列举法可表示为｛0，1｝,故①不正确.

集合表示中的“｛｝”已包含“所有"全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为

｛xb•为实数｝或R,故②不正确.

联立｛yd：；8,解得3二%,一次函数与尸—法+8的图像交点为⑵4）,

，所求集合为｛（x,y）|x=2且y=4｝,故③不正确.

故选：D.

3.（5分）（2023•全国•高三对口高考）下面有四个命题：

①｛3｝c｛x\x>3）；

②若a=2\[2,B=｛xGR|x>2+V2）,则ae8；

③若-a不属于N，,则。属于N*：

22

④若力=[x\y=V1-x},B={y|y=V1-x]f则A=B

其中真命题的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解题思路】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A,8判断④.

【解答过程】①由子集概念知{3}c[X\X>3}正确；

②因为2&V2+a,所以QWB,故错误；

③当Q=0时，一OWN*,0CN",故错误；

④因为=[x\y=V1-x2}=[-1,1],5=[y\y=V1-x2]=[0,1],所以4HB,故错误.

故选：B.

4.（5分）（2023•全国•高一假期作业）已知p是一的充分不必要条件，q是，•的充分条件•，s是/•的必要条

件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③，是的必要

不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（）

A.®@B.①@C.②③D.③④

【解题思路】根据条件及充分条件和必要条件的的确定p,q,r,s之间的美系，然后逐一判断命题①②③©即

可.

【解答过程】因为p是7•的的充分不必要条件，所以p=r,r推不出p,

因为q是r的的充分条件，所以q=r，

因为s是r的必要条件，所以r=s,

因为q是s的必要条件，所以s=q,

因为q=r，r=s,所以q=s,又snq,,所以s是q的充要条件，命题①正确，

因为p=r，r=s,s=q,所以p=q，

q推不出p,故p是q的充分不必要条件，②正确；

因为r=s,s=q,所以r=q,r是q的充分条件，命题③错误；

因为snq,q=r,所以snr,乂r=s,

所以r是s的充要条件，命题④错误；

故选：B.

5.（5分）（2023秋・江苏苏州•高一统考期末）已知/（x）=疹=I的定义域为A,集合B={xG/?|1<ax<2},

若Bc4则实数a的取值范围是（）

A.[-2,1]B.[-1,1]C.（-oo,-2]U[l,+oo）D.（-8,-1]u[1,+8）

【解题思路】先根据二次不等式求出集合A,再分类讨论集合8,根据集合间包含关系即可求解.

【解答过程】/（%）=2二I的定义域为A,

所以％2—1工0,

所以％>1或％<-1,

①当Q=0时，5={xe/?I1<Ox<2]=0,

满足8GA,

所以a=0符合题意；

②当a>0时，

B={xeR\^<x<^,

所以若BG4

则有三21或匕一1,

aa

所以0<aw1或a<-2（舍）

③当”0时，

B=[xeR\^<x<^},

所以若BG4

则有二W—1或2N1（舍），

aa

-1<a<0,

综上所述，aE[-1,1]»

故选:B.

6.（5分）（2023•全国•高三专题练习）已知命题p:Vx£R,aM+2%+3>0的否定是真命题，那么实数a的

取值范围是（）

A.a<\B.0<a<C.a<D.a>\

3333

【解题思路】出题意可知，命题：dX6/?,a/十2X十3三。为真命题，分X=0、X工0两种情况讨论，利

用参变品分离法求出实数a的取值范围.

【解答过程】由题意可知，命题：BxeR,a/+2x+3W0为真命题.

①当％=0时，则3工0,不合乎题意；

②当》黄0时，则0工一.一|,令£=：«0,

2

则y=一2「=-2（「+g）

所以,当£=一]时,Knax=%贝!aW：.

综上所述，实数a的取值范围是QS5

故选：C.

7.(5分)(2023•全国•高三专题练习)设集合M={X|Q—Q)(X-3)=0},N={x[(x-4)(x-1)=0},

则下列说法一定正确的是()

A.若MUN={1,3,4},则MnN=0

B.若MUN={1,3,4},则MnNW0

C.若MCIN=0,则MUN有4个元素

D.若MClNH。，则MUN={1,3,4}

【解题思路】首先解方程得到：用={3,研或用={3},N={1,4},针对。分类讨论MCMMUN即可.

【解答过程】(1)当a=3时，M={3},MnN=0,MuN={L3,4}；

(2)当a=l时，M={1,3}*MnN={l},MuN={L3,4}；

(3)当a=4时，M={3,4},MnN={4},MUN={L3,4}：

(4)当ail,3,4时，M={3,Q},MnN=0,MUN={1,3,4,a)；

综上可知A,B,C,不正确，。正确

故选:D.

8.(5分)(2023.全国•高三专题练习)设集合S,T.SCN*,7'UN*.S.7中至少有两个元素，且S,T

满足：

①对于任意x,yWS,若对y,都有xyWT

②对于任意x,yET,若x<y,则7WS；

下列命题正确的是()

A.若5有4个元素，则SU7有7个元素

B.若S有4个元素，则SU7有6个元素

C.若S有3个元素，则SU7有5个元素

D.若S有3个元素，则SU7有4个元素

【解题思路】分别给出具体的集合S和集合T,利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.

【解答过程】首先利用排除法：

若取S={1,2,4},则T={2,4,8},此时SU7={1,2,4,8},包含4个元素，排除选项C：

若取S={2,4,8},则7={8,16,32},此时SUT={2,4,8,16,32},包含5个元素，排除选项D；

若取S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},此时SUT={2,4,8,16,32,64,128},包含7个元素,排除选项

下面来说明选项A的正确性：

设集合5={0192卬394}，且「1<了2〈了3〈了4,P1，P2，P3，P4£旷，

则P1P2Vp2P4，且PlP2，P2P4£7，则詈6S,

Pl

同理毡6S,"es,在£S,空6S,在€S,

P2P3P2PlPl

若为=1,则P2>2,则会<p3,故就=P2即P3=P2»

又为碟嘴>1,蹴嘴=。2,所以P4=PZ，

故5={1，P2，P：，P外,此时成eOpzET，故p[eS,矛盾，舍.

若P1N2,则台V渠VP3，故意npzjnpMPB=Pf，P2=P：，

PlPlPlPl

又P4>">">">1,故巴=当=%，所以P4=P3

PlP2P3P3Fl

故$={Pi,Pi；Pi,Pi）,此时{p；,pf,pf,p，,p；}qT.

若一qWT,则徐WS，故亲==123,4,故q=p；+3,i=1,2,3,4,

即qe{PI，PI，PI，PI，PI）»故（pf，Pf，P？，Pf，P；}=T，

此时SUT={pltpl,pf,pi，p},pl，pf,Pi}BPSUT中有7个元素.

故A正确.

故选:A.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2023春・湖北咸宁•高一校考开学考试）下列命题正确的是（）

A.“aA1”是“工<1”的充分不必要条件

a

B.命题“V》<l,x2<1”的否定是叼无<l,x2>r

C.设招yGR,则“x>2且y>2”是n2+y2>4”的必要而不充分条件

D.设a,bwR,则“aH0”是“abW0”的必要而不充分条件

【解题思路】对于ACD,根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B,根据全称量词命题的

否定形式可判断其正误.

【解答过程】对于A,：<1即为Q<。或Q>1,

因为a>1可得推出a<0或a>1,a<0或a>1推不出a>1,

故“a>1”是d<1"的充分不必要条件，故A正确.

a

对于B,命题“Vx<1,/<1”的否定是“北V1,/N1"，故B王确.

对于C,当且yN2时，有炉+y228N4,

取x=y=&，满足/+y2n％但%>2且y>2不成立，

故3>2且y>2”是“无2+y2>4”的充分而不必要条件，故C错误.

对干D,取Q=1,0,b=0,此时ab=0»故ahH0不成立，

当时。0时，必有QH0,

故“a*0”是“abH0”的必要而不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

10.（5分）（2023春・河北承德•高三校考阶段练习）若“VxWM,优|>%”为真命题，TxWM,x>3”为

假命题，则集合M可以是（）

A.（-8,-5）B.（-3,-1]C.（3,+oo）D.[0,3]

【解题思路】根据假命题的否定为真命题可知VxEM,x<3,又VxWM,优|>力求出命题成立的条件,

求交集即可知W满足的条件.

【解答过程】•••3xGM,x>3为假命题，

VxGM,x<3为真命题，

可得Mc（-oo,3],

又VxWM,|x|>%为真命题，

可得M£（-a）,0）,

所以MG（-oo,0）,

故逃：AB.

II.（5分）（2023•全国•高三专题练习）已知集合力={x|-l<%<7},B={x\a+2<x<2a-l]f若

使8GA成立的实数。的取值集合为M,则M的一个真子集可以是（）

A.（-oo,4]B.（-00,3]C.（3,4]D,[4,5）

【解题思路】根据题意8qA讨论8。0和8H。情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.

【解答过程】由题意集合A={xI-1<x<7},B={x\a+2<x<2a-l]t

因为8。4所以当3=0时，即QV3；

当B牛。时，有一1<a+2<2a-l<7,解得3<a<4,

故M=（-8,4],则M的一个真子集可以是（-8,3]或（3,4],

故选:BC.

12.（5分）（2023秋•安徽蚌埠•高一统考期末）对任意4BGR,定义力㊉8=[x\xEA\JB,xAnB）.

例如，若4={123},8={234},则4㊉8={14},下列命题中为真命题的是（）

A.若A,B£R口A㊉B=B,则4=0B.若4BUR且4㊉8=0,则力=B

C.若ABGR且力㊉则4G8D.若A,B£R,则（。⑷㊉8=CR（{㊉8）

【解题思路】根据定义4㊉8=（x\xeAUB,x^AC\B}f得到<㊉8=[（品⑷nB]U[4n（金8）],对四个

选项一一验证.

【解答过程】根据定义A㊉B=S）nB]U[AC（CM）].

对于A：若A㊉o=。，则（CRA）C。=3/C（品。）=0,（金4）c。。。口（CRA）,An（金。）=0=4W

B,，/1=0,故A正确；

对干B：若力㊉B=0,则（。/）ClB=0S介（CRB）=0,ACiB=A=>AQB,AnB=B=>BQA,：,A=民故

BE确；

对FC：若力㊉8G4则力㊉BGA/C（CRB）C4则8C4故C错；

对于D：左边（GA）㊉8=（4nB）u（CRAnC”）,右边CR（4㊉B）=CR{[（CRA）nB]u[4n（C*）]}=

（AnB）uSnCR8）所以左=右.故D正确.

故选：ABD.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2023•全国•高一假期作业）已知命题p:V%WR,a炉+2%+120”的否定为真命题,则实数a的

取（I范围是㈤。41}.

【解题思路】问题等价于a/+2Z+1=0有解，即『二4二然Z°或Q=0,解得答案.

Ia土0

【解答过程】已知问题等价于a/+2%+1=0有解，则"=4二然N°或。解得Q<1

Ia工0

故答案为：{a|aWl}.

14.（5分）（2023•全国•高三专题练习）设命题p:|4%—3|W1：命题q:%?—Qa+1）%+a（a+1）W0,若

「p是」q的必要而不充分条件•，则实数a的取值范围是OWaW：.

【解题思路】根据题意，得到q是p的必要不充分条件，进行求解即可.

【脩答过程】p:|4x-3|<1,.,.|<x<1,

q:x2-（2a+l）x+a（a4-1）<0,.-.a<x<a+1,

因为「p是的必要而不充分条件，

・•.q是p的必要不充分条件，

（a+1>12

实数a的取值范围是OWQW*

故答案为0<a<1.

15.（5分）（2023秋・北京石景山•高一统考期末）设P为非空实数集满足：对任意给定的不、yeP（x,y可

以相同），都有％+yWP,x-yeP,xyEP,则称尸为幸运集.

①集合P={-2,-1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,ne2}为幸运集：

③若集合匕、为幸运集，则P1UP2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有OWP;

其中正确结论的序号是上④

【解题思路】①取X=y=2判断；②设X=2klep,y=2k2ep判断；③举例Pl={x\x=2k,keZ},P2=

{%|x=3k,k£Z}判断；④由心y可以相同判断；

【解答过程】①当％=y=2,%+y=4CP,所以集合P不是幸运集，故错误；

②设%=2klEP,y=2k2GP,则%+y=2（七+k2）eA,x-y=2（自-k2）EA,xy=2kl•k?WA,所以

集合。是幸运集，故正确；

③如集合Pi={x|x=2k,kEZ},P2={x|x=3k,kEZ}为幸运集，但PiUP?不为幸运集，如％=2,y=3时，

x+y=5CP]UP2，故错误；

④因为集合P为幸运集，则x—yWP,当x=y时，x-y=0,一定有0EP,故正确；

故答案为：②④.

16.（5分）（2023•全国•高三专题练习）设集合S,T,SGM,TUN,S,T中，至少有两个元素，且S,T满足：

①对于任意％y£S,若％。y,都有xyeT；②对于任意％yET,若x<y,则rGS.若S有4个元素，则SUT

有7个元素.

【解题思路】由题可知S有4个元素，根据集合的新定义，设集合S={P1，P2，P3，P4}，且PlVP2Vp3VP4,

P】，P2，P3，P4WN*,分类讨论Pl=1和PlN2两种情况，并结合题意和并集的运算求出SU7,进而可得出答

案.

【解答过程】解：由题可知，SGN'TNN，S有4个元素，

若取S={2,4,8,16},则7={8,16,32,64,128},此时SU7={2,4,8,16,32,64,128},包含7个元素,

具体如下：

设集合S={P1，P2，P3，P4}，且Pl＜P2Vp3Vp4，P1，P2，P3，P4£N）

则P1P2＜P2P4，且P1P2，P2P46T,则爪GS,

Pl

同理"GS"ES,"eS,空GS,空eS,

P2P3P2PlPl

若Pl=1,则P2＞2,则"＜P3，故在=P2，所以P3=p22»

P2P2

又白＞杉,号＞1,故,=言=叨所以P4=P?3,

P2P3P3P2

故5={1，P2，P22，P23},此时p?5W7，P2WT，故Pz4WS,矛盾，舍去；

若P1N2,则,V）〈P3,故,=P2，［=P1，所以P2=p/,P3=pJ，

PlPlPlPl

又为＞新＞新＞券＞1，故,=言="，所以P4=PJ，

PlP2P3P3Pl

故s={PDPFPJ.PJ}，此时{pj.pjpjpjpj}CT,

若qeT,则弥ES,故言=p/,i=1,2,3,4,故。=pj+3,i=1,234,

即qG{Pi3,Pi4,Pi5,Pi6,P17］，故{PPPPPPPEP/}=r,

234567

此时SUT={pi，Pi,Pi,Pi,px,Pi,Pi）»即SUT中有7个元素.

故答案为：7.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2023•高一课时练习）已知集合4={x|a/+4%+4=0,aeR,xE/?}.

（1）若力中只有一个元素，求a及力；

（2）若4中至多有一个元素，求a的取值范围.

【解题思路】（I）分Q=0和QH0两种情况讨论，当4中只有一个元素时，求Q的取值；

（2）讨论集合4=0或有一个元素时，Q的取值范围.

【解答过程】（1）当Q=0时，4x+4=0,解得：x=-1,

所以A中只有一个元素，即人={-1},

当aHO时，J=16-16a=0,解得：a=1,

/+4X+4=0,解得：x=-2,此时4={一2}

综上可知a=0时X=[―1]»a=1,时力=(—2).

（2）当集合21=0时，zl=16-16a<0,解得：Q>1

由（1）可知集合力有1个元素时，a=0或a=1,

综上可知：a=0或Q>1,

即ae{0}U[1,4-co）.

18.（12分）（2023•高一课时练习）已知集合用={工|一2W%W5}.

（1）若可={x|m+1WxW2m-1},NGM,求实数m的取值范围；

（2）若可={x|m-6WxW2m-1},MGN,求实数m的取值范围.

【解题思路】（I）分N为空集利N不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可;

（2）MUN,则M是N的子集，列出不等式组求解即可.

【解答过程】（口①若八二。，则m+l>2m-L即mV2,此时N。M：

（m+l<2m—1

②若N00，贝ij-2<?n+l,解得2WmW3.

（2rn-1<5

综合①②，得实数血的取值范围是{mlm<3}.

（2）（2）若MGN,则{寡fjlj，解得34m44,

所以实数m的取值范围是{m|3<<4}.

19.（12分）（2022秋・吉林四平•高三校考阶段练习）已知命题p：“实数a满足{x|mWxWm+l}u

{x|l<x<a}"，命题q：“Vx6R,Vax?+ax+3都有意义”.

⑴已知7九二1,p为假命题，q为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若p是「q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【解题思路】（1）将m=l代入，化简p、q,然后根据p为假命题，q为真命题，列出不等式，即可得到结

果.

（2）先根据条件化简p、q得到「心然后根据p是「q的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.

【解答过程】（I）当租=1时，由Wl<x<2]c（x|l<x<a）,

得a>2,即：若p为真命题，则a>2；

若q为真命题，即a/+ax+3N0恒成立,

则当Q=0时，320满足题意；

(a>0

当aH0时,!△=a2-12a<0解得OVaW12,

故0WaW12.

故若p为假命题，q为真命题,

则。仃,解得0WQW2,

即实数Q的取值范围为[0,2].

(2)对于p,小工1且771+1工。.

对于q,0<a<12,则-nq：。<0或。>12.

因为p是「q的充分不必要条件，

所以m+1>12,解得11.

故m的取值范围是{m|m>11}.

20.(12分)(2023秋•广东揭阳•高一校考期中)已知集合力=卜WNE<X<4},B={x\ax-1>0].

请从①力UB=8,②力nB=0,③An(CRB)H。这三个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)

问的解答.(如果选择多个条件分别解答，按第•个解答计分)

(1)当Q=3时,求力n8；

(2)若,求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)取Q=：化简8,化简4再根据交集的定义求4n&

(2)若选①，由4118=8可得4£8,讨论Q的正负，由条件列不等式求。的取值范围；若选②，讨论Q的正

负，化简集合从结合条件4n8=0列不等式求〃的取值范围；若选③，讨论a的正负，化简集合从结合

条件AA(CRB)丰。列不等式求。的取值范围.

【解答过程】(I)由题意得，A={xeN\^<x<4]={1,2,3).

当a=:时，8={%|1x—1>0j={x\x>2],

：,ACiB={2,3}；

(2)选择①.

*：AUB=B,：.AcB,

当a=0时，8=0,不满足4G心舍去；

当a>0时，8={小*}，要使4GB,则三1,解得QNI；

当a<0时，F=[x|x<^j,此时?<0,不满足4£B,舍去.

综上，实数。的取值范围为[1,+8).

选择②.

当a=0时，B=0,满足4nB=0：

当a>0时，B=[x|x>^j,要使4nB=0,则:>3,解得0<Q</

当aVO时,B={%%.},此时；VO,4nB=0.

综上，实数a的取值范围为(-8,

选择③.

当a=0时，8=0,CRB=R,・・"n(CR8)=4w0,满足题意；

当a>0时，F={x|x>^},CRB=kkV：},要使4n(CRB)H0,则解得0VQV1；

当a<0时，B={x|x<^],CRB=[X\X>^],此时:<0,4n(CRB)=400,满足题意.

综上，实数。的取值范围为(-8,1).

21.(12分)(2023秋•湖北襄阳•高一统考期末)已知集合A={x|a-l<x<2a+l]fB={xI-2<x<4}.

在。4U8=B；②、G4"是"6B”的充分不必要条件；③AClB=。这三个条件中任选一个，补充到本题

第②问的横线处，求解下列问题.

(1)当。=3时，求CRG4CB)；

(2)若,求实数Q的取值范框.

【解题思路】(1)利用集合的交并补运算即可得解：

(2)选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解：选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，

再结合数轴法即可得解.

【解答过程】(1)当a=3时，A={x\2<x<7],而8={"-2WxW4},

所以ACyB={x\2<x<4],则CRQ4nfi)={x|x<2或%>4).

(2)选①：

因为力UB=B,所以4S=B,

当5=0时，则Q-1>2Q+1,即a<-2,满足力GB,则aV-2；

当4H。时，a>-2,由4GB得解得-

综上：。<一2或一1三。工|,即实数a的取值范围为(一8,-2)可一1,|上

选②：

因为2C4”是％C8”的充分不必要条件，所以A是B的真子集,

当4=0时，则Q-1>2Q+1,即QV-2,满足题意，则QV-2；

当71H0时，QN—2,贝卅二且不能同时取等号，解得TWQ<;

综上：。<一2或一1工。转，即实数a的取值范围为(一8,-2)可一1,|卜

选③：

因为4nB=0,

所以当/=0时，则Q-1>2