湖北襄阳市部分学校2025-2026学年高一年级下册7月期末测试数学试题（试卷+解析）

高一下学期期末测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数Z满足i.z+l=i,则Z的虚部为（）

A.1B.72

C.iD.y/2i

2.已知向量3=（2,-2）,向量加在3上的投影向量工=（一1,1）,则，彳=（）

A.-4B.-2C.OD.2

3.某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用

比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为（）

A.14B.16C.28D.32

13

4.在△48C中，角A8,C的对边分别是a,b,c.若。=7,〃=8,（：05。二」7,则4=（）

5.如图，在四棱台A8c。一48£9中，底面A8CQ是平行四边形，过点A的平面与棱84，CC.,

分别交于E，F,G（三点均不在棱的端点处），则直线AE与平面CQ9G的位置关系一定是

A.AE与平面CORG相交B.平面CORG

C.AEu平面CDQGD.AE〃平面CO"G

6.在夏平面内，已知平行四边形。43c的三个顶点O,A,。对应的更数分别为0,2+4/,—3+2i,则

点B对应的里数为（)

A.—1+6;B.1+6/C.5+zD.-1+5/

7.如图，在正方体ABCO-AMGR中，M是CG的中点.若点P满足：平面RMP与平面ABCO交于

直线/，且/_!_平面COQG，则点尸可以位于（）

8.在△A3C中，8。=2百，（27B-^C）BC=O,且△ABC的面积为3JJ，则AC=（）.

A.3B.2y/7C.2厉D.y/57

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知一组样本数据当，x2,占的标准差为3,则（）

A.占,与，七不可能都相等

B.2占-3,2X2—3,2当一3的标准差也为3

C.七，x2,七的平均数有最小值

D.X：,月，X；的平均数有最小值

10.已知复数4和z2在复平面内对应点Z1和Z2,且满足归|=1,z2=iz,,则（）

A.|z2|=IB.z；=-z；C.|Z/^|=1D.OZ1±OZ^

11.△ABC的三个内角AB,。所对边的长分别为a*,c,其外接圆半径为R,内切圆半径为,，厂=3满足

R

6zcosA+Z;cosB+ccosC=—,△ABC的面积为6,则（）

A.sin2A+sin2B+sin2C=-B.a+/?+c=4

3

C.7?=6D.sinA+sinB+sinC=—

6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量〃=（1,2）,b=（3,.r）.a与♦+/；共线.贝U〃一加=.

13.当太阳光线与水平面的倾斜隹为60时，将一根竹竿斜插在水平地面上，竹竿露出地面的部分长为2

米，则竹竿的影子最长为米.

14.在四棱锥尸一A8CO中，底面ABC力是边长为2的菱形，且N84D=(,△PAD为等边三角形，平

面平面48cO,E为PC的中点，则三棱锥P—3OEE勺体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.设复数Z]=〃广一m-2+(m-2)i,z2=/?+(/?-2)i,z3=ni+n\(/??,«GR).

(1)若4是纯虚数，Z?为实数，求|zj;

⑵若〃?=3,设Z]+i=W+hi)・(Z]-i)g,Z?£R),求4+b的值.

16.在平行四边形A4CO中，AB=4,AD=3,=E是的中点，加=24户，

BG=^BC,设丽=d，AD=b.

_____IRIU

(1)用d，b表示丽、EG；

______IRK1

(2)求前与EG的夹角.

17.某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200

名参赛者的比赛成绩(单位：分)按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成

(1)求。的值；

(2)用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数：(每组数据用该区间的中

间值作代表)

（3）已知落在［60,70）内比赛成绩的平均数为64.5,方差是14；落在［60,80）内比赛成绩的平均数是

70.5；落在［70,80）内比赛成绩的方差是4.求落在［70,80）内比赛成绩的平均数与落在［60,80）内比赛成

绩的方差.

18.如图，三棱锥S—A8C满足以_1面43。，S4=A8=AC=4,点尸为棱3c中点，点A在直线

SB,SC，S/上的投影分别为。，E,H.

（2）当二面角£＞一4”一石的余弦值为一之时，求三棱锥S—48。的体枳；

4

（3）在第（2）问的条件下，是否存在点7使得点r到A,13,D,H,尸的距离均相等，若存在，求出二

面角丁一DH-F余弦值;若不存在，请说明理由.

19.在△A8C中，内角A,B,CR勺对边分别为a,b,c,力为AB边上的高.

/、4-1-coSiAA

（1）求证：--------=tan—；

sinA2

a+b-cAB

（2）求证：--------=tan—Ftan—；

h22

（3）若5c为锐角三角形，求"i?’的取值范围;

（4）设k='d,若对给定的正实数3当”，b,c变化时，△ABC始终是锐角三角形，试求满足条

h

件的A的取值范围.

高一下学期期末测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数Z满足i.z+l=i,则Z的虚部为()

A.1B.&

C.iD.y/2i

【答案】A

【解析】

【分析】先根据复数的四则运算得出；再根据复数的虚部定义即可求解.

一1，、，、

【详解】因为复数z满足i・z+l=i,所以z=^—=(—l+D(T)=l+i.

即2的虚部为1.

2.已知向量2=(2,-2),向量万在］上的投影向量2=则()

A.-4B.-2C.OD.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用投影向量的定义，结合数乘向量、向量的模的坐标运算，计算即可得结果.

【详解】由题意，7=(2,-2),c=(-l,1),Mp|2=8,c=--«,

一a'baab-ab-1-

所以向量B在〉上的投影向量o=下「尸=存"二k4=一不〃，

M卜1482

所以辿=-』，即7.=-4.

82

故选:A.

3.某中学高一年级有280人，高二年级有32()人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用

比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为()

A.14B.16C.28D.32

【答案】C

【解析】

【分析】根据抽样比即可按比例求解.

【详解】高一年级应抽取工^280=28人，

280+320

故选：C

13

4.在△ABC中，角A8,C的对边分别是若a=7,/?=8,cosC=—,则人=（）

14

兀〜71-兀一兀

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】C

【解析】

【分析】先根据余弦定理求出边c,再利用余弦定理求出角A的余弦值，最后结合三角形角的取值范围得出

角A的值.

13

【详解】由余弦定理可得：c2=«2+/?2-2f//?cosC=49+64-2x7x8x—=9,

14

c=3»

b2+c2-a264+9-491

cosA=---------=---------=—，

2bc2x8x32

*/0<A<7t,

,兀

/.A=—

3

故选：C.

5.如图，在四棱台A3co中，底面438是平行四边形，过点A的平面与棱84，CC,,

。"分别交于E，F，G（三点均不在棱的端点处），则直线AE与平面CO2C的位置关系一定是

A.AE与平面COQG相交B.4EJL平面COQG

C.4石（=平面。。2。1D.A£7/平面CO"G

【答案】A

【解析】

【分析】利用线面平行的性质定理并结合点、线、面基本性质即可判断.

【详解】因为四棱台侧棱交于一点，可设平面COQG与平面8AA4交线为/,

因为底面ABC。是平行四边形，所以AB//CD,因为COu平面CORG，

所以AB//平面CORG，又因为ABU平面8AAi平面CQQGn平面比44四=/,所以4B/〃.

在梯形阴4片中，显然直线A3与直线AE既不垂直也不平行，因为/u平面用U中,且AB//1,

则直线AE与/既不平行也不垂直，则直线AE与/有交点，

因为/u平面CDRG，则直线4E不垂直平面。4G，故B错误；

因为直线AE与/有交点，/u平面COQG，所以直线AE与"面CO"G有公共点，

又因为点A任平面CORC，所以4E与平面CORG相交，故A正确；

则4£<Z平面C'〃2G，AE1不平行平面。浦2a，故CD错误.

故选:A.

6.在复平面内，已知平行四边形。WC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,2+4晨-3+23则

点B对应的复:数为（）

A.—l+6zB.l+6iC.5+zD.—1+5/

【答案】A

【解析】

【分析】根据O*=OC+OA•求解即可.

【详解】由平行四边形CM8C知，OB=OC+OA^

得点8对应的复数为（2+旬+（-3+2。=-1+6八

故选：A

7.如图，在正方体ABC。-AB©A中，M是CG的中点.若点P满足：平面RMP与平面ABC。交于

直线/，且/J_平面CORC，则点尸可以位于（）

DG

p----------十—c

✓I

✓I/

I✓I/

I✓

AB

A.AB.BC.AD.4

【答案】C

【解析】

【分析】延长2M交。c延长线于点N,则直线/为过点N平行于3c的直线，即可确定平面。MP,

可得解.

【详解】根据题意，延长交。。延长线于点N,

因为平面。/R与平面A8CO交于直线/,且/_L平面C〃gC；,

则直线/为过点N平行于BC的直线，

又因为4R〃8C,则A。"/,所以4。与/共面，即平面。MP,

所以点P可以位于A，而点4、8和用都不在平面"MP上，故C正确.

8.在AABC中，8C=2百，（24B-AC）BC=0,且8c的面积为3百，则4C=（）.

A.3B.2币C.2VL5D.国

【答案】D

【解析】

【分析】延长A3到。，使得布=2瓶，可得CD_L8C,由5.隗=5逆8可得CD=3,进而求得

BD,AB,cosZABC,在△ABC中，由余弦定理求得答案.

【详解】如图，延KA6到。，使得而=2而，

A

C

D

由（2通—记）M=0,可得（AD—灰=0,即历.前=o,所以CDJ_BC,

因为SAABC=S/8,所以S^BCD=珅，即：8CCO=：x26cO=3g,得CO=3，

由勾股定理可得3。=JIT，则八B二亚，

在Rt^BCD中，cosZCBD=—=-^=—,则cos/ABC=-纽，

BDV2177

在△?13c中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2y4B-BCcosZABC=21+12-2xV21x2>/3x^-^^=57,

所以4。=扃.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知一组样本数据X，4，玉的标准差为3,则（）

A.阳，马,看不可能都相等

B.2x}—3,2X2—3»2七一3的标准差也为3

C.为，々，&的平均数有最小值

D.X〉X；的平均数有最小值

【答案】AD

【解析】

【分析】根据样本数据的平均数、方差和标准差的公式逐一分析选项即可求解.

【详解】已知原样本标准差s=3,因此原样本方差s?=9，

对于选项A,若所有数据都相等，方差为0,标准差为0,与已知标准差为3矛盾，因此这三个数不可能

都相等，A正确；

对于选项B,根据方差性质：若新数据为公,十人，则新方差为/•一,新标准差为因此本题中新

标准差为2x3-643,B错误;

对于选项C,设样本平均数为玄，举例；令玉=，-3近，出=G=，十半，可算得方差为

满足标准差为3,

=9

3

此时平均数元=乙f可以无限小，因此平均数没有最小值，C错误;

对干选项D,由方差公式展开：『二；(片+石+*)-/=9,

整理得：%+芍+石=9+m9,当亍=0时取到最小值9,因此平方的平均数存在最小值，D正确.

3

10.已知复数4和z?在复平面内对应点Z1和Z?,且满足|zj=l,Z2=iz3则()

A.|z2|=lB.z；=—z；C.同司=1D.OZ.LOZ

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据复数模长的运算公式判断A正确；然后设Z]=cos6+isine,则Z2=Tin6+icos。，则

Z,(cos<9,sin^),Z?(-sindcos。),然后根据根据复数的运算和向量的模长与坐标运算即可判断CBD的

正误.

【详解】对于A,㈤=|玲|=|i卜㈤=1,所以A正确；

设％=cos0+isin0,则z2=-sin0+icos0,则Z)(cos6,sin9),Z2(-sin6,cos0)

对干B,因为

zi+z2=(cos^+isin^)-+(-sin^+icos^)2=(cos2^-sin2^+isin2^+(sin2^-cos?^-isin2^)=0,所以B正

确；

对于C,因为|在『=|运-西『=西2-2西•西十区)

=l-2(-sin^cos^+sin^cos^)+l=2,所以|Z[Z2]=J5,所以C错误；

对干D,因为OZ|OZ2=(cossin•(-sin^,cos<9)=-sin^cos19+sin^cos0=0,

所以西_1电，所以D正确;

故迄ABD.

11.△ABC的三个内角4£C所对边的长分别为a,Ac,其外接圆半径为对内切圆半径为入r=3满足

R

6rcos/14-Z?cosB+ccosC=—,A/WC的面积为6,则（）

A.sin2A+sin2B+sin2C=-B.a+Z?+c=4

3

C.R=6D.sinA+sin+sinC=—

6

【答案】ABC

【解析】

【分析】A选项，对已知条件acosA+Z?cosB+ccosC="结合正弦定理可说明其正确；

3

B选项，通过内切圆半径和面积法推出。+〃+c=4：

C选项，由A先等价推出sin2A+sin28+sin2C=4sinAsinBsinC,由三角形的面积公式可算出R；

D选项，根据R的取值结合a+〃+c=4和正弦定理可计算.

如图，设内切圆圆心为/,则/到三边的距离均为r=3,于是S\，ABC=Sy.+SvAa，即

1|13

6=-.c-rd—ar+-b-r,则一(o+Z?+c)=6,得至Jia+〃+c=4,B选项正确；

2222

..,八R-a.b八c-1

由acosA+Z?cosB+ccosC=一可得一cosA+—COSBH——cosC二一，

3RRR3

结合正弦定理可得，2sinAcosX+2sincosB+2sinCeosC=-,BPsin2A+sin2B+sin2C=-,

33

A选项正确；

根据诱导公式，sin(A+8)=sin(兀-C)=sinC,sin2(A+8)=sin(2n—2C)=—sin2C,

sin2A+sin28=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(4+B)—(A-B)],按照A+民A-B整体展开得到，

sin2A4-sin2B=2sin(A+B)cos(4-B),而sin2C=-sin2(A+5)=-2sin(4+B)cos(4+B),于是

sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)(cos(A-B)-cos(A+8))

=2sinC(cos(A-B)-cos(A+B))=4sinAsinBsinC,即4sinAsinBsinC=—，故

3

sinAsinBsinC=—,由三角形面积公式,

12

6-S.ABC——^sinC——(27?sinA)(27?sinZ?)sinC-2R2sinAsinZ?sinC—，解得R=6,C选项

226

正确；

由正弦定理结合B选项，«+/?+c=4=2/?(sinA+sinB+sinC)=12(sinA+sinB+sinC),即

sinA+sinB+sinC=-,D选项错误.

3

故选:ABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量。=(1,2),b=(3,A)>［与£+〃共线，则。-5.

【答案】26

【解析】

【分析】先通过向量加法的坐标运算求出a+6坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得x的值，利用

向量减法的坐标运算求出£-5的坐标,即可求出£-〃的模长.

【详解】Z+B=(4,2+X),公与3+五共线，可得2+x=2x4,解得x=6,所以Z—B=(—2,—4),所以

5-^|=7(-2)2+(-4)2=275.

故答案为：2石.

13.当太阳光线与水平面的倾斜角为60时，将一根竹竿斜插在水平地面上，竹竿露出地面的部分长为2

米，则竹竿的影子最长为米.

【答案】生叵

3

【解析】

【分析】作出示意图，设竹竿与地面所成的角为。，影子长为x,依据正弦定理可得

2x

天sin6介()二s-in7(1右20―-a)V再根据正弦函数性质求解即可・

【详解】作出示意图如下图,

'2

60。a

V////////////////

x

2x

设竹竿与地面所成的角为a,影子长为叫依据正弦定理可得嬴不二二02。入）

所以爰？sin（120"。），因为120。・120。，所以要使x最大,

只需sin（120°-。）=1,即120°・。=90°，所以a=3O耐，影子最长为理.

14.在四棱锥尸―A3C。中，底面A8CO是边长为2的菱形，且=X，△QAO为等边三角形，平

3

面B4O_L平面A8CD,E为PC的中点，则三棱锥。一区。石的体积为.

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】取八。中点作PO垂直底面，利用石为PC中点的性质，所求三棱锥？8。£的体积等于三棱锥P-

BCD体积的一半.

【详解】取4力的中点O,连接PO,因为APA力是边长为2的等边三角形，所以尸OJ_A。，

且等边三角形的高PO=^-x2=>/3.

2

又平面平面A3C。，平面QAOc平面A3CD=A。，且POu平面PAD，

所以POJ_平面ABCD,即PO是点P到平面ABCD的高，

TTTT

因为底面ABC。是边长为2的菱形，/BAD=—,因此/8。。=/84。=一，且8C=CQ=2,

33

即ABCO是边长为2的等边三角形，其面积S“/）=立x2?=

所以Vp_BCD=；£BCD.PO=$6X=1.

因为我为2。的中点，所以点P、点C到平面石的距离相等，

因此三棱锥。一8。七与三棱锥C—8OE同底等高，体积相等，即VP-BDE=VC_BDE,

又Vp-BCD=^P-BDE+VjBDE，因此^P-BDE=~Vp.BCD=TX=

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.设复数Z]="2一加一2+（加一2）i,z2=??+（z?-2）i,z3=m+n\（w,wGR）.

（1）若4是纯虚数，Z?为实数，求上31

（2）若加=3,设Z]+i=（〃+抚）（4,Z;WR）,求a+b的值.

【答案】（1）75

⑵工

5

【解析】

【分析】（1）根据复数的概念及复数的模求解即可.

（2）根据第数的乘法及复数相等求解即可.

【小问1详解】

m2-m-2=0

因为看是纯虚数，z,为实数，所以），〃2=0,

-m-2^0

解得m=—1,n=2f所以Zj=-l+2i.

所以其|=J（—I『+22=6

【小问2详解】

若〃?=3,则z=4+i,^-i=4-i-i=4-2i,

所以（a+〃i）•（Z]—i）=（a+历）•（4-2i）=4a+2〃+（4/?-2w）i.

又Zj+i=（a+历）•■一i）,所以4+2i=4a+2Z2+（4Z?-2a）i,

3

a--

4a+2〃=45

所以《…解得

4b-2a=2

16.在平行四边形ABC。中，45=4,AD=3,/D48=二，E是A8的中点,

3

—2——.

BG=~^BC,设A®=a,AD=b•

J

UUL1

（1）用b表示前、EG；

uuu

（2）求助与EG的夹角.

■[一]—.1.2T

【答案】（1）EF=一一a+-b,EG=-a+-b.

2323

⑵叵码卷

【解析】

______UUU

【分析】（1）利用向量的线性运算可求前、EG的表示形式;

UUU

(2)利用向量的夹角公式可求而与EG的夹角•

【小问1详解】

EF=EA+AF=--AB-^-AD=--a-^-b,

2323

____।___9__.12

EG=^B+BG=-AB+-BC=-a+-b.

2323

【小问2详解】

EF=.--a-¥—b=J—a2+—b2-—ab=

=J4+1--X4X3X—=^»

vl23JV493V32

同卜Jd")=新+/+如6=/4+4+-x4x3xl=25/3»

V32

—•1—22—2]——1r1c

EFEG=——a+-b-一a-b=-4+2一一x4:x3x—=—3,

49662

故研同刍当十

cos(==]=-1,而〈配函”[(),对，

\/EF|EG2百X62

2兀

=--

3.

17.某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200

名参赛者的比赛成绩(单位:分)按［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］分成

(2)用样本估诃总体，估“该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数：(每组数据用该区间的中

间值作代表)

(3)已知落在［60,70)内比赛成绩的平均数为645方差是14；落在［60,80)内比赛成绩的平均数是

70.5；落在［70,80)内比赛成绩的方差是4.求落在［70,80)内比赛成绩的平均数与落在［60,80)内比赛成

绩的方差.

【答案】(1)〃=0.015

(2)72.5(3)落在［70,80)内比赛成绩的平均数为74.5,落在［60,80)内比赛成绩的方差为32

【解析】

【分析】(1)利用频率分布直方图小长方形面积和为1即可.

(2)利用频率分布直方图中平均数计算公式即可.

(3)利用分层抽样平均数和方差的计算公式即可.

【小问1详解】

由10X(0.005+^+0.020+0.030+0.020+0.010)=1,得a=0.015.

【小问2详解】

估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为

45x0.05+55x0.15+65x0.20+75x0.30+85x0.20+95x0.10=72.5.

【小问3详解】

0.202

由图可得［60,70）的频率与［60,80）的频率之比为

0.20+0.305

0.303

［70,80）的频率与［60,80）的频率之比为

0.20+0.305

——?3——

设落在r［70,80）内比赛成绩的平均数为修，则70.5=m><64.5+—xx2，解得％=74.5,

落在［60,80）内比赛成绩的方差s'=|x14十（64.5—70.5）1十|x4十（74.5—70.5）1=32,

所以落在［70,80）内比赛成绩的平均数为74.5,落在［60,80）内比赛成绩的方差为32.

18.如图，三棱锥S-A8c满足3_1面48。，S4=A8=AC=4,点尸为梭3c中点，点A在直线

SB,SC，Sb上的投影分别为D,E,H.

（1）证明：58_1面4。”；

3

（2）当二面角。一A”一E的余弦值为一二时，求三楂锥S—43C的体积；

4

（3）在笫（2）问的条件下，是否存在点./.使得点7.到A,H,D,H,〃的距卷均相等，若存住，求出二

面角丁一力"一尸余弦值：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）连接因A尸是等腰三角形△A8C底边8C上的中线，所以AbJL5C.

因为S4_L平面ABC,BCu平面ABC,所以S4_L8C.

因为S4u平面S4£,Abu平面S4尸，且SA与A尸相交于点A,

所以3。1_平面封尸.

因为A〃u平面”产，所以BC_L4”,

因点4在直线S/上的投影是点儿所以A”_LSb.

因为8Cu平面SBC,S/u平面SBC,且8。与S厂相交于点F,

所以A"J_平面S3C.

因为S8u平面S3C,所以A”_LS8,

因点4在直线S3上的投影是点0,所以AO_LS&

因为AHu平面AQ”，A£）u平面AQ”，且AO与A”相交于点A,

所以SB_L平面AO”.

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证明8C_L平面必产，再证A"_L平面SBC,从而可证SB_L

平面ADH.

3

（2）先找出二面角。一A”—石的平面角利用cos/Q"E=-一及线段关系可证明是等

4

边三角形，即可求三棱锥S—A3C的体积.

（3）先找出满足条件的点。且r为A3的中点，设线段。”中点为P，线段A3中点为。，则NPTQ是

二面角丁一。“一厂的平面角，再利用已知条件计算出7P,7Q,P。长度，在△7PQ中，即可计算cos/PTQ.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

同（1）,可证得SCJ_平面AEH,因为EHu平面AEH，所以SCJ_E〃.

由（1）的过程可知，4H_L平面S3C,因为DH,EHu平面SBC,

所以OHJ./V7,EH±AH.

3

所以ZDHE是二面角。一A”一石的平面角，则cosZDHE=

4

3

在四边形中，ZSDH=ZSEH=90°,所以cos/3SC=cos(180。—NOME)=7

3|

所以l—2sin2N8S/=二，解得sinN8SR=l=.

42V2

因为S4_L平面ABC，AB,ACu平面ABC，所以S4J_AB,SAYAC.

因为£4=AB=4C=4,所以S8=SC=4及.

1BF

所以sin/3sb■行=、■,可得8b=2,

272

故BC=4=AC=A5,所以△/WC是等边三角形，其面积为4G.

所以三棱锥S—A3C的体积为W）＜4石x4=穹叵.

【小问3详解】

由（1）的过程可知A〃_L平面SBC,BHu平面SBC,所以AHJ.6"，

所以AFAB,是共斜边4/的三个直角三角形，

当7为48的中点时，TA=TB=TD=TH=TF=-AB=2,

2

即满足条件的T点存在，丁为48的中点.

设线段中点为P,线段4。口点为。，连接7P，TQ,PQ,

△77汨中，72）=777,因此7P_Z）”，

过F作FK〃BD,FK与DH延长线交于K,因为所以FK工DH，

又因为TQ//BD（中位线），所以FK//TQ,

因此，NP7Q是二面角了一。“一厂的平面角,

TT

邀乙PTQ二（p,NBAF=上,

6

贝ijA/=2X/5,SF=2近，AH=ASAF=^-,TQ=6，PQ=-AH=^-（中位线）,

SFV72V7

8

2

由射影定理得，SA=SHSFf则以/=/，

由（1）可知，SB工DH,由勾股定理得，DH=4SH2—Slf=举

不

△7D”中，TD=TH=2,平，TP=yjTD2-DP2=^-

币币

丁产+TQ2-PQ2

在△%Q中，由余弦定理得,COS0=

217PH7Q|

代人化简得，COS0二

二面角7—DH一厂的余弦值为"..

19.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,力为AB边上的高.

,«、4-1-cosAA

(1)求证：--------=tan—；

sinA2

/c、生、十a+b-cAB

(2)求i止：-------=tan—+(an—；

h22

(3)若AABC为锐角三角形，求””的取值范围；

h

(4)设R="二，若对给定的正实数限当a,b,c变化时，△48C始终是锐角三角形，试求满足条

h

件的我的取值范围.

l-fl-2sin2-)

【答案】(1)i°sA=(——J2=tan-

如42sin3cos42

22

(2)

因为/?为AB边上的高，所以‘Mu'absinC,所以力=""sin。,

22c

a+b-c_a+b-c_sinA+sinB-sinC_sinA+sin8—sinAcos6-sin8cosA

所以hc/lsinCsinAsinBsinAsinB

c

sinA(l-cos3)+sin见1-cosA)

sinAsinB

1-cosB\-cosAAB

-------d---------=tan—+tan—

sinBsinA22

（3）（2x/2-2,2）

⑷{1}

【解析】

【分析】(1)直接用二倍角正余弦公式展开分子分母，约分后即可推导出半角正切公式；

(2)借助三角形面积公式表示出高九结合正弦定理边化角，拆分后复用第一问结论完成证明；

(3)设半角正切为变量，由锐角三角形限定变量范围，结合恒等变换与基本不等式求出目标式的取值区间；

(4)按4与1的大小分类讨论，验