26.2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.1二次函数y＝ax2的图象和性质教学目标教学目标1．会使用描点法画出形如y＝ax2(a≠0)的二次函数图象．2．经历观察图象、对比图象的过程，归纳二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征与性质．3．在探究活动中，感受类比研究、由特殊到一般、数形结合的数学思想，提升识图与归纳能力．教学重点教学重点会用描点法画出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象，能够结合图象归纳二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征与性质．教学难点教学难点借助分类讨论，对比a＞0、a＜0两种情况归纳二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质，理解|a|的大小对抛物线开口大小的影响．教学过程教学过程知识回顾1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数．2．画出一次函数y＝x＋1的图象．【答案】（1）列表：x－202y＝x＋1－113（2）描点、连线．3．一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．【过渡】我们研究一次函数时，先画图象，再结合图象讨论函数性质．数形结合是研究函数重要方法．类比这条思路，本节课我们从最简单的二次函数y＝x2入手，逐步研究二次函数y＝ax2的图象与性质．【设计意图】通过回顾一次函数的研究思路（描点画图、结合图象分析性质），类比引出本节课研究内容：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质，渗透类比研究函数的基本方法．新知探究一、探究学习【思考】我们已经掌握一次函数的研究方法，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是什么样？我们先从最简单的二次函数y＝x2入手研究．【师生活动】教师提示：数形结合是研究函数的重要方法．接下来我们先用描点法画出最简单二次函数y＝x2的图象，通过观察图象研究它的特征．【问题】仿照前面的画法，画出二次函数y＝x2的图象．【师生活动】学生回忆描点法作图步骤，独立完成作图；教师巡视，针对描点、连线易错点进行指导．【答案】解：（1）在y＝x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x···－3－2－10123···y＝x2···9410149···（2）描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)．（3）连线：用平滑曲线顺次连接各点，就得到y＝x2的图象．教师提问：1．观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗？学生分小组讨论，并派代表发言．教师分析：从图象可以看出，二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上．这条曲线叫作抛物线y＝x2．教师总结：二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫作抛物线y＝ax2＋bx＋c．教师提问：2．在所画出的抛物线y＝x2上分别取点(2，4)，(3，9)，并找到它们关于y轴的对称点，你发现了什么？学生思考并回答：点(2，4)，(3，9)关于y轴的对称点(－2，4)，(－3，9)也在抛物线y＝x2上．教师追问：在所画出的抛物线y＝x2上任取一点(m，m2)，它关于y轴的对称点(－m，m2)也在抛物线y＝x2上吗？学生分小组讨论，并派代表发言．教师总结：在抛物线y＝x2上任取一点(m，m2)，因为它关于y轴的对称点(－m，m2)也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2关于y轴对称．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y＝x2的顶点，它是抛物线y＝x2的最低点．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．教师提问：3．观察所画出的二次函数y＝x2的图象，在对称轴的左右两侧，抛物线有什么特点？学生思考并回答：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．教师总结：二次函数y＝x2的图象：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．【设计意图】类比一次函数的研究思路，引导学生使用描点法画出最简单二次函数y＝x2的图象；借助分层设问观察图象，认识抛物线、对称轴、顶点等概念，归纳y=x2的图象特征与增减性质，为后续研究一般形式y＝ax2(a≠0)奠定基础，渗透数形结合、由特殊到一般的思想．二、典例精讲【例题】在同一平面直角坐标系中，画出函数，y＝2x2的图象．【师生活动】教师布置任务，学生独立列表、描点、连线画出两个函数图象；完成后小组内对照图象，准备后续对比观察．【答案】解：分别列表，再画出它们的图象．x···－4－3－2－101234······84.520.500.524.58···x···－2－1.5－1－0.500.511.52···y＝2x2···84.520.500.524.58···【设计意图】巩固描点法画二次函数图象；通过对比，y＝2x2与y＝x2的图象，为归纳a＞0时y＝ax2的图象特征、研究系数a对开口宽窄的影响作铺垫．三、探究学习【思考】（1）函数，y＝2x2的图象与函数y＝x2（图中的虚线图形）的图象相比，有什么相同点和不同点？【师生活动】教师提出问题，学生结合自己画出的三条抛物线，独立观察后小组交流，选派代表发言．教师总结：相同点：（1）抛物线的开口向上；（2）对称轴是y轴；（3）顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；（4）当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小．不同点：开口大小不同，a越大，抛物线的开口越小．【思考】（2）利用信息技术工具画二次函数y＝ax2(a＞0)的图象，改变a的值，函数y＝ax2的图象也发生了改变．随着a的变化，二次函数y＝ax2的图象有什么变化？【师生活动】有条件可借助几何画板动态演示；学生结合图象观察、小组交流，尝试归纳a＞0时图象特征．【答案】二次函数y＝ax2(a＞0)的图象与性质如下．开口方向向上开口大小a越大，抛物线的开口越小顶点坐标(0，0)最大（小）值当x＝0时，y最小值＝0对称轴y轴增减性当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小【探究】回顾上面研究二次函数y＝ax2(a＞0)的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y＝ax2(a＜0)的图象和性质吗？（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝－x2，，y＝－2x2的图象，并观察这些抛物线有什么相同点和不同点．【师生活动】教师引导学生类比研究a＞0的探究流程（列表、描点、连线、对比图象特征）；学生独立作图后开展小组讨论，交流发现．教师总结：相同点：（1）抛物线的开口向下；（2）对称轴是y轴；（3）顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；（4）当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．不同点：开口大小不同；在a＜0时，a的值越小，抛物线的开口越小．【探究】（2）当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？【师生活动】结合画出的三条抛物线，学生小组汇总特征，尝试完整归纳a＜0时二次函数y＝ax2的图象与性质．【答案】二次函数y＝ax2(a＜0)的图象与性质如下．开口方向向下开口大小当a＜0时，a越小，抛物线的开口越小顶点坐标(0，0)最大（小）值当x＝0时，y最大值＝0对称轴y轴增减性当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大【归纳】一＝ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y＝ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y＝ax2，|a|越大，抛物线的开口越小．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质函数a的取值开口顶点对称轴增减性最值方向大小y＝ax2(a≠0)a＞0向上|a|越大，抛物线的开口越小坐标原点y轴当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小当x＝0时，y最小值＝0a＜0向下当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大当x＝0时，y最大值＝0【设计意图】通过分类讨论a＞0，a＜0两种情形，完整归纳二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质；依托类比探究、图象观察，让学生感受由特殊到一般和数形结合的思想，建立研究函数的通用思路．课堂小结板书设计二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质一、探究y＝x2的图象与性质二、探究a＞0时，y＝ax2的图象与性质三、类比探究a＜0时，y＝ax2的图象与性质四、归纳：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质课后任务课后任务完成教材第35～36页练习第1，2题．教学反思教学反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________