鲁教版五四学制（2024）九年级上册数学 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试（含答案）

鲁教五四版（2024）九年级上第一章直角三角形的边角关系单元测试题一．选择题（共10小题）1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（）A．sinA=5B．cosA=12C．tanA=12D．tanB=122．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=10，AC=6，则sinB=（）A．4B．3C．3D．43．若sinα=22，则锐角A．30°B．45°C．60°D．75°4．已知∠A是锐角，且满足3tanA-3=0，则∠A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，在△ABC中，AB=25，BC=6，cosB=25A．2B．2C．2D．56．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（）A．AB=4cm,∠A=60°，∠B=30°B．AB=4cm,BC=3cm,∠A=30°C．AB=4cm,BC=6cm,∠B=30°D．AB=4cm,BC=5cm,AC=6cm7．如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则sinA的值是（）A．1B．5C．2D．58．如图，∠ABC=α，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作CD⊥AB于点D，则下列不能表示tanα的是（）A．ADB．ADC．CDD．AC9．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB中点，支柱OC垂直于地面，垂足为点C，已知AB=4m,跷跷板的一端A落到地面时与地面的夹角∠OAC=20°，则支柱OC的高度是（）A．2B．2tan20°mC．2sin20°mD．210．如图，点B在点A北偏东40°方向，点C在点B北偏西50°方向，且BC=10m,则点C到直线AB的距离为（）A．5mB．10mC．15mD．20m二．填空题（共5小题）11．如图，一辆汽车在坡度i=1：2（即tanα=12）的斜坡上沿斜坡前进了10012．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosB=______．13．如图中的每个小正方形的边长均相等，则tan∠BAC的值为______．14．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，∠ACB的正切值是______．15．如图1是一把休闲座椅，底座的长度为1m,椅背与底座的夹角为75°，抽象为平面图形如图2，BC=1m,若∠ACB=30°，则AC的长度为______m.三．解答题（共8小题）16．计算：

（1）sin30°+cos60°-tan45°；

（2）sin245°-3tan30°+|1-tan60°|．17．如图，在△ABC中，AE⊥AB交BC于点E，D为BE的中点，连结AD，AD=4，AE=2EC=2．

（1）作AH⊥BC，垂足为H，求AH的长；

（2）求tan∠EAC的值．18．已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC=8，sinα=35．

求：（1）线段OC的长；

（2）cos∠DOC19．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD长为26米，坡度为1：125，高为DE．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为70°，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．

（1）求斜坡的高DE；

（2）求大楼AB的高度．（参考数据：sin70°≈0.9，20．（2026春•同步）如图，甲船从码头A出发，沿北偏东35°的方向行驶可以直达小岛C．码头B在码头A的正东方向，当乙船与甲船分别从码头B，A同时等速出发，并直接驶向小岛C时，两船可以同时到达．（水流速度忽略不计）

（1）请在图中画出小岛C的位置．

（2）如果AC=150km,那么应该如何用方位角和距离描述小岛C相对于码头B的位置呢？21．缅怀革命先烈，传承红色基因．人民英雄纪念碑是纪念近代革命先烈的标志性建筑（图1）．小辰利用无人机测量纪念碑的高度，具体过程如下：

如图2，EF是水平面，点A是纪念碑顶部一点，AB即为纪念碑的高度，且AB垂直于水平面．无人机在纪念碑上方点C处时，测得纪念碑顶部A处的俯角∠DCA=37°，底部B处的俯角∠DCB=54°，无人机沿水平方向由点C向前飞行105米到达点D处，在D处测得A处的俯角∠CDA=45°，已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据以上数据求纪念碑AB的高度．（结果精确到1米．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．在某海域有A，B，C，D四个小岛，B在A的正东方向，D在A的正北方向，C在B的北偏东30°方向距离20海里处，C在D的南偏东60°方向距离20海里处，且C在A的东北方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，7≈2.65）

（1）求A，B两地之间的距离（结果保留根号）；

（2）渔船甲从B处出发沿着B→A→D方向航行，渔船乙从D处出发沿着D→C方向航行，甲船速度是乙船速度的2倍，当两船相距1523．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，A，B，C，D是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知C位于A的正东方向且位于B的西北方向上，D位于C的北偏东75°方向上且位于B的北偏东30°方向上，B位于A的南偏东60°方向上．经测量C，B两点相距600米．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）．

（1）求AC的长度（结果保留整数）；

（2）小雨从A出发沿A→C→D鲁教五四版（2024）九年级上第一章直角三角形的边角关系单元测试题

(参考答案)一．选择题（共10小题）1、C 2、B 3、B 4、A 5、B 6、B 7、B 8、B 9、C 10、B 二．填空题（共5小题）11、205； 12、45； 13、1； 14、12； 15、1+三．解答题（共8小题）16、解：（1）原式=12+12-1

=1-1

=0；

（2）原式=（22）2-3×33+3-1

=12-3+317、解：（1）∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∵D为BE的中点，AD=4，

∴BE=2AD=8，

由勾股定理得到：AB=BE2−AE2=82−22=215，

∵AH⊥BE，

∴△ABE的面积=12BE•AH=12AB•AE，

∴8×AH=215×2，

∴AH=152；

（2）过点E作EF⊥AE，交AC于点F，

∵AB⊥AE，∴EF∥AB，

∴△CEF∽△CBA，

∴EFAB=ECBC，

∵BE=8，EC=1，18、解：（1）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，

∴sinα=ABAC=35，

设AB=3x,则AC=5x,

∵AB2+BC2=AC2，

即（3x）2+82=（5x）2，

解得：x1=2，x2=-2（不合题意舍去），

∴AC=10，

∵点O是AC的中点，

∴OC=12AC=12×10=5；

（2）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，

∴OB=OC=OA=12AC=5，

设OD=y,则BD=OB+OD=5+y,

∵CD⊥OB，

∴CD2=BC2-BD2=OC2-OD2，

∴82-（5+y）2=52-y2，

解得：y=75，

∴cos∠DOC=19、解：（1）∵斜坡CD坡度为1：125，即DE：CE=5：12，

设DE=5x米，则CE=12x米，

∵CD=26米，

在Rt△CDE中，DE2+CE2=CD2，即（5x）2+（12x）2=262，

解得：x=-2（舍）或x=2，

∴DE=10米，

答：斜坡的高DE为10米；

（2）如图，过点D作DF⊥AB于F，得矩形AFDE，

∴AF=DE=10米，

∵∠BDF=45°，

∴设BF=DF=a米，

由（1）知：CE=24米，

则AC=AE-CE=DF-CE=（a-24）米，AB=AF+BF=（10+a）米，

在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=ABAC，

∴10+aa−24=2.7，

解得：a=44，

∴AB=BF+AF=10+44=54（米），

答：大楼的高AB为20、解：（1）如图1所示：

（2）如图2，连接BC，过点B作BD⊥AB，

∵甲船与乙船分别从码头A，B同时等速向小岛C出发，同时到达，

∴BC=AC=150km,

∴∠CAB=∠CBA，

∴∠DBC=35°，

∴小岛C在码头B的北偏西35°方向，距离码头B为150km的位置．21、解：延长BA交CD于点M，由题意知BM⊥CD，

设DM=x米，则CM=（105-x）米，

∵∠CDA=45°，

∴AM=DM=x米，

∵∠DCA=37°，

∴tan37°=x105−x，

∴x105−x≈0.75，

解得，x≈45（米），

∴CM≈105-45=60（米），AM≈45（米），

∵∠DCB=54°，

∴tan54°=BMCM，

∴AB+4560≈1.38，

解得，AB≈3822、解：（1）过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，

∴∠CEA=∠EAB=∠CFA=90°，

∴四边形EAFC是矩形，

∵∠D=∠CBF=60°，∠CED=∠CFB=90°，CD=BC=20海里，

∴△CDE≌△CBF（AAS），

∴CE=CF，

∴四边形EAFC是正方形，

∴AF=CF=BC•sin60°=103（海里），BF=12BC=10（海里），

∴AB=AF-BF=（103-10）海里；

（2）如图，当甲船到达点M，乙船到达点G时，两船相距15海里，

即MG=15海里，

∵甲船速度是乙船速度的2倍，

∴设DG=x海里，AM+AB=2x海里，

过G作GH⊥AD于H，

∴DH=12DG=12x海里，GH=32x海里，

由（1）知AD=（103+10）海里，

∴HM=103+10-12x-[2x-（103-10）]=（203-52x）海里，

∵HG2+HM2=GM2，

∴（32x）2+（203-52x）2=152，

解得x=53≈8.7或x=6523、解：（1）延长AC交BH于H，

由题意AH⊥BH，∠EAB=60°，∠HBD=30°，∠FCD=75°，∠BCH=45°，

∵∠BCH=45°，∠BHC=90°，BC=600米，

∴BH=BC×sin45°=600×22=3002米，

∴CH=BH=3002米，

在Rt△BHA中，∵∠EAB=60°，

∴∠BAH=90°-60°=30°，

∴AH=BHtan30°=300233=3006米，

∴AC=AH-CH=3006-3002