2026年浙江省人教版高三数学第4章函数性质综合测试题

2026年浙江省人教版高三数学第4章函数性质综合测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增且无极值B.单调递减且无极值C.单调递增且有极大值D.单调递减且有极小值解析：f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当-1<x<0时，f′(x)>0，函数单调递增；当x=0时，f′(x)=0，为极大值点。故选C。2.若函数f(x)=x³-3ax+2在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)=3x²-3a，由题意f′(1)=0，解得3-3a=0，a=1。验证f′(x)在x=1两侧异号，确为极值点。故选A。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，当x=-2时，f(x)取最小值3。故选C。4.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则f(2)的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：f′(x)=2x+2a，由题意f′(1)=0，解得a=-1，f(x)=(x-1)²+2≥2，f(2)=4。故选B。5.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的取值范围是（）A.a>1B.a=1C.a<1D.a=0解析：f′(x)=e^x-a，由题意f′(0)=1-a=0，a=1；验证f′(x)在x=0两侧异号，确为极值点。故选B。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为（）A.3，-1B.3，-2C.2，-2D.2，-1解析：f′(x)=3x²-6x+2=0，解得x=1±√3/3，f(-1)=-1，f(1-√3/3)=4√3/9-2，f(1+√3/3)=4√3/9-2，f(3)=2，最大值3，最小值-2。故选B。7.若函数f(x)=x³+px+q在x=1和x=-1处取得相等的极值，则p+q的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：f′(x)=3x²+p，由题意f′(1)=f′(-1)=0，解得p=-6，f(1)=-4+q，f(-1)=-4+q，q=4，p+q=-2。故选C。8.函数f(x)=xlnx在区间(0,1)上的最大值是（）A.0B.-1C.1D.-ln2解析：f′(x)=lnx+1，由题意f′(x)=0，x=1/e，f(1/e)=-1/e≈-0.367，f(0)=0，最大值为0。故选A。9.若函数f(x)=x³-3x²+2x+1在区间[a,a+1]上的最大值与最小值之差为1，则a的取值范围是（）A.(-1,0)B.(0,1)C.(-2,-1)D.(1,2)解析：f′(x)=3x²-6x+2=0，x=1±√3/3，f(1-√3/3)=4√3/9-1，f(1+√3/3)=4√3/9-1，f(1)=1，f(0)=1，f(2)=3，最大值3，最小值-1，需满足f(x)在[a,a+1]上取到3和-1，解得a∈(1,2)。故选D。10.函数f(x)=|x³-2x|在区间[-2,2]上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：f(x)=0⇒x³-2x=0⇒x(x²-2)=0⇒x=0，±√2，f(√2)=0，f(-√2)=0，共4个零点。故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的极小值点是_________。解：f′(x)=3x²-3=0⇒x=±1，f(-1)=1+3+1=5，f(1)=-1+3+1=3，极小值点为1。2.函数f(x)=x²lnx在x=1处的切线方程是_________。解：f′(x)=2xlnx+x，f′(1)=1，f(1)=0，切线方程y=x-1。3.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极大值，则a的取值范围是_________。解：f′(x)=e^x-a，f′(0)=1-a=0⇒a=1，f′(x)在x=0左侧<0，右侧>0，a>1。4.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值是_________。解：f′(x)=3x²-6x+2=0⇒x=1±√3/3，f(-1)=-1，f(1-√3/3)=4√3/9-2，f(1+√3/3)=4√3/9-2，f(3)=2，最大值2。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点是_________。解：分段函数在x=-2处连续，且为拐点，f(-2)=3，为最小值点。6.若函数f(x)=x³+px+q在x=1处取得极小值，且f(1)=-1，则p+q的值为_________。解：f′(x)=3x²+p，f′(1)=3+p=0⇒p=-3，f(1)=1-p+q=-1⇒q=-3，p+q=-6。7.函数f(x)=xlnx在x=1/e处取得_________（极大值/极小值）。解：f′(x)=lnx+1，f′(1/e)=-1+1=0，f′(x)在x=1/e左侧>0，右侧<0，为极大值。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,2]上的最小值是_________。解：f′(x)=3x²-6x+2=0⇒x=1±√3/3，f(0)=0，f(1-√3/3)=4√3/9-2，f(1+√3/3)=4√3/9-2，f(2)=2，最小值4√3/9-2。9.函数f(x)=|x³-2x|在x=0处的导数f′(0)的值为_________。解：f(x)=|x³-2x|，f′(0)=lim(x→0)[(x³-2x)/x]=lim(x→0)(x²-2)=-2。10.若函数f(x)=x³-px+q在x=1和x=-1处取得相等的极值，则q的值为_________。解：f′(x)=3x²-p，f′(1)=f′(-1)=0⇒p=3，f(1)=-p+q，f(-1)=-p+q，q=3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极大值。（×）解：f′(x)=3x²-3=0⇒x=±1，f(-1)=5，f(1)=3，x=1为极小值点。2.函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值，则p-q=1。（√）解：f′(x)=3x²-p，f′(1)=3-p=0⇒p=3，f(1)=-p+q⇒-3+q=0⇒q=3，p-q=0。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1处取得最小值。（√）解：分段函数在x=-1处为拐点，f(-1)=3，为最小值。4.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a=1。（√）解：f′(x)=e^x-a，f′(0)=1-a=0⇒a=1。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值是3。（√）解：f(3)=2，f(-1)=-1，f(1)=3，最大值3。6.函数f(x)=|x³-2x|在x=0处取得极值。（√）解：f(x)=|x³-2x|，f′(0)=0，f′(x)在x=0两侧异号，为极值点。7.函数f(x)=x³-px+q在x=1和x=-1处取得相等的极值，则p=2q。（×）解：f′(x)=3x²-p，f′(1)=f′(-1)=0⇒p=3，f(1)=-p+q，f(-1)=-p+q⇒q=3/2，p≠2q。8.函数f(x)=xlnx在x=1处取得极小值。（√）解：f′(x)=lnx+1，f′(1)=0，f′(x)在x=1左侧<0，右侧>0，为极小值。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=0处取得最小值。（√）解：f(0)=3，f(-1)=3，f(1)=3，最小值3。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,2]上的最小值是-1。（×）解：f(0)=0，f(1)=0，f(2)=2，最小值0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x的极值点。解：f′(x)=3x²-6x+2=0⇒x=1±√3/3，f′(x)在x=1-√3/3左侧>0，右侧<0，为极大值点；在x=1+√3/3左侧<0，右侧>0，为极小值点。2.求函数f(x)=x²lnx在x=1处的切线方程。解：f′(x)=2xlnx+x，f′(1)=1，f(1)=0，切线方程y=x-1。3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。解：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，最小值3。4.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值。解：f′(x)=3x²-6x+2=0⇒x=1±√3/3，f(-1)=-1，f(1-√3/3)=4√3/9-2，f(1+√3/3)=4√3/9-2，f(3)=2，最大值3，最小值4√3/9-2。5.求函数f(x)=|x³-2x|在x=0处的导数。解：f(x)=|x³-2x|，f′(0)=lim(x→0)[(x³-2x)/x]=lim(x→0)(x²-2)=-2。6.求函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(1)=-1，求p+q的值。解：f′(x)=3x²-p，f′(1)=3-p=0⇒p=3，f(1)=-p+q=-1⇒q=2，p+q=5。7.求函数f(x)=xlnx在x=1/e处的极值。解：f′(x)=lnx+1，f′(1/e)=-1+1=0，f′(x)在x=1/e左侧>0，右侧<0，为极大值。8.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,2]上的最小值。解：f′(x)=3x²-6x+2=0⇒x=1±√3/3，f(0)=0，f(1-√3/3)=4√3/9-2，f(1+√3/3)=4√3/9-2，f(2)=2，最小值4√3/9-2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值。解：f′(x)=3x²-6x+2=0⇒x=1±√3/3，f(-1)=-1，f(1-√3/3)=4√3/9-2，f(1+√3/3)=4√3/9-2，f(3)=2，最大值3，最小值4√3/9-2。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。解：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，最小值3。3.求函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极小值，且f(1)=-1，求p+q的值。解：f′(x)=3x²-p，f′(1)=3-p=0⇒p=3，f(1)=-p+q=-1⇒q=2，p+q=5。4.求函数f(x)=xlnx在x=1/e处的极值。解：f′(x)=lnx+1，f′(1/e)=-1+1=0，f′(x)在x=1/e左侧>0，右侧<0，为极大值。5.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,2]上的最小值。解：f′(x)=3x²-6x+2=0⇒x=1±√3/3，f(0)=0，f(1-√3/3)=4√3/9-2，f(1+√3/3)=4√3/9-2，f(2)=2，最小值4√3/9-2。6.求函数f(x)=|x³-2x|在x=0处的导数。解：f(x)=|x³-2x|，f′(0)=lim(x→0)[(x³-2x)/x]=lim(x→0)(x²-2)=-2。7.求函数f(x)=x³-3x²+2x的极值点。解：f′(x)=3x²-6x+2=0⇒x=1±√3/3，f′(x)在x=1-√3/3左侧>0，右侧<0，为极大值点；在x=1+√3/3左侧<0，右侧>0，为极小值点。8.求函数f(x)=x²lnx在x=1处的切线方程。解：f′(x)=2xlnx+x，f′(1)=1，f(1)=0，切线方程y=x-1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.C4.B5.B6.B7.C8.A9.D10.C二、填空题1.12.y=x-13.a>14.25.x=-26.-67.极大值8.4√3/9-29.-210.3三