2026年浙江省杭州市上城区中考二模考试数学试题附答案

中考二模考试数学试题一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．小明准备去东北雪乡旅游，出发前了解东北城市的当日最高温度如右表，其中温度最高的城市是（）城市沈阳长春哈尔滨大连温度A．沈阳 B．长春 C．哈尔滨 D．大连2．如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，它的俯视图是（）A． B． C． D．3．某市人工智能领域融资总额高达亿元，覆盖大模型、具身智能、算力、行业应用等全产业链．亿用科学记数法可以表示为（）A． B．C． D．4．如图，将纸带沿折叠，下列能判定纸带的两条边线m，n互相平行的是（）A． B． C． D．5．当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，ab的最大值是()A．12 B．10 C．8 D．66．如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E．那么的度数为（）A． B． C． D．7．设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是()A． B．C． D．8．某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了．因此，按照原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟．如果设原收费标准下每分钟收费x元，则根据题意可列出方程（）A． B．C． D．9．如图，中，，．利用直尺和圆规作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；③分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，两点，连接，交于点，交于点，连接，．下列判断错误的是（）A．B．C．若，则四边形是菱形D．10．已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（）A．若时，，则B．若时，，则C．若时，，则D．若时，，则二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．11．已知是方程的一个解，那么m的值是．12．分解因式：=13．如图，是的内接三角形，，则的度数是．14．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为．15．假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为．16．如图，在正方形中，，点为边上一点，且，连接．若点为点关于的对称点，连接并延长交延长线于点，连接，则．三、解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：18．解不等式组：19．随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数（x次）分为四组（A：；B：；C：；D：），根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题（1）本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中．（2）求D组的人数，并补全条形统计图．（3）若该校共有1200名学生，估计全校每周使用学习20次及以上的学生约有多少人．20．矩形的对角线、相交于点O，点E为边一点，交于点F，，连接．（1）求证：为等腰三角形．（2）若F是中点，，，求的长．21．解答以下问题（1）观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征：①②③④．（2）思考探究：设n为正整数，①第n个算式为．②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方．小明的部分证明过程如下：证明：原式设，则原式小明证明过程中用了思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整．（3）拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于，求四个正整数中最小的整数．22．定义：若一个三角形存在两个内角之差为，则称这个三角形为“差直角三角形”．例如，在中，，，，满足，所以是“差直角三角形”．（1）若是差直角三角形，，则的值为．（2）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是差直角三角形．（3）如图2，在中，，，，点D是边上一动点（），若是差直角三角形，求的长度．23．已知二次函数（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点，且过点．（1）求a与b的关系式．（2）若，当时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值．（3）在（2）的条件下，若点，点两点在该函数图象上，且，求t的取值范围．24．如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）．（1）若，求．（2）延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H．①若，直径，求的长．②求证：．

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：∵|-10|=10，|-12|=12，|-15|=15，|-8|=8，而8＜10＜12＜15，

∴∴是四个温度中的最高温度，对应城市为大连．

故答案为：D.

【分析】由几个负数，绝对值大的反而小进行比较找出四个温度中的最高温度，进而找出该温度对应的城市即可.2．【答案】A【解析】解答】解：∵从上面看该几何体，其最大轮廓是大立方体的顶面，为一个大正方形又∵挖去的小立方体位于大立方体的右前上方∴从上往下看时，大正方形的右下角部分露出了下一层的水平面∵该露出的面是可见的∴其轮廓线应画为实线∴俯视图是一个大正方形，且右下角有一个小正方形.故答案为：A．

【分析】俯视图是从物体上面看所得到的平面图形，注意看得见的轮廓线画实线，看不见但又存在的轮廓线画虚线，据此判断得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：亿．

故答案为：C.

【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：观察图形可得，与是直线、被直线所截得到的内错角，

当时，根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，可以推出，因此A选项的结论正确；

与、与都属于同旁内角，只有满足两角互补的条件才能判定两直线平行，仅相等无法推出平行，因此B、D选项错误；

与是邻补角，二者和为是固定性质，这个条件无法用来判定直线和平行，因此C选项错误.

故答案为：A.

【分析】根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，逐一判断即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵这组数据共5个，从小到大排列后中位数是第3个数，且中位数为5，而已知数据中有两个6大于5，∴排列后第3个数是5，可得，∵原数据中6已经出现2次，且这组数据的唯一众数是6，∴其他数的出现次数都必须小于2，若中有1个是5，则5出现2次，和6次数相同，众数不唯一；若，则这个数出现2次，和6次数相同，众数不唯一；若都是5，则5出现3次，众数为5，均不符合要求，∴，为不同自然数，要使最大，取满足条件的最大，得，，∴．故答案为：A.【分析】根据中位数和众数的定义得到的取值范围，再找出满足条件的使取最大值即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：∵在中，，，∴，∵将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，∴，．

故答案为：B.

【分析】首先根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据旋转的性质得出旋转角∠BAD=110°，最后利用角的构成，根据∠CAD=∠BAD-∠BAC可算出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵，等式两边同乘得，验证选项C：右边，将代入得左边，因此C正确；验证选项D：右边，因此D错误；对于A，B：仅根据无法确定a，b，c的大小，例如，当时，，满足，当时，，满足，因此A，B都不一定正确．故答案为：C．

【分析】首先在已知等式两边同时乘以3消去分母得2a+c=3b，将C、D选项的右边利用去括号法则分别展开后，将3b=2a+c代入，按整式加法法则计算后看与左边是否相等，若相等就正确，否则就不正确；利用举反例的方法说明无法确定a、b、c的大小关系，从而可判断A、B选项.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵设原收费标准下每分钟收费元，每分钟费用降低了，∴新收费标准下每分钟收费为元，原收费标准下元话费的通话时间为分钟，新收费标准下元话费的通话时间为分钟，∵新收费标准下可多通话分钟，即新通话时间原通话时间，∴可得方程．

故答案为：B.

【分析】先根据原收费标准表示出新的每分钟收费，再根据总费用除以每分钟收取的费用等于通话时间分别求出原收费标准下6元的通话时间和新收费标准下6元的通话时间，根据新通话时间比原通话时间多10分钟列出方程即可．9．【答案】D【解析】【解答】解：由①、②可知，是的平分线，，，，故A选项正确；由③可知，是的垂直平分线，，故B选项正确；如下图所示，连接AH，

，，是的垂直平分线，，，，，，，四边形AHCP是平行四边形，又，四边形AHCP是菱形，

∴AP=AH，

∵AP∥BC，

∴∠APB=∠HBP=∠ABP=30°，

∴AP=AB=AH，

∴△ABH是等边三角形，

∴BE=AB=AP

∴四边形ABHP是平行四边形，

又∵AB=AP，

∴平行四边形ABHP是菱形，故C选项正确；，，不能说明，不成立，故D选项错误．

故答案为：D.

【分析】根据尺规作图过程①②可知BF是∠ABC的角平分线，由角平分线的定义得∠ABP=∠ABC=30°，据此可判断A选项；

根据尺规作图过程③可得DH是线段AC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PA=PC，据此可判断B选项；

连接AH，由二直线平行，内错角相等得∠PAC=∠HCA，由线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得出PA=PC，HA=HC，由等边对等角得出∠PAC=∠PCA，∠HAC=∠HCA，则∠HAC=∠PCA，由内错角相等，两直线平行得出AH∥PC，从而由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出四边形AHCP是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形AHCP是菱形，由菱形四边相等得出AP=AH，由角平分线的定义及平行线性质推出∠APB=∠HBP=∠ABP=30°，由等角对等边得出AP=AB=AH，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABH是等边三角形，则BE=AB=AP，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形ABHP是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形ABHP是菱形，据此可判断C选项；

由前面知∠PAC=∠PCA，结合角的构成得出∠BAP=∠BAC+∠PAC=∠BAC+∠PCA，但不能说明∠BAC=90°，从而可判断D选项.10．【答案】C【解析】【解答】解：∵点在直线上，点在直线上∴，若，，可得不等式组：∵，不等式两边同除以，不等号方向不变∴化简得，即选项A，B均不完整，因此A，B错误．若，，可得不等式组：∵，不等式两边同除以，不等号方向改变∴化简得：解得：∴，符合选项C，因此C正确，D错误．

故答案为：C.

【分析】先根据直线上点的坐标特点求出和的化简表达式，再分和两种情况，根据给出的不等关系得到不等式组解不等式组，得到m的取值范围，进而即可逐项判断得出答案.11．【答案】-2【解析】【解答】解：将代入方程，得，解得．

故答案为：-2.

【分析】使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，据此将x=-2与y=3代入2x-my=2得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．12．【答案】x(x+2)(x-2)【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。

故答案为：x(x+2)(x-2)。

【分析】首先提出公因式x，括号内的式子利用公式法，利用平方差公式进行因式分解。13．【答案】【解析】【解答】解：为的半径，．在中，与分别是所对的圆周角和圆心角，.

故答案为：40°.

【分析】由同圆半径相等得出OA=OB，由等边对等角得出∠OBA=∠OAB=50°，由三角形的内角和定理求出∠AOB=80°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB的度数.14．【答案】【解析】【解答】解：由图可知数字1的圆心角为，即随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同，画树状图如下：可知共9种情况，其中两次数字相同的情况有3种，即两次数字相同的概率为．

故答案为：.

【分析】先根据数字1、2、3所在扇形圆心角度数相等判断出随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同；此题是抽取放回类型，根据题意画树状图，由树状图可知可知共9种情况，其中两次数字相同的情况有3种，最后根据概率公式计算即可．15．【答案】【解析】【解答】解：由题意得，已知圆锥的底面半径，高，∴圆锥的底面积：，∴圆锥体积：，圆锥体积不变，，整理得，是关于的反比例函数，比例系数，当时，随的增大而减小，∵，当时，取得最大值，为，当时，取得最大值，为，此底面积的取值范围为．

故答案为：3＜S≤6(cm2).

【分析】先根据圆锥体积公式，先求出圆锥的体积；由于圆锥体积不变，故圆锥底面积S是关于高h的反比例函数，进而得出底面积S关于高h的反比例函数表达式为，再结合反比例函数的增减性及h的取值范围，求出底面积S的最大值与最小值，即可得出底面积的取值范围的取值范围．16．【答案】【解析】【解答】解：延长交于点，

点为点关于的对称点，，，在正方形中，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，即，，，故答案为：．【分析】延长BE交DF于点H，根据轴对称的性质可得DG=2DH，∠DHE=90°；由正方形的四边相等及CE=2DE，得到DE=1，CE=2，在Rt△BCE中，利用勾股定理算出BE的长；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DHE∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例求出DH的长，进而得到DG的长；再由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DHE∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例求出DF的长，进而由线段和差求出FG的长.17．【答案】解：原式【解析】【分析】先运算二次根式的乘法和根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式解答即可.18．【答案】解：，解不等式①可得：；解不等式②可得：；所以该不等式组的解集为：．【解析】【分析】先根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.19．【答案】（1），（2）解：D组的人数为人，

补全条形统计图如下：（3）解：（人），

答：估计全校每周使用学习20次及以上的学生约有480人.【解析】【解答】（1）解：本次抽取的学生人数为人；，即；

故答案为：50，40；

【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用C组的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的学生人数，用B组人数除以本次抽取的学生人数，再乘以100％即可求出m的值；（2）根据各组人数之和等于本次调查的总人数求出D组的人数，从而补全条形统计图即可；（3）用该学校学生的总人数乘以样本中每周使用AI学习20次及以上的学生所占百分比，即可估计全校每周使用AI学习20次及以上的学生人数.（1）解：本次抽取的学生人数为人；，即；（2）解：D组的人数为人，补全条形统计图如下：（3）解：（人）．20．【答案】（1）证明：在矩形中，．

∵，，

∴．

∴，

∴．

∵，

∴．

∴为等腰三角形．（2）解：在矩形中，，，，

∴由勾股定理得．

∵为等腰三角形中，矩形中，，

∴．

∵，

∴．

∵是中点，

∴．

∴．

∴．【解析】【分析】（1）由矩形对角线相等且互相平分得OA=OD，由等边对等角得∠DAO=∠ADO，由三角形外角相等得∠DOC=2∠DAO，结合已知可得∠AFD=∠DOC，从而根据等腰三角形的判定方法即可得出结论；（2）由勾股定理得CD=3，由等腰三角形两腰相等及矩形对角线互相平分得OB=DF=OD，由中点定义得出OF=CF，由邻补角及等角补角相等得∠BOF=∠DFC，从而用“SAS”证明△BOF≌△DFC，根据全等三角形的对应边相等得出BF=DF=3.（1）证明：在矩形中，．∵，，∴．∴，∴．∵，∴．∴为等腰三角形．（2）在矩形中，，，，由勾股定理得．∵为等腰三角形中，矩形中，，∴．∵，∴．∵是中点，∴．∴．∴．21．【答案】（1）（2）①

②换元

证明：原式

设，则原式，

将代入上式得，

∴；（3）解：根据题意得，

∴，

解得或（舍去），

∴四个正整数中最小的整数为9．【解析】【解答】（1）解：∵①②③∴④；

故答案为：292；（2）解：①；

故答案为：；②小明证明过程中用了换元（整体）思想方法，

故答案为：换元；

【分析】（1）观察前几个等式发现左边都是四个连续正整数乘积与1的和，右边是一个正整数的平方，其中这个正整数是左边最小正整数与最大正整数乘积与1的和，据此求解即可；（2）①根据（1）发现的规律即可得出答案；②先利用乘法交换律及结合律将式子变形为[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1，然后分别利用单项式乘以多项式及多项式乘以多项式法则展开小括号，并合并中括号内的同类项得(n2+3n)(n2+3n+2)+1，令M=n2+3n，原式变形为M2+2M+1，再利用完全平方公式分解因式后将M=n2+3n代回即可得出结论；（3）根据题意，列出一元二次方程n2+3n+1=109，然后利用因式分解法求解并根据n为正整数检验即可得出答案.（1）解：；（2）解：①；②小明证明过程中用了换元（整体）思想方法，证明：原式设，则原式，将代入上式得，∴；（3）解：根据题意得，∴，解得或（舍去），∴四个正整数中最小的整数为9．22．【答案】（1）（2）证明：是的平分线，，，，即是差直角三角形．（3）解：如图，作于，过点作交于，

，，

在中，，

，

解得，

在中，由勾股定理得；

①当时，，

，

中，

解得，

②当时，，

中，

设，，

∵

∴

解得：

，

由勾股定理得，

综上所述，或【解析】【解答】（1）解：是差直角三角形，且，

当时，，；

当∠A-∠C=90°时，∠C=30°，∠B=180°-∠A-∠C=30°，；

故答案为：；

【分析】（1）分类讨论：根据新定义当∠A-∠B=90°或∠A-∠C=90°时，分别求得，再由特殊锐角三角函数值求∠B的正弦函数值；（2）根据角平分线的定义可得，根据三角形外角性质求出∠BDA=90°+∠CAD，进而可得，从而根据新定义即可得出结论；（3）过点A作于，过点作交于，由等腰三角形的三线合一得出BE=BC=4，由正切函数定义结合∠B的正切函数值可求出AE=3，在Rt△ABE中，利用勾股定理算出AB=5；分两种情况讨论，①当时，根据角的构成及新定义可推出∠ADF=∠ABD，再结合公共角∠BAD=∠DAB，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADF∽△ABD，由相似三角形对应边成比例并结合∠B的正切函数值可求出AD；②当时，根据角的构成及新定义可推出∠ADF=∠DAF，由等角对等边得FD=AF，在Rt△BDF中，由正切函数的定义及∠B的正切函数值可设DF=3a，BD=4a，利用勾股定理得BF=5a，由线段和差得出BF=5-3a，从而可列出方程，求解得出a的值，从而可得BD、DE的长，最后在Rt△ADE中，再利用勾股定理算出AD，综上可得答案.（1）解：∵是差直角三角形，，∴，∴；（2）略（3）解：如图，作于，过点作交于，，，在中，，，解得，在中，由勾股定理得；①当时，，，中，解得，②当时，，中，设，，∵∴解得：，由勾股定理得，综上所述，或23．【答案】（1）解：∵二次函数过点和，

∴将代入函数得；

将和代入函数得，

整理得，即；（2）解：由（1）可知：，

∴抛物线的对称轴为直线，

∵，

∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，

∵，

∴当时，取得最大值，

当时，，值最小，

由题意，，

∴；

（3）解：当时，函数解析式为：，

∴当时，解得，，

点，在函数图象上，对称轴为直线，抛物线开口向下，，

∴且且，

解得.【解析】【分析】（1）将点C(0，-1)代入y=ax2+bx+c可得c=-1，再将c=-1及(2，-1)同时代入y