2026年浙江省人教版高中数学选修第2册第4章立体几何习题

2026年浙江省人教版高中数学选修第2册第4章立体几何习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离为（）A．√15/3B．2√3C．√14D．1/√15解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面方程系数得d=|1×1+2×2+3×3-1|/√6=√15/√6=√15/3，故选A。2.已知直线l：x=2与平面α：x+y+z=1相交，则直线l在平面α上的投影方程为（）A．x=2，y+z=1B．x=2，y-z=1C．x=2，y+z=-1D．x=2，y-z=-1解析：直线l与平面α的法向量（1，1，1）垂直，投影方向为（0，1，1）或（0，-1，-1），代入平面方程得投影方程为x=2，y+z=1或y-z=1，结合选项选A。3.若直线l₁：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，则点P到平面α：x+y+z=0的距离为（）解析：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3，故选B。4.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为（）A．1/√3B．√2/2C．1/√6D．√3/2解析：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6=√2/√6，故选C。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为（）A．1B．√2/2C．√3/2D．√2解析：点A到平面BCC₁B₁的距离即AA₁的一半，为√2/2，故选B。6.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，则直线l到平面α的距离为（）A．1B．√2/2C．√3/2D．√6/2解析：距离为平面法向量（1，1，1）到直线x=1的距离，即|1×1+1×0+1×0-1|/√3=√3/3，故选C。7.若直线l₁：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，则点P到平面α：x+y+z=0的距离为（）解析：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3，故选B。8.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为（）A．1/√3B．√2/2C．1/√6D．√3/2解析：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6=√2/√6，故选C。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为（）A．1B．√2/2C．√3/2D．√2解析：点A到平面BCC₁B₁的距离即AA₁的一半，为√2/2，故选B。10.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，则直线l到平面α的距离为（）A．1B．√2/2C．√3/2D．√6/2解析：距离为平面法向量（1，1，1）到直线x=1的距离，即|1×1+1×0+1×0-1|/√3=√3/3，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，则点P到平面α：x+y+z=0的距离为________。解：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3。2.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为________。解：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6=√2/√6。3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为________。解：点A到平面BCC₁B₁的距离即AA₁的一半，为√2/2。4.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，则直线l到平面α的距离为________。解：距离为平面法向量（1，1，1）到直线x=1的距离，即|1×1+1×0+1×0-1|/√3=√3/3。5.若直线l₁：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，则点P到平面α：x+y+z=0的距离为________。解：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3。6.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为________。解：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6=√2/√6。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为________。解：点A到平面BCC₁B₁的距离即AA₁的一半，为√2/2。8.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，则直线l到平面α的距离为________。解：距离为平面法向量（1，1，1）到直线x=1的距离，即|1×1+1×0+1×0-1|/√3=√3/3。9.若直线l₁：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，则点P到平面α：x+y+z=0的距离为________。解：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3。10.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为________。解：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6=√2/√6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，则点P到平面α：x+y+z=0的距离为√3/3。（√）解：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3。2.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为√2/√6。（√）解：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6。3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为√2/2。（√）解：点A到平面BCC₁B₁的距离即AA₁的一半，为√2/2。4.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，则直线l到平面α的距离为√3/3。（√）解：距离为平面法向量（1，1，1）到直线x=1的距离，即|1×1+1×0+1×0-1|/√3=√3/3。5.若直线l₁：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，则点P到平面α：x+y+z=0的距离为√3/3。（√）解：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3。6.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为√2/√6。（√）解：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为√2/2。（√）解：点A到平面BCC₁B₁的距离即AA₁的一半，为√2/2。8.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，则直线l到平面α的距离为√3/3。（√）解：距离为平面法向量（1，1，1）到直线x=1的距离，即|1×1+1×0+1×0-1|/√3=√3/3。9.若直线l₁：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，则点P到平面α：x+y+z=0的距离为√3/3。（√）解：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3。10.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为√2/√6。（√）解：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述空间直线与平面的位置关系有哪些？解：空间直线与平面的位置关系有三种：相交、平行、直线在平面内。相交时直线与平面有唯一公共点；平行时直线与平面无公共点；直线在平面内时直线与平面有无数公共点。2.如何求空间直线到平面的距离？解：若直线方程为x=常数，平面方程为Ax+By+Cz+D=0，则距离为|D|/√(A²+B²+C²)。若直线方程为一般式，需转化为参数式或截距式后求解。3.简述空间两个平面的位置关系有哪些？解：空间两个平面的位置关系有三种：相交、平行、重合。相交时两平面有公共直线；平行时两平面无公共点；重合时两平面有无数公共点。4.如何求空间两个平面的夹角？解：设两平面法向量分别为（A₁，B₁，C₁）和（A₂，B₂，C₂），则夹角θ的余弦值为|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)。5.简述空间点到平面的距离公式。解：点P（x₀，y₀，z₀）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)。6.如何判断空间直线与平面是否垂直？解：若直线方向向量为（a，b，c），平面法向量为（A，B，C），则直线与平面垂直的充要条件是a/A=b/B=c/C。7.简述空间直线与直线之间的位置关系。解：空间直线与直线之间的位置关系有四种：相交、平行、异面、重合。相交时两直线有唯一公共点；平行时两直线无公共点且方向向量共线；异面时两直线无公共点且方向向量不共线；重合时两直线有无数公共点且方向向量共线。8.如何求空间直线与直线的距离？解：若两直线平行，距离为其中一条直线到另一直线的距离；若两直线异面，需构造公垂线后求解，距离为公垂线长度。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1），D₁（0，1，1），求点A到平面BCC₁B₁的距离。解：平面BCC₁B₁的方程为x=1，点A到平面BCC₁B₁的距离为1，故答案为1。2.已知直线l₁：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，求点P到平面α：x+y+z=0的距离。解：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3，故答案为√3/3。3.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，求cosθ的值。解：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6，故答案为√2/√6。4.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，求直线l到平面α的距离。解：距离为平面法向量（1，1，1）到直线x=1的距离，即|1×1+1×0+1×0-1|/√3=√3/3，故答案为√3/3。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为√2/2，求正方体的边长。解：点A到平面BCC₁B₁的距离即AA₁的一半，为√2/2，故正方体边长为√2，故答案为√2。6.已知直线l₁：x+y=1与直线l₂：x-y=2相交于点P，求点P到平面α：x+y+z=0的距离。解：联立l₁和l₂得P（3/2，-1/2），代入距离公式d=|3/2-1/2|/√3=√3/3，故答案为√3/3。7.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为θ，求cosθ的值。解：cosθ=|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)=|1×2+1×(-1)+1×1|/√3×√6=√2/√6，故答案为√2/√6。8.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，求直线l到平面α的距离。解：距离为平面法向量（1，1，1）到直线x=1的距离，即|1×1+1×0+1×0-1|/√3=√3/3，故答案为√3/3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.C5.B6.C7.B8.C9.B10.C二、填空题1.√3/32.√2/√63.√2/24.√3/35.√3/36.√2/√67.√2/28.√3/39.√3/310.√2/√6三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.空间直线与平面的位置关系有相交、平行、直线在平面内三种。相交时直线与平面有唯一公共点；平行时直线与平面无公共点；直线在平面内时直线与平面有无数公共点。2.若直线方程为x=常数，平面方程为Ax+By+Cz+D=0，则距离为|D|/√(A²+B²+C²)。若直线方程为一般式，需转化为参数式或截距式后求解。3.空间两个平面的位置关系有相交、平行、重合三种。相交时两平面有公共直线；平行时两平面无公共点；重合时两平面有无数公共点。4.设两平面法向量分别为（A₁，B₁，C₁）和（A₂，B₂，C₂），则夹角θ的余弦值为|A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂|/√(A₁²+B₁²+C₁²)√(A₂²+B₂²+C₂²)。5.点P（x₀，y₀，z₀）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)。6.若