【《磁悬浮平台磁力建模、定位计算和解耦电流计算过程案例》3500字】

磁悬浮平台磁力建模、定位计算和解耦电流计算过程案例六自由度磁悬浮平台磁力建模如图所示在线圈几何中心和磁铁阵列的几何中心建立各自的坐标系（c坐标系和m坐标系）以方便后文的计算，并在图中标注了磁体阵列和电磁线圈的尺寸Hm，Lm，Wm，Hc，Lc，Wc，Rc。图3.1线圈和磁铁的尺寸标注和坐标系建立定义磁铁阵列与线圈的相对位移为矢量p=（xp,在c坐标系中，利用对洛伦兹力求积分的方法来求解线圈受到的磁力和力矩，如图所示，可以将线圈分为八个区域，八个区域的积分和就是所求的磁力和力矩。得到磁力和力矩的计算公式。[4][4]FengqiuXu,RuotongPeng,TongZheng,andXianzeXu.DevelopmentandValidationofNumericalMagnetic[J].IEEETRANSACTIONSONMAGNETICS,2019,55(1):2-3其中，cJ是线圈中的电流密度；cB是磁铁阵列激发的磁感应强度；cr是每个区域到co的力臂。该六自由度磁悬浮平台具有位移和旋转两个矢量，旋转矢量使得力和力臂的求解变得复杂，因此采用高斯正交法求解力和力矩。积分区域连续的情况下，由下面的方程3.3给出了用N个节点高斯正交法求解的规则。其中λg是[-1，1]之间的高斯节点值，ωg是高斯权值，表3.1中给出了N为4时的λg和ωg的值。表3.1N=4时高斯节点和高斯权值g1234λg-0.861136-0.3399810.3399810.861136ωg0.3478550.6521450.6521450.347855 利用公式3.3表示的规则，带入公式3.1和公式3.2，既可以将线圈上的力和力矩转换为图3.1线圈部分标注的8个区域（称为8个独立节点）的贡献的和。第i个节点的第n个部分的坐标记为（如图3.2所示），第i个区域的力和力矩分别记为和。图3.2线圈节点坐标 在矩形区域力和力矩的计算与在弧形区域的计算不同。因此分为矩形区域计算和弧形区域计算。 （1）矩形区域计算： 其中i的取值为1、3、5、7，积分区域的上下限取决于线圈的尺寸。由于线圈的电流和磁场的变化都不是太大，因此我们可以选择相同的节点数N。n1,n2,n3从1到N变化，并且和n满足以下关系 ωn可由公式3.7计算 可由公式3.8计算 （2）弧形区域 其中i的取值为2、4、6、8，ωn可由公式3.11计算可由公式3.12计算 上文的计算完成了节点坐标的计算，接下来完成磁感应强度B的计算。 本文所用的磁铁周围的磁感应强度mB=(mBx,mBy,mBz)T等于如图3.3所示磁铁8个节点的磁效应之和。将第j个磁铁上的第k个节点坐标记为磁效应节点mxm,j,k。图3.3磁铁磁节点 将线圈节点对应到磁铁阵列坐标系中。 其中 用(xr,yr,zr)来表示从磁节点指向线圈节点的矢量。 由此我们利用下列公式3.16可以求出mB。 其中Br是磁铁的剩磁（剩余磁感应强度），为方便计算磁力和力矩，将mB转换到C坐标系，由公式3.17计算出cB。 公式3.16给出了沿着mz方向的mB的求解，对于mx方向上可以由下列公式3.18和公式3.19求解。 将所求的(xr’,yr’,zr’)带入公式3.16求出(mBx’,mBy’,mBz’)，得出mB。 上文完成了cB的计算，接下来完成cJ的计算。 其中N是线圈的圈数，I是线圈的电流值，J的方向由各个线圈区域分别决定（详见图3.2）。公式3.20只适用于矩形区域，在弧形区域时需要将极坐标系转换为直角坐标系计算，由此由公式3.21可以求解出弧形区域的cJ。 以磁铁坐标系mo利用公式3.22可以求出cr。定位系统定位原理图3.4定位原理图如图3.4（a）所示，测量磁悬浮平台距离周围3个定点的坐标d1、d2、d3，平台沿着x轴和y轴做平移运动或者z轴做旋转运动时这3个值会跟着改变，由此利用几何关系可以列出平台位置信息xp,yp和γ关于d1、d2、d3的数学方程。如图3.4（b）所示，测量平台的下平面距离下方3个定点的距离h1、h2、h3，简化为图（c）所示，由两定点的距离以及h1、h2可以得出旋转角度α以及z轴位移量zp的数学方程，可以计算出α和zp。同理到3维内可以计算出平台的α、β和zp。牛顿迭代法 牛顿迭代法是用来求方程近似根的方法，具体求解方法如下：首先考虑一个方程： 首先给出方程的解一定范围内的一个近视根xk则曲线y=f(x)再x=xk处的切线与x轴交点坐标：记为k+1阶近似根，同时记重复该求近似根过程，所得的近似根结果会越来越接近所求根结果。再考虑多元方程 其中x，y，z为位置量，u为以知量。记输出为v。 根据上面求解一元方程的经验，此时则需要对每个变量求偏微分，用矩阵来表示记为则由得由计算得k+1阶近似根，重复上过程可以使近似根逼近真实根定位传感器安装位置以及具体定位计算图3.4定位原理图如图3.4所示，在定子中心位置建立坐标系so,在图中给出了激光位移传感器和电涡流传感器的具体安装位置，并规定线圈的上表面为Z=0平面，如图3.4所示，激光位移传感器和电涡流传感器的坐标均在图中标出。其中激光位移传感器的测量数据分别为d1、d2和d3，电涡流传感器的测量数据分别为h1、h2和h3。由激光位移传感器测量的d1、d2和d3，由于x、y轴方向的旋转量α和β很小，因此可以忽略α和β的影响，利用几何关系可以列出x、y方向的位移量xp、yp和Z轴的旋转量γ关于d1、d2和d3的方程组3.23。 利用牛顿迭代法求解3.23所示的方程组，可以得出xp、yp和γ。再利用电涡流传感器测得的h1、h2和h3可以列出z方向的位移量zp和x、y轴方向的旋转量α、β关于以知量的方程组3.24. 解3.24所示的方程组，可以得出zp、α和β。 由此磁悬浮平台的位移量p=（xp,力解耦本文磁悬浮平台的运动可以看做一个刚体的运动。磁悬浮平台的运动量p=（xp,yp,zp)T和q=(α,β,γ)T中的6个特征值分别由F=(sFx,sFy,sFz)T和T=(sT其中m是磁悬浮系统动子平台的质量，g是重力加速度。相对位移、旋转量、力以及力矩均是关于时间的变量。由运动方程2.25可以知道平台的位移量和旋转量同力和力矩的关系可以被表示为6个独立的方程。[5]FengqiuXu,Member,IEEE,XingLu,TongZheng,andXianzeXu.MotionControlofaMagneticLevitationActuatorBasedonaWrenchModelConsideringYawAngle[J].IEEETRANSACTIONSONMAGNETICS,DOI10.1109/TIE.2019.2949519:3-35]根据前文的磁力建模部分可以求解出力模型，最终的受力可以分解为推力方向和悬浮方向。同时每个力也都会有伴随的力矩。为了产生所需要的力，需要求解线圈所需要的电流。本文所采用的线圈产生的力和力矩与电流是线性关系，将线圈i的磁力和力矩记为，根据前面求解的磁力模型，磁悬浮系统总的力和力矩记为是8个线圈叠加而得的，所以可以得到[5]FengqiuXu,Member,IEEE,XingLu,TongZheng,andXianzeXu.MotionControlofaMagneticLevitationActuatorBasedonaWrenchModelConsideringYawAngle[J].IEEETRANSACTIONSONMAGNETICS,DOI10.1109/TIE.2019.2949519:3-3 其中是个6×8的矩阵，包含了8个线圈的磁力和力矩。I是8个线圈上的电流。 在求解出所需要的力和力矩后，本文利用图3.5所示的解耦单元，通过矩阵运算求解出电磁铁线圈驱动电路上所需的控制电压V。 其中As是驱动电路的互导增益；是矩阵的伪逆；是控制器计算的控制信号，同样包含力和力矩；mg是动子平台的重力。图3.5动态解耦单元控制设计图3.6系统控制结构图本文的控制结构如图3.6所示。其中NI9220是电压采集模块，能够采集定位系统中的激光位移传感器和电涡流传感器的输出电压信号；NI9264是模拟电压输出模块，能够产生控制电磁铁所需的电压信号；cRIO-9041是一款高性能嵌入式实时控制器，其包含一个1.3GHZ的双核CPU和可编程FPGA，且支持程序软件LabVIEW。 本文的控制过程如图3.5所示，首先由定位系统的电涡流传感器和激光位移传感器测量所需要的定位量，然后由电压采集模块NI9220采集传感器的输出量，并传送给控制器cRIO-9041，同时控制器与PC机之间通信，可以通过在PC机上完成位置设置以及数据收集。控制器将控制信号经模拟电压输出模块NI9264传递给电磁铁驱动，由电磁铁驱动模块改变电磁铁的电流大小，从而改变磁力和力矩，从而控制磁悬浮动子平台。电磁铁驱动电路图3.6电磁铁驱动电路电磁铁驱动电路如图3.6所示，其中Ui是由NI9264输出的控制电压，RL为电磁铁线圈，通过电磁铁的电流为I。图3.6所示的驱动电路是个功率放大电路，前面的输出信号的功率不足以驱动电磁铁提供所需的磁力，所以需要对信号进行功率放大，该功率放大电路由线性功率放大器件组成，驱动电路的传递函数为：PID控制PID控制器介绍PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元、积分单元、微分单元组成，通过对3个单元参数的设定，完成对目标的控制。PID控制结构如图3.7所示。图3.7PID控制器结构图PID控制器的时域数学描述为 图3.8所示为典型的复频域PID控制系统结构图。图3.8PID控制结构PID控制器的传递函数为 PID控制的优点：原理简单，使用方便。适应性强，可以广泛应用在化工、热工、炼油以及造纸、建材等各种生产部门。鲁棒性强，即其控制品质对被控对象特性的变化不大敏感。[6]贺居锋.基于[6]贺居锋.基于MATLAB/Simulink/GUIDE的PID工具箱的设计[D].沈阳：东北大学，2005：19-21PID控制是历史最久、生命力最强的基本控制方式。因为这种控制具有简单的控制结构，在实际应用中又较易于整定，所以它在工业过程控制中有着最规范的应用。NOTEREF_Ref71082926\f\h[6]