山东省青岛市实验高级中学（青岛十五中）2025-2026学年高二下册第四学段质量检测数学试卷-含答案

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则集合的元素个数为（）A.3 B.4 C.6 D.72.已知的定义域为，若为奇函数，且周期为2，则的值为（）A.2 B.1 C.0 D.3.若复数的实部与虚部分别为，则数列的前100项和为（）A.4900 B.5000 C.4950 D.50504.双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（）A. B.2 C. D.5.若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（）A.1 B.C. D.6.设是两个相互独立的随机事件，已知，则（）A. B. C. D.7.若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则r的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，则下列不等关系一定不成立的是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）A.的平均数等于的平均数B.的中位数等于的中位数C.的标准差不小于的标准差D.的极差不大于的极差10.已知抛物线：（）的准线与圆：相切，为与圆的一个交点，过圆心作直线与交于，两点，为坐标原点，则（）A. B.C.的最小值为8 D.以线段为直径的圆与轴相切11.若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列满足：，点在函数的图象上.设，则（）A.为平方递推数列B.C.D.使得成立的的最小值为2026三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若，则______．13.设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_______.14.对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．（1）若，求a；（2）若，求的面积的最大值．16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.17.如图，四边形为菱形，平面．（1）证明：平面平面；（2）若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．18.已知函数，对于，恒成立.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：当时，.19.已知是椭圆上的两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则集合的元素个数为（）A.3 B.4 C.6 D.7答案：B解析：思路：根据题意结合一元二次不等式求，即可得结果.解答过程：因为集合，可得，所以集合的元素个数为4.故选：B.2.已知的定义域为，若为奇函数，且周期为2，则的值为（）A.2 B.1 C.0 D.答案：C解析：思路：根据题设可得，即可求解.解答过程：由题意，，则.故选：C3.若复数的实部与虚部分别为，则数列的前100项和为（）A.4900 B.5000 C.4950 D.5050答案：C解析：思路：根据复数的运算法则，求得，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.解答过程：由复数，可得，则，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以数列的前100项的和为.故选：C.4.双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（）A. B.2 C. D.答案：C解析：思路：由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解.解答过程：的渐近线方程为，，结合条件两条渐近线的夹角为，则，解得，又，，，.故选：C.5.若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（）A.1 B.C. D.答案：D解析：思路：分别写出的对称中心为，的对称中心为，由题意得到，求解即可.解答过程：令，得，所以函数的对称中心为，又函数的对称中心为，函数的对称中心与函数的对称中心重合，所以，即，故选：D6.设是两个相互独立的随机事件，已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用概率的基本性质及相互独立事件的概率公式求解.解答过程：由是两个相互独立，得，而则，所以.故选：D7.若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则r的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据“圆上到直线距离为1的点有且仅有4个”的几何意义列式求解即可.解答过程：，即设与直线平行且距离为1的直线方程为，所以，解得或，所以两条平行线的方程为，，圆心到的距离为，圆心到的距离为，由题意得圆与，均相交，则，，即且，所以.故选：.8.已知，则下列不等关系一定不成立的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：法一，结合图象排除；法二，构造函数，由函数零点分段讨论各函数值的符号，比较大小.解答过程：由题意得，，令，法一：则由的图象与直线的交点用排除法得不成立.法二：则.令，，所以在区间上单调递增.令，同理在区间上都单调递增，因为，所以存在，使得，时，时，；显然，时，；时，；因为，，所以存在，；时，.综上，时，；时，，时，；时，；时，；时，；时，，所以C不可能成立.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）A.的平均数等于的平均数B.的中位数等于的中位数C.的标准差不小于的标准差D.的极差不大于的极差答案：BD解析：思路：根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.解答过程：对于选项A：设的平均数为，的平均数为，则，因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A错误；对于选项B：不妨设，可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数，标准差，，则平均数，标准差，显然，即，所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误；对于选项D：不妨设，则，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：BD.10.已知抛物线：（）的准线与圆：相切，为与圆的一个交点，过圆心作直线与交于，两点，为坐标原点，则（）A. B.C.的最小值为8 D.以线段为直径的圆与轴相切答案：BC解析：思路：根据圆的切线求得，结合抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.解答过程：圆：的圆心为，半径，抛物线：（）的准线方程为，由于是圆的切线，所以，A选项错误.所以抛物线方程为，由消去并化简得，解得或（舍去），则，不妨设，由于，所以，B选项正确.依题意可知，是抛物线的焦点，设直线的方程为，设,由消去并化简得，，所以，则，所以，当时等号成立，所以C选项正确.过作准线，垂足为；过作准线，垂足为；设的中点为，过作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以以为直径的圆与准线相切，D选项错误.故选：BC11.若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列满足：，点在函数的图象上.设，则（）A.为平方递推数列B.C.D.使得成立的的最小值为2026答案：AC解析：思路：由题意可得，可得，结合“平方递推数列”的定义，可判断A；由等比数列的定义和通项公式，可判断B；由等比数列的求和公式和对数的运算性质，可判断C；由等比数列的求和公式和不等式的解法，可判断D.解答过程：对于A，由题意得，所以，所以为平方递推数列，故A正确；对于B，得，其中，所以是以2为首项2为公比的等比数列，所以，所以，即，故B错误；对于C，因为所以，故C正确；对于D，因为，所以，由得，故D错误，故选：AC.方法提示：思路点睛：先根据已知条件找到数列相邻两项的关系，再通过变形和相关定义进行证明.求对数形式的数列前项积的对数，先将其转化为对数的和，再结合数列通项和求和公式计算.对于由等差数列和等比数列组成的数列求和，采用分组求和法，求解不等式时结合数列特点和取值范围确定的值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若，则______．答案：##解析：解答过程：由题设，所以.13.设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_______.答案：4解析：解答过程：试题分析：当时，，，又，，注意到，所以只有2组：,满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组：,，故共有4组.【考点】三角函数【名师方法提示：本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.14.对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为______.答案：解析：思路：由题意可得：，所以是函数的一个“准奇点”，其余还有两对，函数关于原点对称的图象恰好与有两个交点，即有两个正根，即有两个正根，构造函数求导判断单调性即可求解.解答过程：因为，所以是函数的一个“准奇点”．若函数存在5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对，即函数关于原点对称的图象恰好与有两个交点，而函数关于原点对称的函数为，即有两个正根，即有两个正根，令，，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当无穷大时，无穷大，所以，所以实数的取值范围为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．（1）若，求a；（2）若，求的面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可；（1）由正弦定理可得即，又，所以，即，解得，所以.（2）因为，且，，所以，当且仅当时等号成立，当取最小值时，取最大值，最大值，所以的面积的最大值为.16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.答案：（Ⅰ）0123.（Ⅱ）解析：思路：(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.解答过程：(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，故，从面.所以，随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由(Ⅰ)知：.方法提示：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17.如图，四边形为菱形，平面．（1）证明：平面平面；（2）若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．答案：（1）∵平面且平面∴，在菱形中，，且平面，∴平面又∵平面∴平面平面.（2）.解析：思路：（1）通过线面垂直得出线线垂直，再证明出线面垂直，得到面面垂直；（2）由二面角定义得到平面角的大小，由菱形和直角三角形的边角关系得出线段长度，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值（1）略（2）∵平面且平面，平面，∴，，即二面角是，∴，取与交点为，设，则，∴，∴，以为坐标原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，∴.所以所成角的余弦值为.18.已知函数，对于，恒成立.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：当时，.答案：（1）；（2）证明见解析.解析：思路：（1）利用参数分离法可知，构造函数，即，利用导数研究函数的最小值即可得解；（2）由（1）得恒成立，将不等式的证明转化为证，构造函数，即证，利用导数研究函数的单调性及最值即可.解答过程：（1）由恒成立，