宁夏师范大学附属中学2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学（满分：150分考试时间：120分钟）第一部分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.复数z=的虚部为（）A. B. C. D.2.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.3.在正方体中，异面直线，所成角的大小为（）A. B. C. D.4.如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（）A. B. C. D.5.已知事件与事件相互独立，且，则（）A.0.1 B.0.12 C.0.58 D.0.76.在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（）A.钝角三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（）A.对应矩形的高度为0.016 B.样本众数估计值为75C.样本平均数估计值为77.4 D.样本成绩的第70百分位数落在内8.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分）9.已知复数，以下结论正确的是（）A.B.在复平面内，复数对应的点位于第四象限C.D.是纯虚数10.设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则11.在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（）A.与平面平行 B.与直线垂直C.与直线所成角为 D.与平面的距离为第二部分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______．13.在正四棱台中，，，正四棱台的表面积是__________.14.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图．（1）求的值；（2）若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数；16.如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线到平面的距离．17.校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人.（1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率；（2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求：①甲、乙两人全部发球成功的概率；②甲、乙至少有一人发球成功的概率.18.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的周长；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.19.如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．（1）求证：（2）当时，求直线与直线所成角的余弦值（3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．

数学（满分：150分考试时间：120分钟）第一部分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.复数z=的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：复数z=，所以虚部是.2.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接由向量的数量积的坐标运算及向量垂直的条件可得.解答过程：因为向量，，且，由数量积的坐标运算，所以，即，解得.3.在正方体中，异面直线，所成角的大小为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：因为，所以为异面直线与所成角，再求解即可.解答过程：因为，所以为异面直线与所成角，因为△为正三角形，所以，即异面直线，所成角的大小为．4.如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可得：.5.已知事件与事件相互独立，且，则（）A.0.1 B.0.12 C.0.58 D.0.7答案：C解析：思路：根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解.解答过程：由事件与事件相互独立，，得，所以.故选：C6.在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（）A.钝角三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：B解析：思路：利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.解答过程：在中，由正弦定理得，而，∴，即，又∵、为的内角，∴，又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴为等边三角形.故选：B.7.为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（）A.对应矩形的高度为0.016 B.样本众数估计值为75C.样本平均数估计值为77.4 D.样本成绩的第70百分位数落在内答案：D解析：思路：A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围.解答过程：设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确；由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确；平均值为：，C选项正确；样本数据的频率为，样本数据的频率为，故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误.8.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意利用圆柱和圆台的体积公式直接求解即可解答过程：因为圆柱的高为，底面直径，底面直径，且两圆台的高都为，所以该瓷器的容积为，故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分）9.已知复数，以下结论正确的是（）A.B.在复平面内，复数对应的点位于第四象限C.D.是纯虚数答案：ACD解析：思路：根据复数的除法及乘法计算求解判断A，根据复数的乘方计算判断D，应用几何意义判断象限判断B，应用模长公式计算判断C.解答过程：复数，则，A选项正确；在复平面内，复数对应的点位于第二象限，B选项错误；，C选项正确；是纯虚数，D选项正确；故选：ACD.10.设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则答案：BD解析：思路：用空间几何中线、面平行与垂直的判定定理与性质，构造反例来排除错误选项即可.解答过程：若，，则或m与n相交或m与n异面，选项A错误;若，，则，选项B正确;若，，则或α与β相交，选项C错误;若，，则或，又，则，选项D正确.11.在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（）A.与平面平行 B.与直线垂直C.与直线所成角为 D.与平面的距离为答案：ABD解析：思路：通过证明平面平面，即可判断A，通过证明平面，即可判断B，由，所以与所成角就是直线与直线所成角，利用余弦定理求出，即可判断C，利用等体积法求出点到平面的距离，即可判断D.解答过程：因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，平面，所以平面平面，而平面，故平面，选项A正确；因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，故，选项B正确；由于，所以与所成角就是直线与直线所成角，因为，，，所以，所以，即与直线所成角为，选项C不正确；由选项A可知，与平面的距离就是点到平面的距离．设点到平面的距离为，由，得，即，解得，即与平面的距离为，选项D正确.故选：ABD．第二部分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______．答案：3解析：思路：第50百分位数为数据的中位数，即得.解答过程：数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是3.故答案为：313.在正四棱台中，，，正四棱台的表面积是__________.答案：解析：解答过程：由题意得，下底面边长，故下底面面积；上底面边长，故上底面面积，设侧面等腰梯形的斜高为，，侧棱长，由勾股定理得斜高,单个侧面等腰梯形的面积是，四个侧面总面积，因此正四棱台的表面积.14.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________.答案：解析：思路：求圆锥底面半径和高，再代入圆锥体积公式求解.解答过程：设圆锥底面半径为，则，则，圆锥的母线长为，则圆锥的高为，所以该圆锥的体积.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图．（1）求的值；（2）若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数；答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得答案.（2）先求出成绩小于70分的频率，根据总人数，即可得答案.（1）由频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，可得，解得.（2）由图象可得，成绩小于70分的频率为，则成绩小于70分的人数为.16.如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线到平面的距离．答案：（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图：则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面，所以平面．（2）．解析：思路：（1）连接，利用线面平行的判定推理得证.（2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解.（1）略（2）连接，由，得，又平面，平面，则，又平面，因此平面，又平面，则，又，则是等腰直角三角形，，，，，设点A到平面的距离为d，由，得，解得，由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离，所以直线到平面的距离为．17.校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人.（1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率；（2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求：①甲、乙两人全部发球成功的概率；②甲、乙至少有一人发球成功的概率.答案：（1）设3名男队员为，2名女队员为，所有等可能的基本事件分别为：，抽取到的2人全是男队员的概率为；（2）①；②.解析：思路：（1）用列举法列出所有可能结果之后直接由古典概型概率公式计算即可；（2）①两人发球相互独立，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可；②采用逆向思考，先计算对立事件“两人都失败”的概率，再用减去这个结果即可．（1）设3名男队员为，2名女队员为，从5人中不放回抽取2人，所有等可能的基本事件共有个，分别为：，记事件为“抽到的2人都是男队员”，则包含的基本事件有，共3个，所以（2）①因甲乙两人发球相互独立，所以甲、乙两人全部发球成功的概率：；②甲乙两人都失败的概率为：所以甲乙至少一人成功的概率为：18.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的周长；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题意利用余弦定理边角转化可得，即可得结果；（2）利用余弦定理解得，即可得周长；（3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而可得取值范围.（1）因为，所以，由余弦定理可得，因为，所以解得.（2）由余弦定理可得，因为，所以解得，因此的周长为.（3）由正弦定理可得，所以，，因为，所以，则，因为是锐角三角形，所以，即，解得，即，所以，即，因为，所以，即面积的取值范围是.19.如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．（1）求证：（2）当时，求直线与直线所成角的余弦值（3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又因为在平面内，所以又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以．（2）（3）解析：思路：（1）应用线面垂直判定定理得出平面，平面进而得出线面垂直；（2）应用异面直