山东省德州市2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学第Ⅰ卷选择题（共58分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数的共轭复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.已知为所在平面内的一点，，则（）A. B.C. D.4.样本数据的中位数为（）A.4 B.5 C.6 D.85.已知，则（）A. B. C. D.6.已知，且，则（）A. B. C. D.7.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位…，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15，现将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上（两粒珠子不能都从上珠拨动），则“表示的三位数能被3整除”的概率是（）A. B. C. D.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，下列结论正确的有（）A.B.C.若，则D.若，则或10.下列命题中正确的是（）A.若，且，则B.若，且与夹角为锐角，则C.若，则在上的投影数量为D.若是的外心，，则的值为811.若的内角所对的边分别为，且满足，则（）A.角一定是钝角B.C.若，则面积的最大值为D.若在上的投影向量模长为，则的值为三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.__________.13.甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则五次投篮结束的概率为__________；投篮结束时，乙只投了2个球的概率为__________．14.如图，某景区有景点.经测量得，，.现计划在的角平分线与的交点处修建观景台，则观景台到景点的距离为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知的顶点坐标为是边上一点，且.（1）求点的坐标；（2）若是线段上的一个动点，求的最大值.16.从某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3.（1）求第六组矩形的纵坐标，并估计该校男生身高的第一四分位数；（2）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，，记为事件，求事件的概率.17.在中，为内一点，.（1）若，求；（2）若，求.18.已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记样本平均数为，样本方差为.（1）证明：；（2）某校为调查高一年级某次数学考试的情况，选取该年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均分为120，方差为5，乙班学生数学成绩的平均分为110，方差为10，且甲乙两班的学生人数之比为，求这两班数学成绩的平均分和方差；（3）若第一层抽取的样本量为20，平均数为60，方差为；第二层抽取的样本量为30，平均数为70，方差为.若两层合并后的方差为，且，试判断与的大小关系，并加以证明.19.设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，､分别在轴､轴正半轴上，，､分别为中点，求的取值范围.

数学第Ⅰ卷选择题（共58分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数的共轭复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助共轭复数定义与复数虚部定义即可得.解答过程：由，则，故的虚部为.2.在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案：D解析：思路：由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形.解答过程：在中，由正弦定理，为外接圆半径.得，.将其代入已知条件，可得.化简得，因为，所以.因此有两种情况：①，即，此时为等腰三角形；②，即，则，此时为直角三角形.综上，的形状为等腰三角形或直角三角形.3.已知为所在平面内的一点，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据图形的几何性质结合向量的线性运算即可得解.解答过程：如图，由题意得；.4.样本数据的中位数为（）A.4 B.5 C.6 D.8答案：B解析：解答过程：样本数据升序排列为，样本数据共6个，中位数为第3、4个平均值，即中位数为：．5.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得，即，则，故，则，而，故.6.已知，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由，利用两角和正弦公式求解即可.解答过程：，结合

，得：

​

，，故.7.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由正弦定理边化角得到，再对，利用正弦定理边化角，结合的范围即可求解.解答过程：由，结合正弦定理边化角得：

，又，，代入得：

，因为是锐角三角形，，，故，即，​，故

因为是锐角三角形，三个角均小于：

且，又余弦函数在单调递减，故​，即，因此，即原式的取值范围是.8.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位…，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15，现将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上（两粒珠子不能都从上珠拨动），则“表示的三位数能被3整除”的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先求出每位数字有种等可能取值1、2、5、6并统计总三位数个数，再按各位数字除以3的余数分类枚举数字组合，算出数字和为3的倍数的三位数数量，最后用符合条件数除以总数得到概率.解答过程：要求每个数位拨动1粒或2粒珠子，且两粒不能都从上珠拨动，单个数位所有可能结果为：拨1粒：上珠1粒（数值）、下珠1粒（数值），共2种；拨2粒：下珠2粒（数值）、1上珠+1下珠（数值），共2种。因此单个数位共种等可能结果，其中1被3除余1，2和5被3除余2，6被3整除，则可构成不同的三位数共有个.一个数能被整除等价于各位数字之和是3的倍数，分类计算符合条件的事件数：三个位数上都是6，则构成不同的三位数个；三个位数上都是1，则构成不同的三位数个；三个位数上分别是和中一个，则构成不同的三位数种；三个位数上有一位是和中取一个，另两位分别取和，则构成不同的三位数个；综上，符合条件的不同的三位数共有.所以“表示的三位数能被整除”的概率.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，下列结论正确的有（）A.B.C.若，则D.若，则或答案：ABD解析：思路：设，，结合复数运算法则、共轭复数定义逐项计算并判断即可得.解答过程：令，，其中；对A：，则，有，故A正确；对B：由A知：，故，有，故B正确；对C：取，，此时有，但，故C错误；对D：若，则，即，则至少有一个为0，即或，故D正确.10.下列命题中正确的是（）A.若，且，则B.若，且与夹角为锐角，则C.若，则在上的投影数量为D.若是的外心，，则的值为8答案：AC解析：思路：对于A，利用向量垂直的坐标表示式计算即得；对于B，利用向量数量积的坐标式，结合向量数量积的意义列不等式求解；对于C，根据投影数量的定义计算可得；对于D，根据三角形的外心性质，结合图形和向量数量积的运算律计算判断.解答过程：对于A，由可得，因，则，解得，故A正确；对于B，由得，因与夹角为锐角，则有，解得且，故B错误；对于C，因，则，，则在上的投影数量为，故C正确；对于D，如图，作，垂足分别为，因是的外心，则点分别为的中点.于是，，故D错误.11.若的内角所对的边分别为，且满足，则（）A.角一定是钝角B.C.若，则面积的最大值为D.若在上的投影向量模长为，则的值为答案：ACD解析：思路：利用降幂公式化简得可判断A；利用余弦定理可得，进而可判断B；利用三角形面积公式得，利用基本不等式可求最大值判断C；利用投影向量的模长可求得，结合，利用正弦定理边化角可求得.解答过程：由，得，即，所以，所以，即，又，所以，故A正确；由余弦定理，，故B错误；因为，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为，故C正确；在上的投影向量为，又在上的投影向量模长为，所以，因为，所以，所以，所以.又，由正弦定理可得，所以，所以，所以，所以，故D正确.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.__________.答案：解析：思路：利用正切化弦，诱导公式以及辅助角公式，结合特殊角的三角函数值计算即得.解答过程：因13.甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则五次投篮结束的概率为__________；投篮结束时，乙只投了2个球的概率为__________．答案：①.②.解析：思路：根据题意明确投篮顺序，终止规则，直接利用独立事件概率相乘公式计算五次投篮结束概率，把乙投两次拆分成两种互斥情况，再相加求和．解答过程：设甲每次投中概率，未投中概率，乙每次投中概率，未投中概率，由题意，五次结束等价于前4次投篮全部未中，第5次甲投中，则；乙仅投两次，有两种情况：投第4次结束，即前3次未中，第4次乙中，，投第5次结束，，故乙只投了2个球的概率为：．14.如图，某景区有景点.经测量得，，.现计划在的角平分线与的交点处修建观景台，则观景台到景点的距离为__________.答案：14解析：思路：在中，由正弦定理求得，进而由余弦定理求得，由内角平分线的性质可求得，在中，利用余弦定理可求得观景台到景点的距离.解答过程：在中，由正弦定理得，又，，所以，解得，又，所以，由余弦定理可得，所以，所以，解得或（舍去）.因为平分，所以，所以，在中，由余弦定理得，又，所以，所以，所以观景台到景点的距离为14.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知的顶点坐标为是边上一点，且.（1）求点的坐标；（2）若是线段上的一个动点，求的最大值.答案：（1）（2）5解析：思路：（1）法一：设，求出相关向量的坐标，再由及是边上一点，应用向量垂直、共线的坐标表示列方程求参数，即可得；法二：设，再表示出，再由列方程求参数，即可得.（2）设，用参数表示出，结合二次函数的性质求最值.（1）法一：设，则，因为，则，即①，由点在上，即，且，故，即②，由①②得：，故点为；法二：，设，则，由，则，解得，所以，即；（2）设，则，故，当时，的最大值为5.16.从某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3.（1）求第六组矩形的纵坐标，并估计该校男生身高的第一四分位数；（2）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，，记为事件，求事件的概率.答案：（1）第六组矩形的纵坐标是，第一四分位数为；（2）.解析：思路：（1）根据频率之和为“1”计算可得第六组矩形的纵坐标，根据第一四分位数的概念计算可得该校男生身高的第一四分位数；（2）先计算第六组和第八组的男生人数，再利用列举法结合古典概率计算公式计算求解即可.（1）因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为.则第六组频率为.所以第六组矩形的纵坐标是.第一组的频率为；第二组的频率为，累计频率为；第三组的频率为，累计频率为；因为，因此第一四分位数落在第三组之内，设第一四分位数为，则.解得.所以第六组矩形的纵坐标是，第一四分位数为.（2）样本身高在第六组的人数为，设其分别为样本身高在第八组的人数为，设其分别为，则从六人中随机抽取两名男生的样本空间为：共15种情况.当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生，则事件包含的基本事件为共8种情况，根据古典概型概率公式得.17.在中，为内一点，.（1）若，求；（2）若，求.答案：（1）（2）解析：思路：(1)中利用三角函数的定义，求出,，从而得到，再在中利用余弦定理，即可得出答案；（2）设，则在中，利用正弦定理可求解；或设，在中，得，在中，利用正弦定理得，从而得，化简可求得结果.（1）在中，.则且，所以，在中，由余弦定理得：所以.（2）解法一：设，则在中，由正弦定理得：解得：化简得：，即，所以故.解法二：设，所以从而在中，，在中，由正弦定理，得，所以即所以.18.已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记样本平均数为，样本方差为.（1）证明：；（2）某校为调查高一年级某次数学考试的情况，选取该年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均分为120，方差为5，乙班学生数学成绩的平均分为110，方差为10，且甲乙两班的学生人数之比为，求这两班数学成绩的平均分和方差；（3）若第一层抽取的样本量为20，平均数为6