山东省济宁市2025-2026学年高二下册质量检测数学试卷-含答案

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A.1 B.2 C.4 D.2或43.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.64.若为实数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数则（）A. B. C. D.6.已知离散型随机变量的分布列为，其中、、、，则（）A. B. C. D.7.已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（）A. B. C. D.8.如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，.将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有（）A.36种 B.48种 C.96种 D.144种二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.在6道不同试题中有4道选择题、2道填空题，每次从中随机抽出1道，抽出的题不再放回.设事件“第1次抽到选择题”，“第2次抽到填空题”，则（）A. B. C. D.10.已知，则（）A.当时，的展开式中存在常数项B.当时，的展开式中各项系数和为C.当时，的展开式中的系数为D.当，时，能被15整除11.已知函数是定义域为的奇函数，为奇函数，当时，，则（）A.B.C.当时，函数共有9个零点D.不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知离散型随机变量，且，，则________.13.2026年美加墨世界杯正在举行，某班级对“学生性别和关注世界杯”是否有关做了一次调查，将所得数据整理如下：性别世界杯合计关注不关注女生男生合计根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯有关”，则被调查的女生中关注世界杯的最少为________人.（附参考数据：0.0500.0100.0053.8416.6357.879参考公式：，）14.已知函数的两个零点为，，且满足.若的最大值不小于64，则实数的最大值为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若，，，求的最小值.16.已知幂函数的定义域和值域相同，是的导函数.（1）求函数的解析式；（2）若函数，讨论的单调性.17.甲、乙两人分别从，，，，中取2个数字，其中.设随机变量表示两人取到相同数字的个数.（1）若，求的分布列和期望；（2）设事件“甲乙至少有一人取到数字1”，事件“甲、乙两人取到的2个数字均相同”，若，求的值.18.某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表：第天12345678组装完成时间分钟140125115110107105103101（1）请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01）（2）通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令.（ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1）（ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？（3）为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好.附：，，，，，，，模型①：；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为.19.已知函数.（1）当时，证明：；（2）若函数有三个极值点，，.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）试判断过点可以作曲线的几条切线？并说明理由.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：．2.若，则（）A.1 B.2 C.4 D.2或4答案：D解析：思路：利用组合数相等的两类等价关系，结合组合数上标的取值限制求解.解答过程：根据组合数性质：若，则要么，要么，且组合数上标需满足、，本题中，分情况讨论：若，解得，此时，，符合组合数定义；若，化简得，解得，此时，，符合组合数定义，综上的取值为2或4.3.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6答案：C解析：思路：根据正态曲线关于均值对称，得到，求出区间的概率，再平分得到左半区间的概率。解答过程：由，得正态曲线关于对称，所以，所以．4.若为实数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：当时，则，在该不等式的两边同时除以得，即“”“”，当时，不妨取，此时，即“”“”，故“”是“”的充分不必要条件.5.已知函数则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先算出，再代入函数即可.解答过程：因为，所以.6.已知离散型随机变量的分布列为，其中、、、，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可得，解得，所以.7.已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先确定函数的对称性与单调性，将函数值不等式转化为自变量到对称轴距离的绝对值不等式求解.解答过程：由，可得函数的图象关于直线对称；对，且都有，则在上单调递减，由对称性可得在上单调递增；结合函数单调性与对称性，等价于到对称轴的距离小到的距离，即；所以不等式等价于，即；即，展开整理得，解得.故不等式的解集是.8.如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，.将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有（）A.36种 B.48种 C.96种 D.144种答案：D解析：思路：设点处的数字为，每条线段上数字之和为，得到是的倍数，求出的所有可能取值，进而求解.解答过程：设点处的数字为，每条线段上数字之和为，则，因为，所以是的倍数，又，所以的取值可能为，当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为，因为，每组数据分到个线段上有种，每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种，当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为，因为，每组数据分到个线段上有种，每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种，当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为，因为，每组数据分到个线段上有种，每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种，综上，共有种.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.在6道不同试题中有4道选择题、2道填空题，每次从中随机抽出1道，抽出的题不再放回.设事件“第1次抽到选择题”，“第2次抽到填空题”，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：利用排列、组合计数问题求出古典概率判断A；利用全概率公式计算判断B；求出条件概率判断C；利用概率的基本性质计算判断D.解答过程：对于A，，A正确；对于B，，因此，B错误；对于C，，，C正确；对于D，，D正确.10.已知，则（）A.当时，的展开式中存在常数项B.当时，的展开式中各项系数和为C.当时，的展开式中的系数为D.当，时，能被15整除答案：BCD解析：思路：写出的展开式的通项，令的次数为0，求得对应参数，判断A；利用赋值法，令，求得的展开式中各项系数和，判断B；当时，，根据通项为，讨论项对应的的取值，求得其系数，判断C；求出，利用二项式定理分析除以15的余数，判断D.解答过程：

选项A，当时，，展开式通项为，令得，故A错误.选项B，当时，，令，得展开式各项系数和为，故B正确.选项C，当时，，通项为，要得到项，需使中的次数为.又，所以，即或.当时，，中的对应项为，中的对应项为；当时，，中的对应项为，中的对应项为；所以当时，的展开式中的系数为.故C正确.选项D，当时，.则，（），因为每一项均能被15整除，所以能被15整除，故D正确.11.已知函数是定义域为的奇函数，为奇函数，当时，，则（）A.B.C.当时，函数共有9个零点D.不等式的解集为答案：AC解析：思路：根据题意得，，进而得，即是以为周期的周期函数，利用周期即可判断AB，根据函数零点的定义即可判断C，由，先求一个周期的解集，利用周期即可判断D.解答过程：由题意得：，又为奇函数，所以，所以，所以，所以是以为周期的周期函数，所以，故A正确；又，，所以，故B错误；由是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是的零点，又为奇函数，所以，所以，所以是的零点，又当时，，所以，所以，所以是的零点，又，所以是的零点，所以的零点为：共有9个，故C正确；又，所以，当时，，解得，又是以为周期的周期函数，当时，，所以，不满足题意，当时，，所以，不满足题意，所以不等式的解集为，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知离散型随机变量，且，，则________.答案：解析：解答过程：由随机变量，且，，得且，所以.13.2026年美加墨世界杯正在举行，某班级对“学生性别和关注世界杯”是否有关做了一次调查，将所得数据整理如下：性别世界杯合计关注不关注女生男生合计根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯有关”，则被调查的女生中关注世界杯的最少为________人.（附参考数据：0.0500.0100.0053.8416.6357.879参考公式：，）答案：6解析：思路：先根据列联表数据推导卡方统计量关于的表达式，结合对应的临界值列不等式求解的范围，再结合人数为整数的约束得到最小值.解答过程：由列联表得，，根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯”有关，所以，即，所以.又，即为正偶数，所以被调查的女生中关注世界杯的最少为人.14.已知函数的两个零点为，，且满足.若的最大值不小于64，则实数的最大值为_________.答案：##解析：思路：利用换元法将转换为一元函数，然后利用导数讨论函数最值，最终利用函数单调性可得参数的最大值.解答过程：由题可得，,则.设，则由，要求的最大值，可知此时，则.所以，又因为，所以，所以所以.设，考虑，，.当时，恒成立，所以在单调增.又因为，由零点存在定理可知,使得.所以在单调减，在单调增.又因为.又,故时，单调递增，且时，，所以在的最大值为，故，即.方法提示：利用换元法将转换为一元函数最值问题进行求解是解题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若，，，求的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）将代入，分情况讨论即可；（2）首先根据代入函数表达式，整理得到与的和为定值；再将所求式与该定值结合，利用基本不等式求最值.（1）当时，，不等式的解集为，当时，，这是一次函数，解集不可能为，舍去；当时，二次函数开口向下，的解集不可能为，舍去；当时，需要满足，展开并整理：，因式分解：，解得，所以实数的取值范围是。（2）已知，代入函数得：，整理得：，因为，所以，且可变形为，令，则，目标式变为：，，由基本不等式，当且仅当即时取等号，代入，得，，此时，，因此：，所以的最小值为.16.已知幂函数的定义域和值域相同，是的导函数.（1）求函数的解析式；（2）若函数，讨论的单调性.答案：（1）（2）当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.解析：思路：（1）利用幂函数的定义，结合定义域、值域求出解析式.（2）由（1）求出，再利用导数按分类求解函数的单调性.（1）由幂函数，得，解得或，当时，的定义域、值域分别为，不符合题意，当时，的定义域、值域都为，符合题意，所以函数的解析式为.（2）由（1）得，函数，函数的定义域为，求导得，当时，，由，得或；由，得，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增；当时，由，得或；由，得，函数在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.17.甲、乙两人分别从，，，，中取2个数字，其中.设随机变量表示两人取到相同数字的个数.（1）若，求的分布列和期望；（2）设事件“甲乙至少有一人取到数字1”，事件“甲、乙两人取到的2个数字均相同”，若，求的值.答案：（1）012期望为（2）解析：思路：（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；（2）根据题意，求得和，结合条件概率的公式，列出方程，即可求解.（1）解：由题意知，甲乙两人从5个数字中取2个，总的基本事件为，其中随机变量的可能取值为，可得，，，所以变量的分布列为：012所以期望为.（2）解：设为所求的数值，可得，，因为，可得，可得，即，解得或（舍去），所以的值为.18.某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表：第天12345678组装完成时间分钟140125115110107105103101（1）请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01）（2）通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令.（ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1）（ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？（3）为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好.附：，，，，，，，模型①：；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为.答案：（1）经验回归方程为；第5天的残差.（2）（ⅰ）；（ⅱ）模型②拟合效果更好.（3）连续天后优化时效最好解析：思路：（1）利用最小二乘估计可算出，的值，即可得到经验回归方程.（2）（ⅰ）由可得，再利用最小二乘估计即可；（ⅱ）计算出，再跟比较即可得结果.（3）计算出回归时效函数，利用导数判断的单调性，求出取得最大值时的值.（1）由已知得，所以.所以.所以经验回归方程为.第5天的残差.（2）（ⅰ）因为，所以.所以所以关于的非线性经验回归方程为