辽宁省营口市部分校2025-2026学年高二下册期末联考数学试卷-含答案

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的导函数为，若，则（）A. B. C.1 D.52.在数列中，，，则的值为（）A. B. C. D.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.4.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.32 B.64 C.128 D.2565.函数的大致图象是（）A. B.C. D.6.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.8.已知数列满足，，记的前项和为，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数是幂函数，则（）A. B.C. D.是奇函数10.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（）（参考数据：）A.的个位数是3 B.的个位数是1C.是173位数 D.是172位数11.已知函数关于的方程，下列命题正确的是（）A.若，则方程恰有4个不同的解B.若，则方程恰有5个不同的解C.若方程恰有2个不同的解，则或D.若方程恰有3个不同的解，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若数列的前n项和，则______.13.已知是方程的一个根，是方程的一个根，则______.14.已知函数的导函数为，且与的定义域都是，若对，，且，则不等式的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.16.已知函数是定义在上的奇函数．（1）求a的值，并用定义法证明在上单调递增；（2）解关于x的不等式．17.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）若等比数列的公比为3，且，求的前项和.18.已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求的单调区间；（3）若存在，使得，求证：.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的导函数为，若，则（）A. B. C.1 D.5答案：D解析：解答过程：.2.在数列中，，，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，可得，.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的图象与性质，即可求解.解答过程：由函数有意义，则满足，即，可得，解得，所以函数的定义域为.故选：A.4.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.32 B.64 C.128 D.256答案：B解析：思路：根据等比数列定义和前项和公式可得，结合通项公式求.解答过程：设等比数列的公比为，因为，则，又因为，解得，所以．故选：B．5.函数的大致图象是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案.解答过程：函数是偶函数，图象关于轴对称，排出选项A、B；再取特殊值和，可得函数的大致图象为C，故选：C.6.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：C解析：思路：利用充分条件、必要条件的定义判断即得.解答过程：因为，所以“”是“”的充分条件；因为，，所以“”是“”的必要条件.故“”是“”的充要条件.故选：C.7.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：点在幂函数的图象上，求出解析式，判断单调性，通过比较指数式与对数式的大小，由单调性判断函数值的大小.解答过程：点在幂函数的图象上，则有，解得，有，则在R上单调递增.由，，则，所以，即.故选：C.8.已知数列满足，，记的前项和为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由递推式得到相邻项比值，累乘法推出数列通项，最后用裂项相消法求和，中间项全部抵消，快速算出前2026项和.解答过程：由，得，当时，，…，，以上各式相乘，得，又＝1，所以（），因为＝1满足上式，所以，因为，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数是幂函数，则（）A. B.C. D.是奇函数答案：ABD解析：思路：由为幂函数，有，可判断BC选项；由的值得函数解析式判断AD选项.解答过程：函数是幂函数，则有，所以，解得或，B选项正确，C选项错误；或，则有是奇函数，，AD选项正确.故选：ABD.10.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是（）（参考数据：）A.的个位数是3 B.的个位数是1C.是173位数 D.是172位数答案：AC解析：思路：对于AB，因为的个位数以4为周期循环往复，则的个位数与的个位数相同，即可判断AB；对于CD，通过对数运算，得即可判断CD.解答过程：对于AB,由，个位数分别为以4为周期循环往复，因为的余数为1，故的个位数与的个位数相同，即的个位数为3，故A正确，B错误；对于CD，因为，所以，因为，所以为173位数，故C正确，D错误.故选：AC.11.已知函数关于的方程，下列命题正确的是（）A.若，则方程恰有4个不同的解B.若，则方程恰有5个不同的解C.若方程恰有2个不同的解，则或D.若方程恰有3个不同的解，则答案：BC解析：思路：由得或，画出的图象，数形结合即可求解在不同条件下的取值范围.解答过程：因为，所以，所以或，的图象如图所示，由图可知与有两个交点.对于A，若且，则方程恰有2个不同的解，故A错误；对于B，若，则与有3个不同的交点，此时方程恰有5个不同的解，故B正确；对于C，若方程恰有2个不同的解，当与没有交点时满足题意，此时；当时，方程恰有2个不同的解，此时，故若方程恰有2个不同的解，则或，故C正确；对于D，若方程恰有3个不同的解，则，则与有1个交点，此时或，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若数列的前n项和，则______.答案：－3750解析：思路：首先根据题设条件，利用，即可求得的值.解答过程：数列的前n项和，.故答案为：－3750.13.已知是方程的一个根，是方程的一个根，则______.答案：8解析：思路：对两个方程进行变形，根据互为反函数的函数图像关于对称，画出函数图像，根据方程的根就是函数图像的交点的横坐标，设出交点坐标，根据对称性，列出方程，求出结果.解答过程：是方程的一个根，也是的一个根，是方程的一个根，也是的一个根，设函数，画出函数图像，如下图：由图形可知与的交点为，设，同理设，因为与图像关于对称，且直线互相垂直，所以与关于对称，所以，因为都在上，所以，所以.故答案为：8.14.已知函数的导函数为，且与的定义域都是，若对，，且，则不等式的解集为______.答案：解析：思路：由可得，构造函数，求导可得，结合即可判断的单调性，又，不等式可转化为，从而不等式得到求解.解答过程：令，则，因为对，，所以，即，所以在上单调递减，又，由可得，即，解得，即不等式的解集为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.答案：（1）最大值为28，最小值为；（2）解析：思路：（1）对函数求导得出函数单调性计算出极值并比较大小，可求得最值；（2）根据（1）中结论并结合其单调性以及零点个数可求出实数的取值范围.（1）由题知.令，得或；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；因此分别在和处取得极大值和极小值，又，所以函数在上的最大值为28，最小值为.（2）由（1）知在上单调递增，；在上单调递减，；在上单调递增，，所以要使在上有两个零点，只需或，即实数的取值范围为.16.已知函数是定义在上的奇函数．（1）求a的值，并用定义法证明在上单调递增；（2）解关于x的不等式．答案：（1），证明见解析（2）或解析：思路：（1）利用奇函数性质可得，再利用单调性定义按照步骤进行证明即可得出结论；（2）由（1）中结论根据单调性解不等式可得结果.（1）由奇函数性质可知，可得；当时，满足，满足题意；即；取任意，且，则；易知当时，，所以，即；因此在上单调递增；（2）不等式等价于；再由单调性可得，即，解得或.因此不等式的解集为或.17.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）若等比数列的公比为3，且，求的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）设的公差为，根据求和公式求出，即可求出通项；（2）求出，即可求出，从而求出的通项公式，即可得到，再由错位相减法计算可得.（1）设等差数列的公差为，由题意得，，解得，所以.（2）由（1）知，由题意得，所以，所以，所以，则.所以，两边同乘以3，得，两式相减，得，所以.18.已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.答案：(1)(2)(3)解析：思路：（1）利用奇函数的定义可求的值.（2）先计算出，再求出它在上的最大值后可求的取值范围.（3）根据可得，令，求出该函数在的值域后可求的取值范围.解答过程：（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴，即，整理得到：恒成立，解得或（舍）.（2）当时，，∴.（3）由（1）知，，即，即即在上有解，在上单调递减，的值域为，∴.方法提示：本题考查奇函数的定义，还考查了与对数函数有关的函数的最值或值域的求法，注意不等式的恒成立问题可以转化为函数的最值问题，方程有解问题可以转化为新函数的值域问题，本题属于中档题.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求的单调区间；（3）若存在，使得，求证：.答案：（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为；（3）证明见解析.解析：思路：（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数，利用导数求出单调区间.（3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式.（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）依题意，的定义域为，求导得，令函数，求导得，函数，即在上