内蒙古准格尔部分中学2025-2026学年高二下册期末评估诊断数学试卷-含答案

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（）A. B. C. D.4.一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.5.某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（）A.15万 B.20万 C.25万 D.30万6.已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知向量，，若函数在区间上无极值点，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线：，则的（）A.实轴长为定值 B.焦点在轴上C.离心率为定值 D.渐近线方程为10.已知，且，其中，则的值不可能是（）A. B. C. D.11.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，则下列说法正确的是（）A.数列是“调和数列”B.数列是递增数列C.对任意的，都有D.若，则（）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在处的切线方程是________.13.在的展开式中，项的系数为__________．14.设抛物线的焦点为，已知为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.16.为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表：药物A疾病B合计未患病患病未服用603090服用10030130合计16060220（1）依据小概率值的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性；（2）从未患病的动物中按照是否服用药物A采用分层抽样随机抽取8只，再从这8只动物中随机抽取4只进行进一步的观察，记随机变量表示在4只动物中服用药物A的个数，求的分布列和数学期望．参考公式：，．0.100.0100.0012.7066.63510.82817.如图，平行四边形中，中点为，现以为折痕把折起，使点到达点的位置.（1）若中点为，证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.18.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍且过点.（1）求的方程；（2）设平行于的直线与交于，两点（如图所示）.（i）线段的长度是否有最大值？并说明理由；（ii）若直线，与轴分别交于，，求证：为定值.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，正实数，满足，证明：；（3）设，若对任意的恒成立，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：集合，而，所以.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：先计算复数的乘积，得到复数的代数形式，再确定其在复平面内对应的点的坐标，最后根据坐标判断所在象限.解答过程：由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D3.设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为向量与共线，且，则存在实数，使得，即，可得，解得.4.一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用正方体的对角线就是球的直径及球的表面积公式即可求解．解答过程：因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径，所以球的表面积为．故选：A．5.某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（）A.15万 B.20万 C.25万 D.30万答案：A解析：解答过程：由频率分布直方图知，在随机调查的位居民中，月均用水量不低于立方米的频率为，因该市有万居民，故全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为万.6.已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：圆的圆心，半径为，依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则，而，因此，解得，所以的取值范围为.7.若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用对数型函数值域为，则真数必须能取到大于零的任意实数.解答过程：因为函数的值域为，所以真数能取到大于零的任意实数，所以，解得.8.已知向量，，若函数在区间上无极值点，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先求出，再根据函数在区间上无极值点列出不等式，根据，即可得出答案.解答过程：向量，，则，因为，所以，因为函数在区间上无极值点，所以或，则或，又因为，即，解得：.当时，或，结合，则或，为其它值时不成立.所以的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线：，则的（）A.实轴长为定值 B.焦点在轴上C.离心率为定值 D.渐近线方程为答案：BC解析：解答过程：因为，可得，则，，，可得实轴长为，不为定值，故A错误；焦点在轴上，故B正确；离心率为，为定值，故C正确；渐近线方程为，故D错误.10.已知，且，其中，则的值不可能是（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：利用已知平方可得，进而求解出范围，求出范围可得.解答过程：因为，，两边平方整理得，因为，所以，，所以且，所以，则可知，故.所以的值不可能是，和.11.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，则下列说法正确的是（）A.数列是“调和数列”B.数列是递增数列C.对任意的，都有D.若，则（）答案：ACD解析：思路：利用已知递推式，结合“调和数列”定义判断选项A；利用已知递推式，结合已知条件判断选项B；利用等差数列性质结合均值不等式判断选项C；构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，结合已知条件求解．解答过程：已知各项均为正数的数列满足，，数列是“调和数列”，故A正确；若满足各项均为正数，且，但是递减数列，故B错误；已知为等差数列，故，，当且仅当时取等号，故C正确；若，则，故，令，求导得，，解得，，结合得，在上单调递减，在上单调递增，则，，即在时恒成立，（），即，即，即，，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在处的切线方程是________.答案：解析：思路：利用导数的几何意义即可求解.解答过程：由则，所以，，所以在处的切线方程为，即.故答案为：13.在的展开式中，项的系数为__________．答案：解析：思路：利用二项式定理的性质即可.解答过程：的展开式由三部分组成，要配凑出，则需要个，个，个，所以项为，即系数为.14.设抛物线的焦点为，已知为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为_______．答案：解析：思路：由题意，分别过抛物线上的点作准线的垂线，根据抛物线的定义以及直角梯形中位线的性质，结合基本不等式，可得答案.解答过程：过作准线的垂线，垂足为，由图可知，，根据抛物线的定义可知，所以．在中，根据余弦定理可知，所以．根据基本不等式的性质，当且仅当，等号成立，所以上式可化为，即，所以．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.答案：（1）（2）解析：（1）由及正弦定理可得，所以，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，有，即，又，联立解得，或（舍去），所以.16.为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表：药物A疾病B合计未患病患病未服用603090服用10030130合计16060220（1）依据小概率值的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性；（2）从未患病的动物中按照是否服用药物A采用分层抽样随机抽取8只，再从这8只动物中随机抽取4只进行进一步的观察，记随机变量表示在4只动物中服用药物A的个数，求的分布列和数学期望．参考公式：，．0.100.0100.0012.7066.63510.828答案：（1）药物A对预防疾病B有效果（2）期望为1234解析：思路：（1）根据公式求出后，对照临界值即可求解；（2）先求得未服用药物A的个数为3，服用药物A的个数为5，的所有可能取值为1，2，3，4，求出对应的概率，写出分布列，从而求出数学期望.（1）零假设为；药物A对预防疾病B无效果．根据列联表的数据计算可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即药物A对预防疾病B有效果．（2）抽取8只，未服用药物A的个数为：，服用药物A的个数为：．的所有可能取值为1，2，3，4，所以，，，，的分布列为：1234所以．17.如图，平行四边形中，中点为，现以为折痕把折起，使点到达点的位置.（1）若中点为，证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.答案：（1）取中点，连接，因为分别为中点，所以，且，又四边形是平行四边形，且为中点，所以，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）.解析：思路：（1）取中点，证明四边形是平行四边形，则由线面平行的判定定理可证；（2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，再由线面角的向量求法求解.（1）略（2）在中，，所以，所以，因为，所以.在中，，所以，即，解得.因为，所以，又，平面，所以平面ABCD.以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值是.18.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍且过点.（1）求的方程；（2）设平行于的直线与交于，两点（如图所示）.（i）线段的长度是否有最大值？并说明理由；（ii）若直线，与轴分别交于，，求证：为定值.答案：（1）（2）（i）不存在最大值，理由见解析；（ii）证明见解析解析：思路：（1）解方程组即可得，进而可得椭圆C的方程；（2）（i）设出直线的方程为，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦长，即可判断是否存在最大值；(ii)设直线的方程为，令可得：，同理直线的方程，令可得：，计算即可求解.（1）由题意可得解得所以的方程为.（2）（i）因为，，所以可设直线的方程为，由可得，由，解得，设，则，，所以，因为，所以当时，最大，此时直线的方程为，直线与直线重合，不满足与平行，所以线段的长度不存在最大值.（ii）证明：直线的方程为，令可得：，直线的方程为，令可得：，.由（1）知，，所以，，，所以，所以是定值.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，正实数，满足，证明：；（3）设，若对任意的恒成立，求的取值范围．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：当时，，令，则，所以在上单调递增，又，因为，所以，若，都大于1，则，不合题意，同理，都小于1也不满足，设，欲证，即证，即证，即证，即证．令，，，所以在区间上单调递增，所以，则原不等式得证．（3）解析