内蒙古自治区锡林郭勒盟2025-2026学年高二下册全盟中小册末学业质量检测数学试卷-含答案

数学一．单项选择（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.某学校志愿服务小队共有3名高一学生和4名高二学生，为保障校园开放日参观秩序，现从中随机选取2名同学担任活动引导员，则这2人来自不同年级的选法共有（）种A.7 B.12 C.21 D.423.函数在处的导数为（）A.0 B. C. D.4.“”是“函数的极值点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.的展开式中常数项是（）A.15 B.60 C.64 D.2406.5名医生分成3个支教组，则不同的分组方式共有（）A.20种 B.25种 C.30种 D.150种7.袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，3个黑球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数，若函数仅有一个零点，则k的取值范围（）A. B. C. D.二．多项选择（本题有三个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分数，有选错得0分）9.已知，则（）A. B.C. D.10.已知函数（），则（）A.函数的图象过点B.，使得函数是奇函数C.若函数在上单调递增，则D.若函数有三个不同零点，则11.甲、乙两个小组参加某项测试，已知甲、乙两组的人数分别占这两组合并后总人数的，．甲组的合格率为，乙组的合格率为．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件B表示选取的该人测试合格，则（）A. B. C. D.三．填空题（每小题5分，3小题共15分）12.集合，，则_____________13.随机变量，若，则________14.函数的最小值为____________四．解答题（15题13分，16题与17题均为15分，18题与19题均为17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.一箱5罐的饮料中2罐印有“中奖”标记，从中任意抽取3罐．（1）求3罐中都没有“中奖”标记的概率；（2）设X表示抽取的3罐中“中奖”的罐数，求随机变量X的分布列及期望．16.某服装品牌公司计划在周边W城市开设加盟分店，为了确定在W城市开设分店的个数，该公司对已有5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示每个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．（个）23456（十万元）2.5344.56（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；并预测如果开设10家分店，这10家分店的年收入之和是多少？（2）若该公司最终决定在W城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均为70人，其中20人会购买该品牌服装．完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异？

不下单下单合计分店一

分店二

合计

参考公式：，，，0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87917.已知函数（1）若，求函数的极值；（2）讨论的单调性．18.某师傅要将一个原件加工成一件精密产品，需经过3道工序，第1道，第2道，第3道加工成功的概率分别为，，，现按照顺序进行加工，只有上一道工序成功才能进行下一道工序．（1）求该原件被加工成合格品的概率；（2）设X表示师傅加工8个这样的原件成为合格品的件数，（ⅰ）求X的期望与方差；（ⅱ）求最有可能出现的合格品的件数．19.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：；（3）若，不等式，恒成立，求实数的最大值．

数学一．单项选择（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解答过程：解得或，即集合，则.2.某学校志愿服务小队共有3名高一学生和4名高二学生，为保障校园开放日参观秩序，现从中随机选取2名同学担任活动引导员，则这2人来自不同年级的选法共有（）种A.7 B.12 C.21 D.42答案：B解析：思路：从名高一、名高二中选人且年级不同，等价于高一、高二各选人，用分步计数与组合数计算.解答过程：不同年级的选法：先从名高一中选人，有种；再从名高二中选人，有种.由分步乘法计数原理，总选法数为.3.函数在处的导数为（）A.0 B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以于是4.“”是“函数的极值点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：由，得，令，得，令，得，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值点为，无极大值点，则“”是“函数的极值点”的充要条件.5.的展开式中常数项是（）A.15 B.60 C.64 D.240答案：B解析：思路：利用二项式展开式的通项，令的指数为0，求出参数，代入计算即可得到常数项.解答过程：由二项式定理，展开式的第项为，令，得，所以的展开式中常数项是.6.5名医生分成3个支教组，则不同的分组方式共有（）A.20种 B.25种 C.30种 D.150种答案：B解析：思路：先确定5人分3组的两类人数分配方案：1,1,3和2,2,1，分别计算两类无序分组的数量后求和即可.解答过程：将5名医生分为3个不区分次序的支教组，且每组至少1人，人数分配共两类：人数为1,1,3的分组：从5人中任选3人组成3人组，剩余2人各为1组，由于两个1人组无序，无重复计数，该类分组数为种；人数为2,2,1的分组：先从5人中选2人组成第一个2人组，再从剩余3人中选2人组成第二个2人组，剩余1人单独成组，由于两个2人组无序，需消除重复计数，故该类分组数为种，根据分类加法计数原理，总分组方式共有种.7.袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，3个黑球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：记第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件，则，，故．8.已知函数，若函数仅有一个零点，则k的取值范围（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将函数零点转换成两函数图象的交点，作出函数图象即可.解答过程：当时，在上单调递减，且.当时，，则，所以在是单调递增，且.令，即.因为函数仅有一个零点，所以的图象与直线只有一个交点，如图可得，即.方法提示：本题把函数零点问题转化为函数图象与水平直线的交点个数问题，分段研究左右两段的单调性与边界值，结合仅一个交点的条件锁定的范围，最终解出，要格外注意分段端点的取值验证.二．多项选择（本题有三个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分数，有选错得0分）9.已知，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：利用二项式定理写出的通项求各系数，并结合赋值求奇偶次项系数和.解答过程：由二项式定理，展开式的第项为对于选项A，常数项对应，所以.对于选项B，项对应，即，所以对于选项C，D令取，得取，得两式相加，得两式相减，得10.已知函数（），则（）A.函数的图象过点B.，使得函数是奇函数C.若函数在上单调递增，则D.若函数有三个不同零点，则答案：ABD解析：思路：根据函数的单调性、奇偶性及零点问题，借助导数，逐一分析各选项判断正误.解答过程：对于选项A，，与的取值无关，因此函数的图象恒过点，故选项A正确；对于选项B，若为奇函数，则满足对任意成立，即，化简得，，所以，此时是奇函数，因此存在满足条件，故选项B正确；对于选项C，，若在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以，故选项C错误；对于选项D，若有三个不同零点，则有两个不同实根，即，此时极点为，极大值，时恒大于0；极小值，解得，因此，故选项D正确.11.甲、乙两个小组参加某项测试，已知甲、乙两组的人数分别占这两组合并后总人数的，．甲组的合格率为，乙组的合格率为．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件B表示选取的该人测试合格，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：解答过程：由题意，，，，．对于A，，A正确．对于B，，B错误．对于C，，C正确．对于D，，D正确．三．填空题（每小题5分，3小题共15分）12.集合，，则_____________答案：（或区间形式）解析：思路：解一元二次不等式，再应用并集定义求解.解答过程：因为集合，，则.13.随机变量，若，则________答案：2解析：解答过程：由，则，而，则，解得.14.函数的最小值为____________答案：解析：思路：先确定函数定义域，求导后因式分解判断导数符号，确定单调性找到最小值点，代入计算即得结果．解答过程：函数定义域为，.令，得故（负根舍去），当时，即在上单调递减，当时，即在上单调递增，所以在处取得最小值四．解答题（15题13分，16题与17题均为15分，18题与19题均为17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.一箱5罐的饮料中2罐印有“中奖”标记，从中任意抽取3罐．（1）求3罐中都没有“中奖”标记的概率；（2）设X表示抽取的3罐中“中奖”的罐数，求随机变量X的分布列及期望．答案：（1）（2）分布列为：期望为（或）解析：（1）3罐中都没有“中奖”标记的概率为；（2）由题意的可能值为，，，，所以的分布列为：.16.某服装品牌公司计划在周边W城市开设加盟分店，为了确定在W城市开设分店的个数，该公司对已有5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示每个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．（个）23456（十万元）2.5344.56（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；并预测如果开设10家分店，这10家分店的年收入之和是多少？（2）若该公司最终决定在W城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均为70人，其中20人会购买该品牌服装．完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异？

不下单下单合计分店一

分店二

合计

参考公式：，，，0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879答案：（1）线性回归方程为，预测10家分店年收入之和为91万元（2）在犯错误的概率不超过的前提下，没有充分证据认为两个分店的顾客下单率有差异.

不下单下单合计分店一25530分店二502070合计7525100解析：思路：（1）利用最小二乘法公式求解回归系数，进而写出回归方程并预测；（2）完善列联表，求出的观测值，与临界值比较并得出结论.（1），，，，，，所以，当时，，预测10家分店年收入之和为万元.（2）完善列联表如下

不下单下单合计分店一25530分店二502070合计7525100零假设为：两个分店的顾客下单率无差异.,在犯错误的概率不超过的前提下，没有充分证据推断不成立，所以没有充分证据认为两个分店的顾客下单率有差异.17.已知函数（1）若，求函数的极值；（2）讨论的单调性．答案：（1）极小值为，无极大值；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.解析：思路：（1）对函数求导，判断函数的单调性，计算极值；（2）对函数求导，分类讨论参数，确定函数的单调性.（1），，，令，解得，，，，在上单调递增；，，，在上单调递减；所以时，取得极小值，极小值为，无极大值.（2），，当时，，，在上单调递增；当时，令，解得，，，，在上单调递增；，，，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.18.某师傅要将一个原件加工成一件精密产品，需经过3道工序，第1道，第2道，第3道加工成功的概率分别为，，，现按照顺序进行加工，只有上一道工序成功才能进行下一道工序．（1）求该原件被加工成合格品的概率；（2）设X表示师傅加工8个这样的原件成为合格品的件数，（ⅰ）求X的期望与方差；（ⅱ）求最有可能出现的合格品的件数．答案：（1）（2）（ⅰ）;（ⅱ）解析：思路：（1）三道工序需全部成功才能得到合格品，各工序相互独立，由独立事件的概率乘法公式计算可得；（2）（ⅰ）利用二项分布的均值和方差公式求解；（ⅱ）设为使概率最大时的的值，求解不等式，取整即得答案.（1）三道工序需全部成功才能得到合格品，各工序相互独立，故原件加工为合格品的概率为；（2）（ⅰ）每个