宁夏回族自治区石嘴山市2025-2026学年高二下册7月期末教学质量检测数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{是小于5的正整数}，，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.0 B. C. D.23.已知等差数列中，，，则（）A.6 B.7 C.8 D.94.已知向量，，那么向量与（）A.垂直 B.平行 C.夹角是锐角 D.夹角是钝角5.已知圆与直线相切，则实数（）A. B.0 C. D.0或6.已知函数，与其相应的函数的图象如图所示，则（）A. B. C. D.7.将6名教师分配到2所中学任教，每所中学至少分到两人，其中甲乙两人不能在同一所学校，甲丁必须在同一所学校，则不同的分配方案共有（）A.6种 B.7种 C.8种 D.14种8.若函数有2个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.函数的最大值为2B.函数的最小正周期为C.函数的图象关于点对称D.将函数的图象向左平移个单位长度，可得到的图象10.已知数列的前项和为，且，，则（）A.是递增数列 B.C.数列是等差数列 D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，则（）A. B.C.双曲线的离心率是 D.内切圆的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线方程为__________.13.已知随机变量，则__________.14.在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求．16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.17.已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点．（1）求的标准方程；（2）一组平行直线的斜率是1，当它们与椭圆有两个公共点时，证明：这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．18.为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，某数学兴趣小组从所在学校随机抽取容量为200的样本，整理得到如右表所示的列联表.数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀6040100不优秀3070100合计90110200（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）按分层抽样的方法，从数学成绩优秀的样本中选出5人组成一个小组，再从选出的5人中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的分布列和数学期望.（3）统计学中常用表示在事件发生条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件发生条件下事件发生有优势、现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据估计的值，并判断事件发生条件下事件发生是否有优势.附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819.已知函数.（1）当时，（i）求函数的最小值；（ii）求证：对于任意的正整数，都有.（2）当时，，求的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{是小于5的正整数}，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，，所以.2.已知，则（）A.0 B. C. D.2答案：C解析：解答过程：由得，所以.3.已知等差数列中，，，则（）A.6 B.7 C.8 D.9答案：B解析：解答过程：法一：（等差中项法）由等差中项可得，所以.法二：（通项公式法）由解得，所以.4.已知向量，，那么向量与（）A.垂直 B.平行 C.夹角是锐角 D.夹角是钝角答案：C解析：解答过程：因为，且，根据数量积定义，所以.又因为，所以.5.已知圆与直线相切，则实数（）A. B.0 C. D.0或答案：D解析：思路：利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数.解答过程：由圆，可得圆心坐标为，半径.因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为，令，即，解得或.6.已知函数，与其相应的函数的图象如图所示，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据函数的图象读出其周期性及特定点的函数值，利用变量代换将求的值转化为求图象上对应点的纵坐标求解.解答过程：设，由题中图象可知，函数的图象是以为周期的周期函数，即.且，，.对于选项A，令

，解得

，则

.由图象可知，所以，故选项A错误.对于选项B，令，解得，则.由图象可知，所以，故选项B错误.对于选项C，令，解得，则.因为，根据周期性可知.由图象可知，所以，故选项C正确.对于选项D，令，解得，则.因为，根据周期性可知.由图象可知，所以，故选项D错误.7.将6名教师分配到2所中学任教，每所中学至少分到两人，其中甲乙两人不能在同一所学校，甲丁必须在同一所学校，则不同的分配方案共有（）A.6种 B.7种 C.8种 D.14种答案：D解析：思路：先求出甲丁在同一所学校、甲乙两人不在同一所学校的分配方案，再减去其中不满足每所中学至少分到两人的情况即为最终结果.解答过程：因为甲丁必须在同一所学校，甲丁的任教学校有种选择，乙的学校随甲丁的选择唯一确定（与甲丁不同校）；剩余3名教师每人可任选两所学校中的一所，共种选择，因此总分配数为种.又因为每所中学至少分到两人，上述方案中不符合的情形：乙单独在一所学校，剩余3名教师均与甲丁在另一所学校，此时有种选择.所以符合要求的分配方案数为种.8.若函数有2个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将零点问题转化为与的交点问题，通过求导分析的单调性、极值与极限，即可确定的取值范围.解答过程：令，问题转化为与有2个交点时的取值范围.，由于对任意恒成立，因此当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.故的最小值为.时，衰减速度远快于多项式增长速度，.时，，且.因此时，无交点，无零点，时，仅1个交点，有1个零点，时，有两个交点，有2个零点.时，仅1个交点，有1个零点.因此的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.函数的最大值为2B.函数的最小正周期为C.函数的图象关于点对称D.将函数的图象向左平移个单位长度，可得到的图象答案：BD解析：思路：根据正弦函数的值域即可判断A选项；由正弦型函数最小正周期公式和对称中心判断B，C选项；根据图象平移变换（左加右减）判断D选项.解答过程：正弦函数的值域为,因此的最大值为1，A选项错误；的最小正周期，B选项正确；因为，所以不是的对称中心，C选项错误；函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象，D选项正确.10.已知数列的前项和为，且，，则（）A.是递增数列 B.C.数列是等差数列 D.答案：ACD解析：思路：先根据递推关系判断是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式、前项和公式逐一分析选项.解答过程：对于选项A，由得数列是首项为，公差的等差数列，又因为，因此是递增数列，A选项正确；对于选项B，等差数列通项公式为，B选项错误；对于选项C，等差数列前项和公式，所以.因为为常数，所以数列是公差为1的等差数列，C选项正确；对于选项D，令，解得，所以.根据得，代入上式得，D选项正确.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，则（）A. B.C.双曲线的离心率是 D.内切圆的半径为答案：ABD解析：思路：A，通过点到直线距离公式求解并通过双曲线性质求解，B，通过三角函数诱导公式和正弦定理求解和，C，通过余弦定理求出后利用离心率的定义求解离心率，D，通过三角形内切圆半径和三角形面积、周长间的数量关系求解.解答过程：如图，作出符合题意的图形，选项A，因为渐近线为，，所以，又，所以，正确.选项B，因为，所以，所以，又，所以.，，解得，正确.选项C，因为，所以.又，所以，所以离心率为，错误.选项D，由题意得，得到周长.因为内切圆半径，正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线方程为__________.答案：解析：解答过程：对函数求导得，则，所以函数在处的切线方程为，即.13.已知随机变量，则__________.答案：##0.875解析：思路：根据二项分布的概率公式求出，再根据即可求解.解答过程：因为随机变量，所以，所以.故答案为：.14.在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________.答案：解析：思路：通过确定三角形外接圆圆心位置并利用相似三角形确定球心位置，最后求解外接球表面积.解答过程：取中点，因为，所以为等边三角形.因为且，所以为直角三角形，由对称性可作于点.因为，，故为二面角，.，.因为外接圆圆心位于，外接圆圆心位于，且，所以球心满足平面且平面，故，解得，所以球半径，因此表面积.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即可.（2）由（1）的结论结合已知，利用正弦定理求解即得.（1）在中，由及余弦定理，得，而，所以.（2）由，且，则，由正弦定理得：，即，所以.16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）因为，分别是，的中点，所以，又因面，面，所以面.（2）解析：思路：（1）运用线面平行的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量的坐标与平面的法向量从而进行求解.（1）略（2）过点作垂直直线于点，由题目可得为的中点，面，则以为轴的正方向，以为轴的正方向，过点作平行于且以为轴的正方向，则由题可得，故，设面的法向量为，则，即，令，则解得，设直线与平面所成角为，则.17.已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点．（1）求的标准方程；（2）一组平行直线的斜率是1，当它们与椭圆有两个公共点时，证明：这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．答案：（1）（2）证明：设直线为，直线与椭圆交点为，中点坐标为；联立方程可得；因为直线与椭圆有两个公共点，故，解得，即；则，则；可得中点坐标，故，则，；故中点在直线上．解析：思路：（1）根据焦点坐标可得c的值，代入点的坐标，利用椭圆a，b，c之间的关系求椭圆的标准方程；（2）设直线方程，联立方程利用韦达定理求出中点坐标，证明这些点在同一条直线上．（1）因为椭圆的两个焦点坐标分别为，，故；设椭圆方程为，椭圆经过点，则，且，代入解得，；故椭圆的标准方程为；（2）略18.为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，某数学兴趣小组从所在学校随机抽取容量为200的样本，整理得到如右表所示的列联表.数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀6040100不优秀3070100合计90110200（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）按分层抽样的方法，从数学成绩优秀的样本中选出5人组成一个小组，再从选出的5人中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的分布列和数学期望.（3）统计学中常用表示在事件发生条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件发生条件下事件发生有优势、现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据估计的值，并判断事件发生条件下事件发生是否有优势.附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）能认为数学成绩与语文成绩有关联；（2）的分布列为：123数学期望；（3）的估计值为（或1.75），事件发生条件下事件发生有优势.解析：思路：（1）利用公式求的值，比较所给数据可得结论.（2）根据超几何分布求分布列和期望.（3）用频率估计概率，估算的值，再进行判断即可.（1）因为，且，所以根据的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联.（2）从数学成绩优秀的100人选出的5人小组中，语文成绩优秀的有人，语文成绩不优秀的有人.从这5个人中选3人，语文成绩优秀的人数所有可能的取值为1,2,3.且，，.所以的分布列为：123所以.（3）用样本频率估计概率，可得，.所以.因为，所以事件发生条件下事件发生有优势.19.已知函数.（1）当时，（i）求函数的最小值；（ii）求证：对于任意的正整数，都有.（2）当时，，求的取