江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2025-2026学年高二下册7月期末考试数学试卷-含答案

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.函数的定义域为（

）A. B.C. D.2.若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（）A. B. C. D.33.的最小值为（）A. B.9 C.8 D.4.已知，，，则，，的大小关系为（

）A. B.C. D.5.奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（）A. B. C.， D.6.若曲线与曲线相切，则的值是（）A.-1 B.0 C.1 D.27.已知函数的定义域为，，是奇函数．且当时，，则函数的零点个数为（）A.10 B.9 C.8 D.68.已知，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（）A. B.C. D.11.已知函数，则下列结论错误的是（）A.的单调递增区间是，单调递减区间是B.的值域为RC.D.若，，，则．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.13.已知函数，满足对任意，都有，若数列满足，则的取值范围为________．14.设，．已知定义在上的两个函数和具有相同的最大值，则的最大值为_______．四、解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．16.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．17.已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前2026项和．18.已知函数，．（1）当，解不等式．（2）若有2个零点，证明：．（3）当时，正数m，n满足，，用a表示的取值范围．19.已知函数（），．（1）若，求的单调区间；（2）若恒成立，求的值；（3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.函数的定义域为（

）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由题意得，解得或，所以函数的定义域为.2.若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（）A. B. C. D.3答案：C解析：解答过程：若数列，a，b，c，是等比数列，则，可得，即.3.的最小值为（）A. B.9 C.8 D.答案：B解析：解答过程：，当且仅当，即时取等.4.已知，，，则，，的大小关系为（

）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：因为，因为函数在上单调递增，所以，即.又，所以.5.奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（）A. B. C.， D.答案：B解析：思路：由得到，由是奇函数得到，由是定义域为上的增函数得到，求解此不等式组就是的取值范围.解答过程：，，是奇函数，转化为，是定义域为上的增函数，，，，的取值范围是.故选：B.6.若曲线与曲线相切，则的值是（）A.-1 B.0 C.1 D.2答案：B解析：思路：根据绝对值的性质对进行分段讨论，再结合导数的几何意义求出切点，进而求出的值.解答过程：当时，；当时，.因为的定义域为，所以两曲线的切点在上.

对求导得.

因为两曲线相切，所以在切点处它们的斜率相等，即.解方程，解得.

把代入得，所以切点坐标为.

把切点代入得，即.因为，所以.故选：B.7.已知函数的定义域为，，是奇函数．且当时，，则函数的零点个数为（）A.10 B.9 C.8 D.6答案：A解析：思路：利用对称性、奇偶性与周期性，结合函数的图象分析判断即可.解答过程：因为函数的定义域为，且满足，所以函数的对称轴为：，又是奇函数，则，所以函数关于点中心对称，由函数关于直线对称，所以，所以，又，所以函数的周期为，且当时，，根据对称性和周期性可得函数的图象，由题意知函数的零点个数等价于函数与函数图象交点个数，由定义域为，且，所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数，且，如图所示：由图可知函数与函数图象有个交点，故函数有个零点.8.已知，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：法一：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解；法二：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解.解答过程：解法1：因为是上增函数，则即为，所以，.令，则，当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增，故，因此，即的取值范围是，故选：B.解法2：因为是上增函数，则即为，所以，.令，则，当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增，，因此，即的取值范围是，故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：CD解析：解答过程：对于选项A：若，则，可得，故为假命题；对于选项B：例如，但，故为假命题；对于选项C：若，则，可得，故为真命题；对于选项D：若，则，故为真命题.10.已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：A令可得；B利用化简得出数列是等差数列；C利用等差数列求出，再结合函数的单调性判断；D举反例.解答过程：令，则，得（舍负），故A正确；因为，所以，得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故B正确；易得，则，则，因为符合上式，故，因为在上单调递减，所以，故C正确；因为，所以，故D错误.11.已知函数，则下列结论错误的是（）A.的单调递增区间是，单调递减区间是B.的值域为RC.D.若，，，则．答案：AD解析：思路：由导函数在定义域上恒成立即可判断A；由函数单调性和函数值情况即可判断B；由即可分析判断C；将转化变形为得到即可分析判断D.解答过程：对于A选项，的定义域为，在定义域上恒成立，故的单调递增区间是，，故A选项错误；对于B选项，当时，，当时，；当时，，当时，趋向于，故的值域为，故B选项正确；C选项，时，，又，所以，故C正确；对于D选项，，又，故，故，因为，所以，又，在上单调递增，故，即，故D选项错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.答案：解析：思路：根据复合函数的定义域进行求解.解答过程：因为原函数的定义域为，所以，即.所以函数的定义域为.故答案为：.13.已知函数，满足对任意，都有，若数列满足，则的取值范围为________．答案：解析：思路：利用函数单调性的定义先判断出函数在上为单调递增，然后两段函数均为单调递增函数结合交界点处函数值的大小，列出不等关系式，求解即可.解答过程：因为对任意都有，所以函数在上为单调递增，所以，得，解得，对于数列满足，当时，当时，递增，当时，递增，当时，，当时，，由，得，满足递增，所以，即的取值范围为14.设，．已知定义在上的两个函数和具有相同的最大值，则的最大值为_______．答案：3解析：思路：由对勾函数的性质求得上最大值为5，再由二次函数的性质及分类讨论研究的最值得到参数关系，进而求的最大值.解答过程：由在上单调递减，在上单调递增，且或4时，根据二次函数的性质知，的图象开口向上且对称轴为，而，且，当时，，则，此时，所以，当且仅当时取等号；当时，，则，此时，所以；综上，当时最大.故答案为：3四、解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可.(2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围,（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集，当时，由，可得；当时，，即，又（等号不同时取），解得，又，．综上，实数m的取值范围为．（2）若时，当时，即，可得；当时，需满足或，解得（舍）或，即，时,.16.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．答案：（1）底面为矩形，，又平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，可知平面平面；（2）解析：思路：（1）由线面垂直证明面面垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解．（1）略（2）由（1）可知，，两两垂直，以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知，，，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，可得，，可得，；因此直线与平面所成角的正弦值为，即余弦值为．17.已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前2026项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由递推关系求解数列的通项公式；（2）由及倒序相加求数列的和．（1）点均在函数的图象上，，当时，，即，当时，，满足上式，；（2），，，，①，又②，①②，得，．18.已知函数，．（1）当，解不等式．（2）若有2个零点，证明：．（3）当时，正数m，n满足，，用a表示的取值范围．答案：（1）（2）设，原题等价于有两正解，即有两正解，注意到，由韦达定理知，即，而，可得．（3）解析：思路：（1）直接代入，利用对数单调性去掉对数符号，转化为分式不等式求解；（2）零点即有解，且真数恒成立.转化为关于的方程有根问题，再用根的分布列不等式；（3）先利用求出的范围，再化简对数部分，最后转化为分式函数的值域问题.（1）原式等价于，可得，或（舍）所以原不等式的解为．（2）略（3）由，得，当且仅当，时取等号．，则令，则，且；下面判断函数的单调性．，，显然其单调性与相同，，令，则且，对应的函数为，当时，取，，故在上单调递减，在上单调递减，即的单调递减区间为.由单调性可知，方法提示：方法点睛：（1）换元降次，注意定义域对解集的影响.（2）零点个数转化为二次方程根的分布，用判别式和韦达定理控制.（3）多变量问题要逐步消元，先固定，的关系求范围，再化简对数部分，最后转化为单变量函数的值域.19.已知函数（），．（1）若，求的单调区间；（2）若恒成立，求的值；（3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值．答案：（1）在上单调递增，上单调递减（2）（3）3解析：思路：（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间.（2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解（3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值.（1