江西省南昌市南昌中学三经路校区2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知为虚数单位，，则（）A. B. C.2 D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知，，，则（）A. B. C. D.4.已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（）A.1 B.2 C. D.5.如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（）A.B.C.D.6.已知函数与的图象在处的切线重合，则（）A. B. C. D.7.已知数列的通项公式为，若该数列的前项和为，则（）A. B. C. D.8.同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，此时称与为同构式.已知实数满足，，则（）A.6 B.8 C. D.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选项的得0分.9.下列说法中，正确的命题是（）．A.已知随机变量服从正态分布，，则B.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则D.若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为210.下列命题正确的是（）．A.正实数x，y满足，且恒成立，则a的范围B.若对，总，使得成立，则a的范围为C.若集合M满足，那么这样的集合M有8个D.定义在R上的函数满足，则11.已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（）A.若P的坐标为，则PM，PN的方程为和B.线段PM的长度的最小值为C.四边形PMCN的面积的最小值为D.直线MN过定点三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知，，若，则________．13.定义在上的函数满足：对于任意的，，都有恒成立，且对于任意，都有，同时，则不等式的解集为______.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，,过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________．四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知数列满足，，是等比数列．（1）求证：；（2）求数列的前项和．16.如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求点到平面的距离．17.某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11109分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分的分布列及数学期望（精确到整数）．18.已知椭圆短轴的两个端点与椭圆的右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.（1）求椭圆的离心率及其标准方程；（2）过点的直线交椭圆于P，Q两点，线段的中点为M，问在y轴上是否存定点D，使得？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由.19.俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”.（1）函数，求的“偏差”；（2）函数，若的“偏差”为2，求的值；（3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值.

数学一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知为虚数单位，，则（）A. B. C.2 D.答案：D解析：思路：利用复数除法求得的值，再用复数的绝对值公式求解即可.解答过程：由题，则=.故选：D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：因为集合是分式不等式的解集，所以可将其转化为等价的整式不等式组来求解，注意分母不为0的条件，求出集合后，根据补集的定义求出.最后根据交集的定义，计算与集合的交集.解答过程：因为集合，则，所以.故选：B.3.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用函数性质，借助中间值进行大小比较.解答过程：由对数函数性质可知，；由指数函数性质可知，，因为且，所以；又，因为且，所以.综上所述，.故选：A.4.已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（）A.1 B.2 C. D.答案：B解析：思路：由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解.解答过程：由抛物线可得，即，因此其准线方程为，已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3，即

，解得.5.如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（）A.B.C.D.答案：B解析：思路：记点E为BC的中点，连接AE，OE，G是的重心，则，又，化简可得选项．解答过程：如图，记点E为BC的中点，连接AE，OE，所以，又G是的重心，则，所以.因为，所以.6.已知函数与的图象在处的切线重合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：依题意，两函数在处的切线斜率相等，即导数相等，结合均过公共点求解解答过程：由题意知，，且，因为，，所以，，解得，当时，代入，得，又，所以，所以.7.已知数列的通项公式为，若该数列的前项和为，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：化简通项公式，利用裂项相消法即可求解.解答过程：因为数列的通项公式为，当为奇数时，，当为偶数时，，所以，故选：B.方法提示：本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．8.同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，此时称与为同构式.已知实数满足，，则（）A.6 B.8 C. D.答案：B解析：思路：利用同构式结合函数的单调性计算即可.解答过程：由，则令，则，故在单调递增，所以，所以，故，故故选：B.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选项的得0分.9.下列说法中，正确的命题是（）．A.已知随机变量服从正态分布，，则B.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则D.若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2答案：CD解析：思路：利用正态分布的对称型可以求得的值，进而判定A错误;根据相关系数的意义可以判定B错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据，，…，的方差，进而判定D正确.解答过程：A.已知随机变量服从正态分布，，则，所以，所以,∴，故A错误；B.线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C正确；D.设数据，，…，的方差为,样本数据，，…，的方差为8，则，即数据，，…，的方差为2，故D正确.故选:CD.方法提示：本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般.10.下列命题正确的是（）．A.正实数x，y满足，且恒成立，则a的范围B.若对，总，使得成立，则a的范围为C.若集合M满足，那么这样的集合M有8个D.定义在R上的函数满足，则答案：ACD解析：思路：选项A：由整理得到，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到的最小值，解此不等式即可得a的取值范围；选项B：由题意可得，分别求这两个函数的最大值即可得解；选项C：由题意可知集合M的个数即为集合的子集个数，即可得解；选项D：因为，所以，通过这两个等式求出.解答过程：选项A：，，，，，“”成立，当且仅当，联立，解得，的最小值为4，，，的取值范围．故A正确．选项B：对任意，总存在，使得成立，所以，设，对称轴为，，当时，取最大值为，在上单调递增，当时，取最大值为3，，，所以．故B错误；选项C：满足，中一定含有元素1，2，可能含有元素3，4，5，的个数即为集合的子集个数，有个，故C正确；选项D：①，②，由①+2×②得：，故D正确．故选：ACD．11.已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（）A.若P的坐标为，则PM，PN的方程为和B.线段PM的长度的最小值为C.四边形PMCN的面积的最小值为D.直线MN过定点答案：ACD解析：思路：选项A，求出圆心和半径，分别讨论过的直线无斜率和有斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求解；选项B，求出，求的最小值转化为求的最小值，由点P是直线l：上一动点，转化为的最小值为圆心到直线的距离，求解即可；选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成，则四边形PMCN的面积，利用最小时最小，求解即可；选项D，设，得到直线MN的方程为，求出直线MN过定点即可.解答过程：选项A，圆C：的圆心为，半径为，当过的直线无斜率时，此直线方程为，圆心到的距离为2，故直线与圆相切；当过的直线有斜率时，设此直线方程为，，圆心到的距离为，直线方程为与圆相切，，，，过的切线方程为，即，综上可知，若P的坐标为，则PM，PN的方程为和，故选项A正确；选项B，，求的最小值转化为求的最小值，点P是直线l：上一动点，的最小值为圆心到直线的距离，，故选项B错误；选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成，则四边形PMCN的面积，当最小时，最小，由选项B中可知，，即则四边形PMCN的面积的最小值为，故选项C正确；选项D，点P是直线l：上一动点，设，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为，即，整理得，，解得，则直线MN过定点，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知，，若，则________．答案：解析：思路：由向量垂直的坐标公式求解即可.解答过程：已知，，由于，所以，解得.13.定义在上的函数满足：对于任意的，，都有恒成立，且对于任意，都有，同时，则不等式的解集为______.答案：##解析：思路：由分析得到函数的单调性，由，同时，得到，原不等式转化为，进而结合单调性转化求解.解答过程：不妨设<，由恒成立，得恒成立，可知函数在上单调递增，，同时，可知,∴不等式即为，等价于，解得，∴所求不等式的解集为，故答案为：.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，,过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________．答案：解析：思路：先计算，在中，根据勾股定理得得到渐近线方程.解答过程：如图所示：切点为，连接，过作于是中点，在中，根据勾股定理得：渐近线方程为：故答案为方法提示：本题考查了双曲线的渐近线，作辅助线是解题的关键，也可以直接利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知数列满足，，是等比数列．（1）求证：；（2）求数列的前项和．答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：(1)由已知条件得到数列的公比，从而求出的通项公式，即可证明.(2)利用分组求和即可求解.解答过程：解：（1）证明：，，，．设等比数列的公比为，则，即，解得．．．（2）由（1）知：．．16.如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求点到平面的距离．答案：（1）连接，交点O，连接，则O是的中点，因为D是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为为等边三角形，且D是的中点，所以，由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（3）解析：思路：（1）连接，交点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论；（2）由已知得、，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论；（3）根据（2）得点A到平面的距离为，应用等体积法求点面距离.（1）略（2）略（3）由（2）知平面，所以点A到平面的距离为，而2，4，设点B到平面的距离为d，且，所以，即，解得，所以到平面的距离为．17.某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11109分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分的分布列及数学期望（精确到整数）．答案：（1）；（2）答案见解析.解析：思路：（1）首先设表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，由题设知事件的所有可能情况有：，或，由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率．（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．解答过程：（1）记表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，由题设知事件的所有可能情况有：，或，（A）．（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，则，，，，，的分布列为：99.51010.511．方法提示：易错点点睛：概率问题一般都是背景习题，所以第一步注意审题，避免因审题不清楚，造成错误，第二个错误就是写随机变量时，要做到准确，并理解每一个事件表示的意义，才能正确求概率，属于中档题．18.已知椭圆短轴的两个端点与椭圆的右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.（1）求椭圆的离心率及其标准方程；（2）过点的直线交椭圆于P，Q两点，线段的中点为M，问在y轴上是否存定点D，使得？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）；（2）.证明见解析.解析：思路：（1）由已知求得b,c进而得到方程；（2）问题等价转化为探求以PQ为直径的圆与y轴的交点D是否为定点.先利用斜率不存在和斜率为零的两种特殊情况，确定可能的D的坐标，然后利用平面向量的垂直条件，利用韦达定理，平面向量的坐标运算证明一般情况下都成立.解答过程：（1）由已知得：,∴椭圆的离心率方程为;（2）存在，D(0,