江西省南昌市南昌中学三经路校区2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.如图，已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.3.在中，若，则的形状是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.已知，则（）A. B. C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.在三棱锥中，，平面平面，，，，则（）.A. B. C. D.8.在中，若，，，则（）A. B. C. D.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.若，则B.C.若，则为纯虚数D.若，则的最小值为110.已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（）A.与的夹角为钝角B.向量在方向上的投影为C.D.的最大值为211.已知函数的部分图象如图所示，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（）A. B. C. D.三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数，，则此函数的值域是______.13.在中，，，，且，则______．14.在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则下列命题中，正确的命题共有_______个．（1）；（2）平面；（3）平面平面；（4）三棱锥的外接球表面积为．四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知复数.（1）实数m为何值时，复数z为纯虚数；（2）若，请计算.16.如图，在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若D为BC边上一点，，求AB的长.17.已知，．（1）求；（2）若，求的值．18.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点.（1）求证：；（2）求直线与直线所成角的余弦值；（3）求三棱锥的体积.19.如图1，在矩形ABCD中，，，M是边BC上的一点，将沿着AM折起，使点B到达点P的位置.（1）如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证：平面PAM；（2）如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.①求证：平面PAD；②求点M的位置，使三棱锥的外接球的体积最大，并求出最大值.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接对已知式子化简即可解答过程：，故选：A．2.如图，已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题设确定底面周长，再由圆锥侧面积的求法求其侧面积.解答过程：由题设，圆锥底面半径为2，则底面周长为，所以圆锥的侧面积为.故选：B.3.在中，若，则的形状是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：A解析：思路：先利用正弦定理边化角，再利用两角差的正弦公式得到，最后结合正弦函数的性质得到，判断三角形形状即可.解答过程：在中，因为，所以结合正弦定理可得，则，可得，由两角差的正弦公式得，因为，，所以，可得，解得，即的形状是等腰三角形，故A正确.故选：A4.已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：利用线面垂直的性质判断C，举反例判断A，B，D即可.解答过程：对于A，若，，则可能会相交也可能平行，故A错误，对于B，若，，则可能会相交或平行，故B错误，对于C，由线面垂直的性质得若，，则，故C正确，对于D，若，，则或，故D错误.故选：C5.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式求解即可.解答过程：由题意结合诱导公式得，由二倍角的余弦公式得，故B正确.故选：B6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据切化弦以及两角和差公式解出，代入两角差的余弦公式即可.解答过程：由题意可得，即，，故.故选：A.7.在三棱锥中，，平面平面，，，，则（）.A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用勾股定理与特殊角求得，再由面面垂直的性质定理推得，从而得解.解答过程：依题意，作出图形如图，因为，，所以，因为，，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，所以．故选：C.8.在中，若，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用正弦定理及三角形内角和性质求出角A的余弦值，再利用向量数量积公式求解即可.解答过程：由题，根据正弦定理，即，求得，又因为，所以角C为锐角，故，因为，所以故选：C二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.若，则B.C.若，则为纯虚数D.若，则的最小值为1答案：ABD解析：思路：选项A，根据复数除法运算，求得，再根据模长运算即可求解；选项B，令，分别计算和，即可判断；选项C，设，由得，可解得，但要注意的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断.解答过程：对于A，根据复数除法，，则，所以A正确；对于B，令，则，所以，，所以，故B正确；对于C，设，则，，所以，，因为，即，解得，，所以当，，不是纯虚数，故C错误；对于D，当，复数对应的点在单位圆上，即，表示复数对应的点到点的距离，最小值为圆心到点的距离减去半径，即最小值为，故D正确.故选：ABD.10.已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（）A.与的夹角为钝角B.向量在方向上的投影为C.D.的最大值为2答案：CD解析：思路：通过求出，向量在方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论.解答过程：由题意，均为正数，，A项，∵，∴与的夹角不为钝角，A错误；B项，∵，∴向量在方向上的投影为，B错误；C项，∵，，∴，即，C正确；D项，∵，即，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2，D正确；故选：CD.11.已知函数的部分图象如图所示，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：根据给定的函数图象，结合五点法作图及函数零点求得，再结合已知逐项分析判断.解答过程：函数的最小正周期为，由图象得，令，得，解得，即，又，则，，由，得，解得，，，所以均为定值，而的值不确定，则不确定.故选：ACD三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数，，则此函数的值域是______.答案：解析：思路：利用辅助角公式化简，然后由正弦函数性质求解可得.解答过程：，因为，所以，所以，所以，即此函数的值域为.故答案为：13.在中，，，，且，则______．答案：##解析：思路：根据向量的线性运算，结合数量积的运算律可得，即可求解.解答过程：由于，故,故,又,故,故,故，由于，故，故答案为：14.在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则下列命题中，正确的命题共有_______个．（1）；（2）平面；（3）平面平面；（4）三棱锥的外接球表面积为．答案：4解析：思路：对于（1）：先证明平面,利用线面垂直的性质定理即可证明；对于（2）：利用线面平行判定定理即可证明；对于（3），由线面垂直得到面面垂直，说明线在面上即可：，对于（4）：求出外接球的半径即可得到结果.解答过程：对于（1）：因为正三棱柱，所以平面,又因为平面，故,又因为三角形为正三角形，为的中点，故,因为,且平面，故平面，又因为平面，所以，故命题（1）正确；对于（2）：如图，连接两线相交于点，再连接，因为是正三棱柱，所以四边形为长方形，故点为线段的中点，又因为为的中点，所以为三角形的中位线，故,因为平面，平面，所以平面，故命题（2）正确；对于（3）：因为平面，平面，所以平面平面，故命题（3）正确.对于（4）：因为是正三棱柱，所以平面,所以球心到平面的距离为,又因为三角形的外接圆半径为，所以外接球半径,故，故命题（4）正确；四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知复数.（1）实数m为何值时，复数z为纯虚数；（2）若，请计算.答案：（1）（2）解析：思路：（1）复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得；(2)利用复数的运算法则计算可得，结合复数的几何意义即可求解.（1）欲使z为纯虚数，则，解得；（2）当时，，所以，所以.16.如图，在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若D为BC边上一点，，求AB的长.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式化简整理得，结合三角形内角的性质得，即可得；（2）应用余弦定理求得，最后应用正弦定理求AB的长.（1）由正弦定理，得，即，即．∵，则．∴，即，又，∴．（2）在中，，，，∴，，∴．在中，，，，由正弦定理，得，可得.17.已知，．（1）求；（2）若，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据和差角公式化简可得，结合同角三角函数的基本关系可得结果.（2）根据同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角差的正弦公式可求解.（1）因为，所以，化简得，因为，所以，所以，即，故.（2）由，得，且，所以.因为，所以，由得，所以，所以.18.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点.（1）求证：；（2）求直线与直线所成角的余弦值；（3）求三棱锥的体积.答案：（1）取的中点为，连接，由分别是棱的中点，可得：，，由正方体的性质可得：平面，，所以可得：平面，，又因为平面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）（3）解析：思路：第一问，构造线面垂直；第二问通过平行关系，将异面直线所成角变成平面角，求解边长并求出余弦值；第三问，通过平行转化成求相同高度的锥体体积，再在同一个锥体中转换底面即可.（1）略（2）在线段上取一点，使得，易证，所以为异面直线所成角，因为，，所以.（3），平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，则．19.如图1，在矩形ABCD中，，，M是边BC上的一点，将沿着AM折起，使点B到达点P的位置.（1）如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证：平面PAM；（2）如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.①求证：平面PAD；②求点M的位置，使三棱锥的外接球的体积最大，并求出最大值.答案：（1）如图，取PA的中点E，连接ME和EN，则EN是的中位线，所以且，又且，所以且，所以四边形ENCM是平行四边形，所以，又平面PAM，平面PAM，所以平面PAM.（2）①由平面AMCD，平面PFH，得，又已知，且AD，PH是平面PAD内两条相交直线，所以平面PAD.②M位于点C，解析：思路：（1）根据线面平行的判定即可得证；（2）①根据线面垂直判定可证；②先分析得O是三棱锥外接球的球心，再求得直径，然后根据函数的单调性求出最值，进而利用球的体积公式求出球的体积的最大值即可（1）略（2）①略②，由①知平面PAD，又平面PAD，所以，所以是，由平面AMCD，平面AMCD，所以，是.如图，取PC的中点O，则点O到三棱锥各顶点的距离都相等，所以O是三棱锥外接球的球心.如图，过点P作于F，连HF和BF，因为平面AMCD，平面AMCD，所以，又PF，PH是平面PHF内两条相交直线，所以平面PFH，又平面PFH，所以，由和翻折关系知，所以B，F，H三点共线，且，设，则，，又，所以，，，由，得，所以，，所以，，因为在时单调递增，所以时，有最大值，此时，点M位于点的C位置，所以，，.所以点M位于点的C时，三棱锥外接球的