山东省泰安市2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.下列选项正确的是（）A.若，则B.的充要条件是且C.若，，则D.若平面内不共线的四个不同的点满足，则四边形是平行四边形3.已知非零向量，，，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.对于不同的直线，和不重合的平面，，，下列选项不正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则5.如图，在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达处，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米6.已知在四面体中，，，的中点为，则直线与直线夹角的余弦值为（）A. B. C. D.7.先后抛掷一枚骰子两次，记事件甲为“第一次的点数为奇数”，事件乙为“第二次的点数为偶数”，事件丙为“两次点数之和是8”，事件丁为“两次点数之和为7”，这四个事件中，相互独立的是（）A.甲与丙 B.甲与丁 C.乙与丙 D.丙与丁8.已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（）A.5：2 B.1：4 C.5：8 D.4：1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是复数，为虚数单位，则下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.已知是关于的方程的一个根，，，则10.下列选项正确的是（）A.如果事件，互斥，那么是必然事件B.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的第40百分位数为20，则C.用分层随机抽样抽取的样本共分2层，第1层样本的平均数为2，方差为2，第2层样本的平均数为6，方差为1．若第1层与第2层的样本容量之比为1：3，则总样本的方差为D.若的平均数为3，方差为4，则11.如图，已知在三棱锥中，，，平面，，，分别为，上的动点，，则下列选项正确的是（）A.EF与BD所成的角为B.若平面与平面所成的锐二面角的大小为，则C.三棱锥的体积为D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某学校高一，高二，高三年级学生人数之比为，为了了解学生平均每学期阅读文学名著的情况，利用分层抽样的方法抽取了容量为40的样本，则从高二年级抽取的学生人数为________．13.如图的组合体是一个正四棱锥和一个正四棱台拼接而成的，已知，则这个组合体的表面积为________．14.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知在中，，是线段的中点，过的直线交线段于点，交线段于点，，．（1）用向量，表示；（2）求的值．16.学生体质健康状况是评价学生综合素质的一个重要指标，结合新时期青少年体质健康状况和体育教育教学工作实际，高一年级随机抽取了40名学生进行体质测试，成绩分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求抽取的名学生的成绩的中位数；（3）若从抽取的成绩在的学生中任取2人，求这两名学生成绩都在内的概率．17.近年来，共享电动车在许多城市迅速流行起来，成为人们日常出行的重要选择．已知某品牌共享电动车收费标准如下：按租车时间t（分钟）分段计算，时，收费3元，时，收费4元，时，收费5元．现甲，乙两人各租了一辆该品牌电动车，甲，乙两人的租车时间的概率分别为，，的概率分别为，两人的租车时间都不超过60分钟，甲乙租车相互独立．（1）求甲乙两人所付租车费用相等的概率；（2）求甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率．18.已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．（1）求A；（2）若为锐角三角形，求的取值范围；（3）若D为外一点，，位于两侧，与相交于点，，，，求四边形的面积．19.已知在四棱锥中，，，，，，．（不可以建系）（1）若点在线段上，平面，求；（2）设在底面的射影为，求；（3）求三棱锥的外接球被平面截得的圆的半径．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的除法、乘法运算和共轭复数的概念求解.解答过程：因为，所以，所以.2.下列选项正确的是（）A.若，则B.的充要条件是且C.若，，则D.若平面内不共线的四个不同的点满足，则四边形是平行四边形答案：D解析：思路：依据向量的基本概念、相等向量和平行向量的性质，逐一判断各选项的正误.解答过程：选项A：向量是同时具有大小和方向的量，方向无法比较大小，因此向量之间不存在大小关系，仅模长可进行大小比较，故A错误；选项B：向量相等的充要条件是模长相等且方向相同；若，两向量方向可能相反，此时即使，也无法推出，故B错误；选项C：规定零向量与任意向量平行，若，则满足、时，和不一定平行，故C错误；选项D：由可得，且与方向相同，即且，结合是平面内不共线的四个不同点，可知四边形有一组对边平行且相等，因此是平行四边形，故D正确.3.已知非零向量，，，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据投影向量定义先求，再根据范围确定与的夹角.解答过程：根据投影向量定义，在上的投影向量为，将代入化简得，即.又因为，所以.4.对于不同的直线，和不重合的平面，，，下列选项不正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则答案：C解析：思路：A.由平面平行的传递性判断；B.由线面平行的判定定理和性质定理判断；C.由线面垂直的性质定理判断；D.由面面垂直的性质判断.解答过程：A.若，，则，由平面平行的传递性知：平行于同一平面的两个平面平行，故正确；B.如图所示：过l作平面，有，因为，所以，同理，过l作平面，有，因为，所，则，又，则，又，所以，则，故正确；C.若，，则或，故错误；D.由面面垂直的性质，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，故正确.5.如图，在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达处，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米答案：A解析：思路：求出各个角的度数，在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度.解答过程：依题意，，又，则，即有在中，，由正弦定理，得，在中，，所以山高为米.6.已知在四面体中，，，的中点为，则直线与直线夹角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：取的中点，连接，因为的中点为，所以，且，所以（或其补角）为直线与直线所成的夹角.因为，，所以，所以，所以，同理可得，在中，由余弦定理可得，所以直线与直线夹角的余弦值为.7.先后抛掷一枚骰子两次，记事件甲为“第一次的点数为奇数”，事件乙为“第二次的点数为偶数”，事件丙为“两次点数之和是8”，事件丁为“两次点数之和为7”，这四个事件中，相互独立的是（）A.甲与丙 B.甲与丁 C.乙与丙 D.丙与丁答案：B解析：解答过程：先后抛掷一枚骰子两次，总的样本空间有个等可能结果.第一次的点数为奇数有1，3，5共3种等可能结果，故，第二次的点数为偶数有2，4，6共3种等可能结果，故，两次点数之和为8有共5种等可能结果，，两次点数之和为7有共6种等可能结果，，对于A，第一次为奇数，两次和为8有共2种等可能结果，故，又，所以，所以甲与丙不相互独立，故A错误；对于B，第一次为奇数，两次和为7有共3种等可能结果，故，又，所以，所以甲与丁相互独立，故B正确；对于C，第二次为偶数，两次和为8有共3种等可能结果，故，又，所以，所以乙与丙不相互独立，故C错误；对于D，两次和为8与两次之和为7不会同时发生，故，又，所以，所以丙与丁不相互独立，故D错误.8.已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（）A.5：2 B.1：4 C.5：8 D.4：1答案：C解析：解答过程：因为，，所以，解得因为共线，所以设，因为共线，所以设，且，因为，即，所以，因为共线，所以系数和为1，即，解得，即，即，所以，因为，，所以，解得，即，即，所以，设，因为，所以，因为，所以，因此，则选项C正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是复数，为虚数单位，则下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.已知是关于的方程的一个根，，，则答案：ACD解析：思路：应用模长公式计算判断A，B，应用虚数单位幂的周期计算判断C，应用复根的性质结合韦达定理计算求解判断D.解答过程：A选项：，正确；B选项：满足的复数有无数个，例如也满足，错误；C选项：虚数单位幂次周期为4，且，，故原式，正确；D选项：实系数一元二次方程虚根共轭，另一根为，由韦达定理得，，则，正确.10.下列选项正确的是（）A.如果事件，互斥，那么是必然事件B.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的第40百分位数为20，则C.用分层随机抽样抽取的样本共分2层，第1层样本的平均数为2，方差为2，第2层样本的平均数为6，方差为1．若第1层与第2层的样本容量之比为1：3，则总样本的方差为D.若的平均数为3，方差为4，则答案：BC解析：思路：结合互斥事件的概念、百分位数的计算、分层抽样总方差的求解、方差公式的变形应用逐项判断即可得.解答过程：选项A：互斥事件仅指不能同时发生，二者的并集不一定覆盖全部样本点，只有对立事件的并集才是必然事件，故A错误；选项B：，则，解得，故B正确；选项C：设第层样本量为，第层样本量为，总样本平均数，总方差为，故C正确；选项D：由题意可得，即，故，即，故D错误.11.如图，已知在三棱锥中，，，平面，，，分别为，上的动点，，则下列选项正确的是（）A.EF与BD所成的角为B.若平面与平面所成的锐二面角的大小为，则C.三棱锥的体积为D.的取值范围为答案：ABD解析：思路：A选项，即为所求，得到答案；B选项，证明线面平行，线面垂直，结合正弦定理得到，故，B正确；C选项，求出，，；D选项，求出三边长，由余弦定理得到，得到D正确.解答过程：A选项，，故，所以EF与BD所成的角等于与所成的角，即，因为，，所以，A正确；B选项，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，设平面平面，则，，故⊥，又⊥，则平面与平面所成的锐二面角为，故，由勾股定理得，因为平面，平面，所以，因为，所以，由勾股定理得，，，故，在中，由正弦定理得，即，解得，故，故，B正确；C选项，，因为，所以，故，C错误；D选项，，，，在中，由余弦定理得，由勾股定理，，，，在中，由余弦定理得故，因为，所以，故，因为，所以的取值范围为，D正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某学校高一，高二，高三年级学生人数之比为，为了了解学生平均每学期阅读文学名著的情况，利用分层抽样的方法抽取了容量为40的样本，则从高二年级抽取的学生人数为________．答案：12解析：解答过程：已知高一、高二、高三的人数比为，那么高二年级人数占总人数的比例为,样本容量为，根据分层抽样的按比例抽取原则，从高二年级抽取的人数为.13.如图的组合体是一个正四棱锥和一个正四棱台拼接而成的，已知，则这个组合体的表面积为________．答案：##解析：思路：该组合体的表面积由正四棱台的上底面积、正四棱台的侧面积以及正四棱锥的侧面积三部分组成，分别计算各部分面积后求和即可.解答过程：设正四棱台侧面的高为，则，即，则，，，故这个组合体的表面积为.14.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的最小值为________．答案：##解析：思路：利用同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式化简所求表达式，结合已知条件将表达式转化为可应用基本不等式的形式，进而求得最小值.解答过程：由，则，由，则，故，，令，则，令，则，故，当且仅当，即，即，即时，等号成立，故的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知在中，，是线段的中点，过的直线交线段于点，交线段于点，，．（1）用向量，表示；（2）求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的线性运算可用，表示；（2）结合（1）和已知可得，根据三点共线，可求得的值．（1）由，得，又，所以，又因为，又因为是线段的中点，所以.（2）由（1）知，又，，所以，，所以，又因为在同一直线上，所以，所以.16.学生体质健康状况是评价学生综合素质的一个重要指标，结合新时期青少年体质健康状况和体育教育教学工作实际，高一年级随机抽取了40名学生进行体质测试，成绩分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求抽取的名学生的成绩的中位数；（3）若从抽取的成绩在的学生中任取2人，求这两名学生成绩都在内的概率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为建立方程求解；（2）根据中位数左侧和右侧的频率均为，结合各组频率确定中位数所在区间并列式计算；（3）先计算出和两组的人数，再利用古典概型概率公式求解.（1）由图可得，解得；（2）由，，故中位数，有，解得，即抽取的名学生的成绩的中位数为；（3），，故成绩在的学生共人，其中成绩在的有人，成绩在的有人，设成绩在的人分别为，成绩在的人分别为，则从这人中任取人，有、、、、、、、、、、、、、、共种不同可能，这两名学生成绩都在内的可能为，共种，故这两名学生成绩都在内的概率为.17.近年来，共享电动车在许多城市迅速流行起来，成为人们日常出行的重要选择．已知某品牌共享电动车收费标准如下：按租车时间t（分钟）分段计算，时，收费3元，时，收费4元，时，收费5元．现甲，乙两人各租了一辆该品牌电动车，甲，乙两人的租车时间的概率分别为，，的概率分别为，两人的租车时间都不超过60分钟，甲乙租车相互独立．（1）求甲乙两人所付租车费用相等的概率；（2）求甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为3，4，5元，分别求得都付3元的概率，都付4元的概率，都付5元的概率，利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率．（2）设两人费用之和为6、7、8的事件分别为事件、、，分别求得事件、、的概率，设两人费用之和不大于8的事件为，根据，利用互斥事件概率加法公式可求得甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率．（1）甲、乙两人所付费用相同即同为3，4，5元.都付3元的概率为；都付4元的概率为；都付5元的概率为；故所付费用相同的概率为.（2）设两人费用之和为6、7、8的事件分别为事件、、；则，，.设两人费用之和不大于8的事件为，则,所以两人费用之和不大于8的概率.18.已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．（1）求A；（2）若为锐角三角形，求的取值范围；（3）若D为外一点，，位于两侧，与相交于点，，，，求四边形的面积．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得；（2）利用正弦定理结合三角函数求值域；（3）设，在中利用正弦定理得，在中由正弦定理得，利用可得.（1）因为，所以，则，由正弦定理得，在中