江西省重点中学盟校2025-2026学年高二下册期末数学检测试卷-含答案

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，若在上的投影向量为，则（）A.2 B. C. D.4.已知，则“”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.5.安排A，B，C等5人周一到周五值班，每人值班1天，每天安排1人，则A周一不值班，B或C周五值班的概率为（）A. B. C. D.6.已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（）A.2 B. C. D.7.一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250mg.若该药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为（）（精确到0.1小时，参考数据，）A.5.6小时 B.4.6小时 C.3.8小时 D.2.2小时8.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市为了解市内小微企业的经营发展情况，调查统计了市内500家小微企业的月收入（单位：万元）数据，企业月收入均在内，分组区间为，，，，，，，并制成如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中的值为0.025B.估计这些小微企业的平均月收入约为45万元C.估计这些企业月收入的中位数为42D.这500家小微企业中，估计月收入在内的有75家10.如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，过该圆锥两条母线的平面截圆锥所得截面的面积记为，若，，则（）A.圆锥的侧面积为B.直线与平面所成角的余弦值为C.的最大值为D.三棱锥内切球的半径为11.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且，，则（）A. B.C.存在极值点 D.仅有1个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式的常数项是_________.（用数字作答）13.若函数在区间上仅有两个零点，则的取值范围为_______.14.在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在不透明的盒子中装有大小和质地相同的3个红球和5个黑球.（1）从盒子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回，并同时再放入2个与其颜色相同的球，然后再从盒子中随机摸出1个球，求第二次摸出的球是黑球的概率；（2）从盒子中不放回地依次摸出3个球，记这3个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望.16.在数列中，，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和；（3）在（2）的条件下，令，求数列的前项和.17.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，E，F分别是棱，的中点，M为棱上一点，平面，.（1）证明：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.18.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求在上的最大值；（3）若，，证明：.19.已知抛物线：的焦点为，点为上一点，且，过点的直线与及圆依次交于A，D，B，C四点，如图所示.（1）求E的方程；（2）求的值；（3）过A，D两点分别作的切线，，记，求与的面积之和的最小值.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可知：.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，则，即，则，得或，所以，所以，所以.3.已知向量，，若在上的投影向量为，则（）A.2 B. C. D.答案：C解析：解答过程：.，由题意得在上的投影向量为，所以.4.已知，则“”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：选项A：若，由，可得；若，由，可得，不满足充分性，故A错误；选项B：根据函数的单调性知，“”是“”的充要条件，故B错误；选项C：由，可得；不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；选项D：“”不能得出，也不能推出，故是的既不充分也不必要条件，故D错误．5.安排A，B，C等5人周一到周五值班，每人值班1天，每天安排1人，则A周一不值班，B或C周五值班的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：总的值班排法有种，A不值周一，B或C值周五的安排方法有种，故所求概率为.6.已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（）A.2 B. C. D.答案：D解析：解答过程：双曲线的渐近线方程为，即，由渐近线与相切，得，所以，所以的离心率.7.一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250mg.若该药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为（）（精确到0.1小时，参考数据，）A.5.6小时 B.4.6小时 C.3.8小时 D.2.2小时答案：D解析：解答过程：设应该间隔小时再次向病人血液中补充这种药，由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得，所以，因需保证药物量不低于150mg，故对结果向下取近似值，得2.2小时.8.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：解法一：作辅助线，可得，设，可得，结合对勾函数性质求取值范围；解法二：利用正弦定理可得，令，结合题意可得，即可得结果.解答过程：解法一：因为，即，作，垂足为，则，过作直线，分别作，，垂足分别为E，F，因为为锐角三角形，所以点C在线段上运动，且不能与E，F和线段的中点重合（当点C为的中点时，边上的中线，），点在从E到F的运动过程中，b由小变大，而a由大变小，所以从E到F的运动过程中由小变大，所以，且，设，则，且，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，，所以的取值范围为；解法二：因为，由正弦定理得，，则，由，得，即.两边同除以得，所以.因为是锐角三角形，所以，，，则，可得，，其中为锐角，则，可得，令，则，，因为，可得，即，所以的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市为了解市内小微企业的经营发展情况，调查统计了市内500家小微企业的月收入（单位：万元）数据，企业月收入均在内，分组区间为，，，，，，，并制成如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中的值为0.025B.估计这些小微企业的平均月收入约为45万元C.估计这些企业月收入的中位数为42D.这500家小微企业中，估计月收入在内的有75家答案：ACD解析：解答过程：由题意，得，解得，故A正确；0.05×15+0.2×25+0.2×35+0.25×45+0.15×55+0.1×65+0.05×75=42.5，故B错误；因为，，所以中位数在40～50间，设中位数位，则，解得，故C正确；0.1+0.05=0.15，所以估计月收入在内的小微企业有（0.1+0.05）×500=75家，故D正确.10.如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，过该圆锥两条母线的平面截圆锥所得截面的面积记为，若，，则（）A.圆锥的侧面积为B.直线与平面所成角的余弦值为C.的最大值为D.三棱锥内切球的半径为答案：AB解析：思路：利用锥体侧面积公式计算，判断选项A；利用几何法求出与平面所成的角及相关线段长度，进而求出余弦值，判断选项B；利用几何法得出当截面两条母线夹角为直角时，最大，并求出最大值，判断选项C；求出三棱锥各面面积，利用等体积法计算求出内切球半径，判断选项D．解答过程：由题意知圆锥的侧面积为，故A正确；取的中点，连接，，,是中点，故，由圆锥的性质可知，，故平面，又平面，故平面平面，所以为与平面所成的角，，，所以，所以，故B正确；，，故，所以当截面两条母线夹角为直角时，S最大，且，故C错误；设三棱锥的内切球的半径为，，所以，，，又，所以，故D错误．11.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且，，则（）A. B.C.存在极值点 D.仅有1个零点答案：ABD解析：思路：令，利用已知判断的单调性，进而可判断A；当时，，计算可得；同理判断和的情况判断BD；取可判断C.解答过程：令，因为为奇函数，所以，所以，所以为奇函数.对，，所以在上单调递减，又因为为奇函数，，所以在上单调递减，所以，即，所以，故A正确；当时，，又，所以，所以；当时，；当时，，即，又，所以，所以，综上所述，，仅有1个零点，故BD正确；当时满足题意，但无极值点，故C错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式的常数项是_________.（用数字作答）答案：60解析：思路：在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．解答过程：展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：60．13.若函数在区间上仅有两个零点，则的取值范围为_______.答案：解析：思路：由，得，再根据正弦函数的性质得到，求解即可.解答过程：设，由，得，要使在区间上仅有两个零点，结合函数的图象，得，解得.14.在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______.答案：解析：思路：设，，将A，B的坐标分别代入C的方程，法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解；法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解；法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解.解答过程：由题意，设，，将A，B的坐标分别代入C的方程，得法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得，整理得，即，又，所以，故C的离心率的取值范围为.法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一.法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有；当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，，由与联立，解得，则，所以，同理，所以.令，则，所以，解得，由，解得，所以，，又，所以.故的离心率的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在不透明的盒子中装有大小和质地相同的3个红球和5个黑球.（1）从盒子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回，并同时再放入2个与其颜色相同的球，然后再从盒子中随机摸出1个球，求第二次摸出的球是黑球的概率；（2）从盒子中不放回地依次摸出3个球，记这3个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望.答案：（1）（2）分布列为0123.解析：思路：（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求概率；（2）由题意可知：所有可能的取值为0，1，2，3，由超几何分布求分布列和期望值.（1）记“第一次摸出的球为红球”为事件，“第一次摸出的球为黑球”为事件，“第二次摸出的球为黑球”为事件B，则，，，，由全概率公式可得.（2）由题意可知：所有可能的取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为0123所以.16.在数列中，，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和；（3）在（2）的条件下，令，求数列的前项和.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式；（2）利用错位相减求和法求解；（3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和.（1）由，得，又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以.（2），两边同乘以2，得，两式相减，得，所以.（3）由（2）知，所以，所以17.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，E，F分别是棱，的中点，M为棱上一点，平面，.（1）证明：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.答案：（1）取棱的中点，连接，，则，且，因为为的中点，四边形是正方形，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）解析：思路：（1）取棱的中点，连接，，可证明四边形为平行四边形，可得，进而可证结论.（2）以为坐标原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，求得平面与平面的法向量，利用向量法可得，进而可得结论.（1）略.（2）由题意可得直线，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，设，则，，，.设平面的一个法向量，则，即，令，解得，，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，解得，，所以，设平面与平面的夹角为，则，解得，或（舍），所以，所以.18.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求在上的最大值；（3）若，，证明：.答案：（1）（2）（3）由（2）知当时，，当且仅当时取等号，所以对，，所以，当且仅当时取等号.令，得，所以，，，…，，上面各