宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学考试时间：120分钟一、单选题（每小题5分，共40分）1.样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（）A.5 B.4 C. D.32.复数，其中为虚数单位，则（）A.25 B.3 C.5 D.3.某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（）A.0.85 B.0.7 C.0.5 D.0.44.已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.5.如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（）A. B. C. D.6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（）A. B. C. D.7.如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（）A.1 B. C. D.8.已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.某位同学连续抛掷质地均匀的骰子次，向上的点数分别为，，，，，，，，，，则这个数（）A.众数为和 B.标准差为C.平均数为 D.第百分位数为10.从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（）A.甲和乙为互斥而不对立事件 B.丙和丁为互斥而不对立事件C. D.甲和丁为独立事件11.如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（）A.B.平面C.直线与平面所成角的正切值为D.三棱锥外接球的表面积为三、填空题（每小题5分，共15分）12.圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________．13.已知向量，，若与垂直，则实数的值为______．14.如图，平面，点为垂足，平面若，则_____________.四、解答题（共77分）15.为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这批零件的直径的中位数；（2）已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数．16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知．（1）求；（2）若的面积为，求的周长．17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．（1）求角B；（2）若，，求的面积S．18.如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点．（1）证明：平面．（2）若是等边三角形，，求三棱柱的体积．19.如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，．（1）证明：平面．（2）若，求二面角的正弦值．

数学考试时间：120分钟一、单选题（每小题5分，共40分）1.样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（）A.5 B.4 C. D.3答案：B解析：思路：根据第百分位数的概念，求出一列数字的第70百分位数即可.解答过程：样本数据由小到大排列为，，，，，，，，共8个数字，因为，所以第70百分位数为第6个数字，即.故选：B.2.复数，其中为虚数单位，则（）A.25 B.3 C.5 D.答案：C解析：思路：根据复数模的计算公式计算即可.解答过程：因为，所以.故选：C.3.某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（）A.0.85 B.0.7 C.0.5 D.0.4答案：A解析：思路：根据给定条件，对立事件概率公式列式计算即得.解答过程：依题意，第一次面试不通过的概率为0.3，第二面试不通过的概率为0.5，因此面试失败的概率为，所以该同学通过面试的概率为.故选：A4.已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将两边平方可得，然后结合向量夹角余弦公式可得答案.解答过程：由两边平方可得，又，，所以，所以.因为，所以.故选：A5.如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值．解答过程：由，可得，所以，，．故选：A6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积.解答过程：在中，由及正弦定理，得，而，则，由及余弦定理得，，因此，，则，所以的面积为.故选：B7.如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：分别在和中利用余弦定理和正弦定理即可求解.解答过程：在中，，，，由余弦定理得，，即，，又在中，，，，由正弦定理得，，即，解得.故选：B.8.已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分析可知点在底面内的射影点为等边的中心，取线段的中点，连接，可知三棱锥的外接球球心在线段上，计算出、的长，可知三棱锥是正四面体，确定该正四面体的棱长，结合三角形的面积公式可求得结果.解答过程：由题意可知，点在底面内的射影点为等边的中心，取线段的中点，连接，则，易知三棱锥的外接球球心在线段上，设正三棱锥的外接球半径为，则，解得，设正三棱锥的内切球的半径为，则，故，平面，平面，，易知，则，所以，，故，所以，，由勾股定理可得，所以，正三棱锥是边长为的正四面体，因此，正三棱锥的表面积为.故选：B.二、多选题（每小题6分，共18分）9.某位同学连续抛掷质地均匀的骰子次，向上的点数分别为，，，，，，，，，，则这个数（）A.众数为和 B.标准差为C.平均数为 D.第百分位数为答案：AC解析：思路：根据众数、标准差、平均数、百分位数的定义逐一运算判断即可.解答过程：A：因为和出现的次数均为，且出现的次数最多，因此众数为和，所以本选项说法正确；B：这10个数的平均数为：，标准差为：，因此本选项不正确；C：由选项B可知该选项正确；D：一共有10个数，由，上述10个数是按照从小到大排列的，所以第百分位数为，因此本选项不正确，故选：AC10.从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（）A.甲和乙为互斥而不对立事件 B.丙和丁为互斥而不对立事件C. D.甲和丁为独立事件答案：AD解析：思路：根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可.解答过程：因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”，故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确；而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了，即丙和丁不是互斥事件，即B错误；因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况，且，，，所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确．故选：AD.11.如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（）A.B.平面C.直线与平面所成角的正切值为D.三棱锥外接球的表面积为答案：ACD解析：思路：由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D.解答过程：由题设，，则，由平面，平面，则，都在平面内，则平面，平面，则，A对；由平面，即为平面，又平面，，所以平面，即与平面相交，B错；由平面，则直线与平面所成角为，又所以，C对；由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径，由平面，，则三棱锥外接球半径，所以外接球的表面积，D对.故选：ACD.三、填空题（每小题5分，共15分）12.圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________．答案：解析：思路：根据圆柱的表面积公式即可代入求解.解答过程：因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为，所以该圆柱的表面积为．故答案为：13.已知向量，，若与垂直，则实数的值为______．答案：解析：思路：由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可.解答过程：，，由题意，可得：，得，故答案为：14.如图，平面，点为垂足，平面若，则_____________.答案：解析：思路：设，易得，由平面证得，结合可得平面，则有，利用多个直角三角形即可求得.解答过程：设，因，则，因平面，平面，则，又平面，故平面，因平面，则.在中，则，在中，，故.故答案为：.四、解答题（共77分）15.为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这批零件的直径的中位数；（2）已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数．答案：（1）（2）5000解析：思路：（1）根据频率分布直方图，利用中位数的含义，列式计算，可得答案；（2）由频率分布直方图求得直径在内的频率,计算即可得出结果.（1）因为所以这批零件的直径的中位数在内．设这批零件的直径的中位数为，则，解得，即这批零件的直径的中位数为．（2）由频率分布直方图可知这批零件的直径在内的频率为，则可估计这批零件中优等品的件数为．16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知．（1）求；（2）若的面积为，求的周长．答案：（1）（2）10解析：思路：（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解；（2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解.（1）因为，所以即．因为，所以，所以，因为，所以．（2）由（1）可知，则．因为的面积为，所以，解得由余弦定理得，则．故的周长为．17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．（1）求角B；（2）若，，求的面积S．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可；（2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可.（1）由，根据正弦定理得，又，则,因为，所以.（2）在中，，，，由余弦定理，，即，解得或（舍去），故的面积为．18.如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点．（1）证明：平面．（2）若是等边三角形，，求三棱柱的体积．答案：（1）证明见解析；（2）．解析：思路：（1）取棱BC的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定及性质推理得证.（2）结合（1）中信息，利用线面垂直的性质，结合勾股定理求出三棱柱的高，进而求出体积.（1）如图，取棱BC的中点，连接DF，EF，由D是棱AB的中点，得，而平面平面，则平面，在三棱柱中，，由E，F分别是棱的中点，得，则四边形是平行四边形，有，又平面平面，则平面，而平面DEF，且，因此平面平面，又平面DEF，所以平面.（2）由D，F分别是棱AB，BC的中点，得，设，则，又，则，由（1）知，又平面ABC，则平面ABC，而平面ABC，于是，则，又，则，解得，即，等边三角形的面积，所以三棱柱的体积.19.如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，．（1）证明：平面．（2）若，求二面角的正弦值．答案：（1）证明：连接．因为是的中点，所以．分因为，且，所以四边形是正