辽宁省鞍山市海城市高级中学2025-2026学年高一下册6月阶段练习数学试卷-含答案

数学满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（）A. B. C. D.3.已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角（）A. B. C. D.4.如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（）．A.E，F，G，H四点共面 B.与是异面直线C.，，三线共点 D.5.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（）A.7 B.6 C.5 D.36.已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（）A.平面平面 B.平面C.平面 D.平面平面8.已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题，本大题共3个小题，每个小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列命题是真命题的是（）A.直线不平行于平面，且，则平面内不存在与平行的直线B.两条直线平行是它们与同一平面所成角相等的充分不必要条件C.平面、，，，过内的任意一点作直线，则D.空间中，一个角两边分别垂直于另一个角两边，则这两个角相等或互补10.已知函数，则下列判断不正确的是（）A.的图象关于直线对称 B.为奇函数C.的值域为 D.在上是增函数11.如图，在棱长为1的正方体中，上底面内(含边界)有一动点，下列说法正确的有（）A.若平面平面，则B.当时，点的轨迹长度为C.若异面直线CE与AB所成角为，则的取值范围是D.若是上一动点，则的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12.若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为___________；13.已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______.14.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程，演算步骤．15.已知，，函数．（1）求函数的单调减区间；（2）若，且，求的值．16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．17.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小．18.中，，分别为内角的对边，．（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，，求面积的取值范围；（3）若，，且的面积为，求的长度．19.如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

数学满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，则.2.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可．解答过程：由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，由斜二测画法可知，，所以．故选：A．3.已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设出夹角，根据•（+）=3，展开由已知和数量积公式可得夹角的余弦值，由角的范围确定角.解答过程：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]由•（+）=，代入数据可得22+2×1×cosθ=3，解之可得cosθ=，故可得θ=.故选：C.方法提示：本题主要考查向量的数量积的运算，属于基础题.4.如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（）．A.E，F，G，H四点共面 B.与是异面直线C.，，三线共点 D.答案：D解析：思路：利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D.解答过程：对于A，在三棱柱中，分别为的中点，连接，由是的中位线，得，由，且，得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确；对于B，因为平面，平面，，所以与是异面直线，正确；对于C，延长，相交于点，由，平面，得平面，由，平面，得平面，而平面平面，则，三线共点，C正确；对于D，由，且可知，四边形是梯形，若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，所以D不一定正确.5.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（）A.7 B.6 C.5 D.3答案：A解析：思路：设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解.解答过程：设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为，因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，可得，所以，又因为圆台的侧面积为，可得，解得.故选：A.6.已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示列式，再利用辅助角公式及正弦函数的性质求解.解答过程：依题意，，而，由，得，则，由，得，因此，所以的取值范围是.7.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（）A.平面平面 B.平面C.平面 D.平面平面答案：D解析：思路：根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果.解答过程：对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确；对于B，平面，平面，则有，是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有，，平面，所以平面，B选项正确；对于C，平面，平面，，又于，，平面，所以平面，平面，则，又于，平面，，所以平面，C选项正确；对于D，平面平面，平面，于，若平面平面，则必有平面，而平面，则必有，因为平面，平面，则有，又平面，则必有，由于垂直于圆所在的平面，，则，而于，则为中点，因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于，则不是中点（否则会得到，但这与矛盾），不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误.故选：D.8.已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先求出的解析式，由，可得，从而得，，结合正弦定理及三角恒等变换，可得，利用换元法及对勾函数的性质求解即可.解答过程：由题意可知，又因为，即，因为是钝角三角形，所以或,即或（舍去），所以，所以，，所以，，令，所以，则原式即为，令，则即为，由对勾函数的性质可知在上单调递增，又因为，所以，即.二、多项选择题，本大题共3个小题，每个小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列命题是真命题的是（）A.直线不平行于平面，且，则平面内不存在与平行的直线B.两条直线平行是它们与同一平面所成角相等的充分不必要条件C.平面、，，，过内的任意一点作直线，则D.空间中，一个角两边分别垂直于另一个角两边，则这两个角相等或互补答案：AB解析：思路：依据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系以及线面角、空间角的相关知识，结合举例，来对每个命题逐一进行分析判断.解答过程：对于A，已知直线不平行于平面，，那么直线与平面相交.假设平面内存在与平行的直线，根据直线与平面平行的判定定理可得，这与已知条件矛盾，所以平面内不存在与平行的直线，故A正确；对于B，若两直线平行，根据线面角的定义和性质，它们与同一平面所成的角一定相等，所以两直线平行能推出它们与同一平面所成的角相等；但是两直线与同一平面所成的角相等时，两直线可能平行、相交或异面，因此，两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件，故B正确；对于C，根据面面垂直的性质定理，此垂线必须在平面内才垂直于平面，而题中的垂线不一定在平面内，故C错误；对于D，如图，，，过平面内一点作于点，点，连接，过平面内一点作于点，点，连接，则，，又，故，但是和大小关系不确定，故D错误.故选：AB.10.已知函数，则下列判断不正确的是（）A.的图象关于直线对称 B.为奇函数C.的值域为 D.在上是增函数答案：BCD解析：思路：根据余弦二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的对称性、奇偶性、值域、单调性逐一判断即可.解答过程：，当时，因为，所以该函数取得最大值2，所以的图象关于直线对称，故A正确．因为，所以，因此不是奇函数，故B错误．由上可知该函数的值域为，C错误.当时，，显然该区间不是和的子集，所以此时不单调，故D错误．故选：BCD11.如图，在棱长为1的正方体中，上底面内(含边界)有一动点，下列说法正确的有（）A.若平面平面，则B.当时，点的轨迹长度为C.若异面直线CE与AB所成角为，则的取值范围是D.若是上一动点，则的最小值为答案：ABD解析：思路：对A：借助线面平行判定定理与性质定理可得，再利用正方体性质及线面垂直性质定理可得，即可得；对B：借助线面垂直性质定理与勾股定理计算即可得点轨迹，即可得其轨迹长度；对C：举出反例即可得；对D：将平面与平面沿展开至同一平面后，结合与形状，计算即可得.解答过程：对A：因为平面，平面，则平面，又因为平面平面，平面，则，由正方体性质可得平面，因为平面，所以，则有，故A正确；对B：由正方体性质可得平面，因为平面，所以，则，则点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆位于正方形内的部分，故点的轨迹长度为，故B正确；对C：因为，则异面直线与所成角与直线与所成角相等，当点与重合时，此时，故C错误；对D：将平面与平面沿展开至同一平面，如下图：则，当且仅当在线段上时，取等，，故为正三角形，又为等腰直角三角形，故为中点，则，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12.若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为___________；答案：##解析：思路：求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.解答过程：设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点，上、下底面三角形的高分别为，，所以，，所以，又，所以正三棱台的高为，上底面积为，下底面积为，所以正三棱台的体积为.故答案为：.13.已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______.答案：52π解析：思路：由题可得三棱锥为侧棱垂直于底面的三棱锥，据此可由图确定外接球球心，据此可得答案.解答过程：由题，折叠后可得，又平面，则易得平面.设为外接圆圆心，过做平面垂线，则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面，过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形.取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心.易得，由正弦定理可得，则外接球半径满足.则外接球的表面积为.故答案为：.14.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______.答案：解析：思路：首先根据正四面体表面积求出棱长，高，再通过几何关系求出大球半径（也可以使用等体积法）．中球，小球也可以看成是内接于正四面体的球，求出外切正四面体的高，根据相似关系，得到中球，小球半径，最终求出个球的表面积之和．解答过程：在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径，，，，，由正四面体ABCD的表面积为，即，解得，由，解得，由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径，因此最大球的表面积为；中等球内切于高的正四面体，中等球半径，因此中等球的表面积为；最小球内切于高的正四面体，最小球半径，因此最小球的表面积为，所以九个球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程，演算步骤．15.已知，，函数．（1）求函数的单调减区间；（2）若，且，求的值．答案：（1）（）（2）解析：思路：（1）根据数量积的坐标运算，利用降幂及辅助角公式化简，整体法求单调区间即可；（2）由可得，根据同角三角函数求值问题可求，接着求、的值，最后再利用正弦和角公式求值即可.（1）由，，解得，（），所以函数的单调减区间为（）（2）由，得，又，所以，所以．所以，，所以．16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1）证明见解析（2）存在；解析：思路：（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论；（2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值．（1）证明：取PB的中点，连接，在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点，，且，，且，四边形为平行四边形，，而平面平面PBE，平面；（2）存在满足条件的，且，证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则，由平面平面平面，又平面平面，又平面平面与重合，即为BC的中点，．17.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小．答案：（1）证明：连接，因为底面，平面，所以，，因为，，平面，所以⊥平面，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以平行四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）解析：思路：（1）作出辅助线，得到线线垂直，平面，从而证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出法向量，利用线面角正弦公式求解（1）略（2）由（1）知，平面，因为平面，所以，平行四边形为正方形，故，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，故，，设直线与平面所成角大小为，则sinθ=所以，故直线与平面所成角的大小为.18.中，，分别为内角的对边，．（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，，求面积的取值范围；（3）若，，且的面积为，求的长度．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由，化简得到，进而得到，即可求