辽宁省大连市2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学考试时间：（120分钟满分：150分）第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.1.（）．A. B. C. D.2.已知复数（其中i为虚数单位），则（）A.5 B.3 C. D.3.设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，则4.已知向量，，若与垂直，则（）A.13 B. C.11 D.5.若，则（）A. B. C. D.6.某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（）A. B.C. D.7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（）A.80米 B.100米 C.112米 D.120米8.如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列等式正确的是（）A. B.C. D.10.已知平面向量，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则D.若与夹角为锐角，则11.如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（）A.不存在点P，使得平面B.一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为C.三棱锥的体积为D.三棱锥的外接球表面积为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________．13.将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________.14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知函数，（1）求函数的单调递减区间（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围16.如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比.17.已知的内角的对边分别为，且．（1）求．（2）若，且边上的中线长为，求的面积．（3）若角的平分线长为，求的面积的最小值．18.如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点.（1）求证：平面（2）求证：平面平面（3）设是中点，求直线与平面所成角的正弦值19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S.（1）若，，求C；（2）求证：；（3）求的最小值.

数学考试时间：（120分钟满分：150分）第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.1.（）．A. B. C. D.答案：A解析：思路：先将化小为，然后利用角的终边与单位圆的交点坐标求解余弦值.解答过程：，而为第四象限角，且其终边与单位圆的交点坐标为，故．故选：A.方法提示：本题考查利用单位圆求三角函数值，属于基础题.2.已知复数（其中i为虚数单位），则（）A.5 B.3 C. D.答案：C解析：思路：由复数的四则运算并结合复数的模即可求解.解答过程：，则.3.设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，则答案：D解析：解答过程：若，，，则或异面，故A错误；若，，则或相交或，无法推出，故B错误；若，，，，若相交，则，若，则无法判断，故C错误；若，，，过直线作平面，，，，过直线作平面，，，，，，，，，故D正确．4.已知向量，，若与垂直，则（）A.13 B. C.11 D.答案：A解析：解答过程：，若与垂直，则，即：，解得：.5.若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将化为，根据同角三角函数基本关系，切化弦，即可得出结果。解答过程：因为，所以，因此.故选：C.6.某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据函数图像，可得，结合周期公式可求得，代入最高点坐标可求得，即可得函数解析式.解答过程：根据函数图像可知，周期，所以，所以，将最高点坐标代入可得，所以，解得，当时，，所以.7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（）A.80米 B.100米 C.112米 D.120米答案：B解析：思路：结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可.解答过程：设，由题意得，而，得到，在中，，，由余弦定理得，解得，故B正确.故选：B.8.如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：取中点构造平面，通过线面垂直判定证明平面，结合在面内确定轨迹为线段，再由中位线求出长度得到轨迹长.解答过程：如图，取棱PD的中点G，连接FG，EG．因为F，G分别是棱AD，PD的中点，所以．因为平面ABCD，所以平面ABCD．因为平面ABCD，所以．由正方形的性质易证．因为平面EFG，平面EFG，，所以平面EFG，则平面EFG．因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段EG．因为，所以．因为E，G分别是棱CD，PD的中点，所以，即动点M的轨迹长度是．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列等式正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.解答过程：，A正确；，B正确；，C错误；，D正确；故选：ABD10.已知平面向量，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则D.若与夹角为锐角，则答案：ABD解析：思路：利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系判断选项；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项；根据向量夹角为锐角可得数量积大于，验证共线时的的取值，即可判断选项.解答过程：解：选项A，，，又，，，解得，A正确；选项B，，，，解得，B正确；选项C，在上的投影向量为，则，所以，代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误；选项D，与夹角为锐角，，解得，若与共线，则，解得，而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确.11.如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（）A.不存在点P，使得平面B.一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为C.三棱锥的体积为D.三棱锥的外接球表面积为答案：BCD解析：思路：取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D.解答过程：对A：取中点，连接、，由为中点，则，又平面，平面，故平面，由为中点，则，又平面，平面，故平面，又，、平面，则平面平面，则当点在线段上时，由平面，可得平面，故存在点，使得平面，故A错误；对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图：则从到的最短距离为，故B正确；对C：，故C正确；对D：取、、中点、、，连接成四边形，三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，故即为该外接球直径，故半径为，则外接球表面积为，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________．答案：##解析：思路：利用三角函数定义求出，然后利用二倍角公式可得.解答过程：由题可得，所以.13.将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________.答案：##解析：思路：由图象的平移变换可得到的表达式，结合其对称轴，即可求得的表达式，即得答案.解答过程：将函数的图象向左平移后得到函数的图象，所以，函数的图像关于直线对称，则，解得，又，所以，.14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________．答案：①.3②.##解析：思路：第一空，利用余弦定理角化边，再化简计算即得；第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值.解答过程：在中，由及余弦定理，得，因此；，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：3；四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知函数，（1）求函数的单调递减区间（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围答案：（1），（2）解析：思路：（1）先利用三角恒等变换化简函数为正弦型标准式，再结合正弦函数单调递减区间解不等式得到的单调减区间；（2）先根据范围求出内层角范围，得到值域，再将绝对值恒成立不等式转化为关于的不等式组，解出的取值范围.（1）由，，解得，，故函数的单调递减区间为，．（2）由得，则，所以．由得在上恒成立，所以解得，即m的取值范围是．16.如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比.答案：（1）在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，平面.（2）7∶17解析：思路：（1）由正方体的性质及线面平行的判定定理可得；（2）利用平面基本事实3，作出与的交点可得平面和底面ABCD的交线，求出正方体被平面分得的三棱台的体积，根据正方体的体积，求得另一部分的体积，即可得两部分体积比.（1）略（2）在正方形中，直线与直线相交.延长，交于点，连接，，平面，则平面.，平面，平面.平面平面，则平面和底面ABCD的交线为，设，则如图平面和底面ABCD的交线为，连接，则为平面和平面的交线.由为的中点，得为的中点，.所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.解法一：设正方体的棱长为2..另一部分几何体的体积为.两部分的体积比为7∶17.解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，所以.另一部分几何体的体积为，两部分的体积比为7∶17.17.已知的内角的对边分别为，且．（1）求．（2）若，且边上的中线长为，求的面积．（3）若角的平分线长为，求的面积的最小值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由余弦定理即可求解；（2）在中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解；（3）由，结合基本不等式即可求解.（1）由余弦定理，又，代入可得：

，又，故（2）记边上的中线为，则，在中，由余弦定理得，化简可得：，解得或（舍），所以.（3）设角平分线交于，，由得：

，化简得，由基本不等式得，解得：，当且仅当时等号成立，故面积最小值.18.如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点.（1）求证：平面（2）求证：平面平面（3）设是中点，求直线与平面所成角的正弦值答案：（1）法一：取中点H，连接HG，HF，，H，F分别为，和中点．，，，从而，平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面HGF，平面HGF，与HF在平面HGF内且相交，平面平面ABC，平面HGF，平面.法二：连接，为中点，为中点，为中点，，平面ABC，平面ABC，平面ABC．（2）在直棱柱中，平面ABC，平面ABC，，不妨设，，，，，，又与在平面内且相交，平面，平面，平面平面．（3）解析：思路：（1）法一：取中点H，连接，，利用线面平行的判定定理证得平面，平面，进而利用面面平行的判定定理得平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明即可；法二：连接，根据中位线的性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用棱柱性质得，根据勾股定理得，进而利用线面垂直的性质定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可；（3）连接，，利用线面角的定义得即为所求的线面角，在直角三角形中求解正弦值即可；（1）略（2）略（3）连接MB，，平面ABC，直线BM为直线在平