辽宁省抚顺市七校协作体2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．1.复数，则的虚部为（）A. B. C.2 D.2.的值为（）A. B. C. D.3.已知平面向量，不共线，且，则（）A.， B.， C.， D.，4.已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.5.已知向量，若与垂直，则（）A. B.C. D.6.若，则（）A. B. C. D.7.已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的一个周期 B.在上不单调C.时， D.图像既有对称轴又有对称中心二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，有错误选项得0分，部分选对得部分分，3个选项每对一个得2分，2个选项每对一个得3分．9.设，则（）A. B. C. D.10.设向量，则下列说法正确的是（）A.若与的夹角为钝角，则B.的最小值为9C.与共线的单位向量是D.若，则11.定义关于的函数，，其中，则（）A.B.C.对于任意，D.对于任意，第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3个小题，每题5分，14题第一空2分，第二空3分．12.如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．13.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m.14.中，角所对的边分别为，记的面积为．（1）当时，______；（2）的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分15.已知，是非零向量，，且，．（1）求；（2）求．16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且.（1）求C；（2）若的面积为求c.17.如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．（1）求该圆柱的表面积；（2）求该直三棱柱的外接球O的体积．18.已知函数，为常数．（1）当时，求函数的值域；（2）讨论函数零点的个数；（3）若函数有两个不相等的零点，证明：．19.已知定义在上的函数满足，（1）求值：（2）当时（i）证明：在上单调递增；（ii）设为锐角，求的最大值.

数学考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．1.复数，则的虚部为（）A. B. C.2 D.答案：D解析：思路：根据虚数单位的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部.解答过程：由可得：，故的虚部为.故选:D．2.的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：.3.已知平面向量，不共线，且，则（）A.， B.， C.， D.，答案：A解析：思路：由平面向量基本定理可得.解答过程：由题意可知平面向量不共线，且，则.4.已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可.解答过程：设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角，由题意可得，，解得，；代入扇形面积公式，计算得.5.已知向量，若与垂直，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：∵与垂直，∴.∵，，∴，解得.∴，∴.6.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由诱导公式及二倍角公式进行求解．解答过程：．故选：B7.已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：把正四面体与棱相切的球和外接球转化为正方体的内切球和外接球，从而可得半径的范围．解答过程：由棱长为1的正四面体可以构造出棱长为的正方体，如图所示，可知棱长为1的正四面体的外接球和棱长为的正方体的外接球相同，设正四面体的外接球半径为，则，所以．由图可知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球，设与正四面体的各棱相切的球半径为，则．因为球的球面与正四面体的棱有公共点，所以球的半径满足，即球的半径的取值范围是．8.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的一个周期 B.在上不单调C.时， D.图像既有对称轴又有对称中心答案：D解析：思路：对A，计算，利用诱导公式结合正切奇函数性质得判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用正切和角恒等式，结合时且​，推导判断；对D，及判断.解答过程：对于A：，A错误；对于B：和都在单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，在单调递增，B错误；对于C：由两角和的正切公式可得，令，时，，因此，且，可得，C错误；对于D：对任意，

，，因此​是的对称轴；对任意，因为，，所以，，因为，所以，所以

，因此是的对称中心。故既有对称轴又有对称中心，D正确.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，有错误选项得0分，部分选对得部分分，3个选项每对一个得2分，2个选项每对一个得3分．9.设，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：解答过程：对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确.对于B选项，复数的模，因此，B选项错误.对于C选项，∵，∴，该选项正确.对于D选项，∵分子，分母，∴，是实数，故，该选项正确.10.设向量，则下列说法正确的是（）A.若与的夹角为钝角，则B.的最小值为9C.与共线的单位向量是D.若，则答案：AD解析：思路：利用向量的夹角公式即可判断A；利用向量的模长公式及二次函数的性质即可判断B；利用向量共线的坐标表示即可判断C；利用向量的模长公式求出的值，进而即可判断D．解答过程：对于A，若与的夹角为钝角，则，解得，故A正确；对于B，，当且仅当时取到等号，即的最小值为，故B错误；对于C，与共线的单位向量有两个，为，故C错误；对于D，若，则，解得，故D正确．11.定义关于的函数，，其中，则（）A.B.C.对于任意，D.对于任意，答案：AC解析：思路：利用诱导公式对进行化简可判断A；利用辅助角公式对进行化简，再结合三角函数的值域可判断B；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断C；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断D.解答过程：对于A，当时，，，所以，故A正确；对于B，当时，，，所以则，不恒成立.故B错误；对于C，，，，，且在上单调递减，则，所以.故C正确；对于D，令，则，，当时，与题干矛盾，故D错误.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3个小题，每题5分，14题第一空2分，第二空3分．12.如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．答案：解析：思路：求出侧棱长和底面边长后可求体积.解答过程：因为且四边形为正方形，故，而，故，故，故所求体积为，故答案为：.13.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m.答案：解析：思路：在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度.解答过程：在中，，，，，在中，由正弦定理得，所以，所以树的高度为.故答案为：.14.中，角所对的边分别为，记的面积为．（1）当时，______；（2）的最大值为______．答案：①.3②.解析：思路：（1）由诱导公式以及两角和的正切公式，化简求值．（2）由题意得到，即，求出三角形的面积，利用换元法结合二次函数的性质求最值即可；解答过程：（1）当时，，则；（2）由得到，，即，即，所以，又，故令，，则，，所以，等号成立条件为故最大值为，故答案为：；方法提示：关键点点睛：本题考查诱导公式以及两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，余弦定理及三角形面积公式，第二问解题的关键是通过换元法及基本不等式求解，运算比较复杂．四、解答题：本题共5小题，共77分15.已知，是非零向量，，且，．（1）求；（2）求．答案：（1）（2）解析：（1）因为，则，又，所以，得到.（2）由（1）知，又，，则，所以.16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且.（1）求C；（2）若的面积为求c.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理以及正弦定理，整理化简等式，根据和角公式，可得答案；（2）利用面积公式建立方程组，结合余弦定理，可得答案.（1）由余弦定理，得所以由正弦定理得即，所以.又，所以，所以.因为，所以，所以.又，所以.（2）因为的面积为，所以，即.联立方程，解得或（舍）.由余弦定理，得.17.如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．（1）求该圆柱的表面积；（2）求该直三棱柱的外接球O的体积．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解；（2）由球的体积公式即可求解．（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，所以，的内切圆半径，圆柱的高，所以圆柱的表面积．（2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点，设外接圆的圆心为，底面直角三角形外心是斜边的中点，则，，所以，外接球半径，体积．18.已知函数，为常数．（1）当时，求函数的值域；（2）讨论函数零点的个数；（3）若函数有两个不相等的零点，证明：．答案：（1）（2）当或时，有0个零点，当时，有1个零点，当时，有2个零点．（3）函数在区间上有两个不相等零点所以是方程的两个不相等的实根；即，，，在上单调递减，，即．解析：思路：（1）化简函数令，，当时，计算值域；（2）分类讨论判断函数的零点个数；（3）根据题意是方程的两个不相等的实根，进而根据条件计算证明即可；（1）令，则，，当时，，所以的值域为.（2）令，则，，当或时，有0个零点，当时，有1个零点，当时，有2个零点．（3）略19.已知定义在上的函数满足，（1）求值：（2）当时（i）证明：在上单调递增；（ii）设为锐角，求的最大值.答案：（1）1012（2）（i）由已知设，则结合可知因为，所以所以，所以在上单调递增；（ii）