辽宁省沈阳市省重点高中五校联考2025-2026学年高二下册7月期末调研数学试卷-含答案

数学第一部分：选择题型（1－11题58分）第二部分：非选择题型（12－19题92分）第Ⅰ卷(选择题共58分)一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，集合，则A. B. C. D.2.函数是奇函数的充要条件A. B. C. D.3.下列说法错误的是（

）A.函数与是相同的函数B.已知函数的定义域为，则函数的定义域为C.若，则D.函数的最小值为64.已知等比数列，，…，各项为正且公比，则（）A. B.C. D.与的大小关系不能确定5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%6.若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（）A.1 B.C. D.7.小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（）A.4天 B.8天 C.10天 D.16天8.已知函数与图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（）/百万02百万012A. B.C.投资两种项目的收益期望一样多 D.投资项目的风险比项目高10.已知正实数，满足，下列说法正确的是（）A.的最大值为2 B.的最小值为4C.的最小值为 D.的最小值为11.已知定义在R上的可导函数满足：①是奇函数，②.设函数，则（）A.的周期为6B.在至多有两个零点C.曲线的一条对称轴为D.若，则曲线在处的切线方程为第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+=______．13.已知数列中，，，，且，则________.14.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在正项数列中，，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前100项和.16.已知函数为定义在上的偶函数，且满足，．（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．17.为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

购买非电动车购买电动车总计男性39645女性301545总计692190能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望．①参考数据：；②参考公式：（i）线性回归方程：，其中．（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．（iii），其中．附表：0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82818.已知函数，（1）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值；（2）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围．19.2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为；（1）若，求4次后停在初始点的概率；（2）求机器人移动3次后停在初始点前方的概率；（3）设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分的期望，若存在极大值点，求的取值范围.

数学第一部分：选择题型（1－11题58分）第二部分：非选择题型（12－19题92分）第Ⅰ卷(选择题共58分)一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，集合，则A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：试题分析：,,所以，故选B.考点：集合的运算.2.函数是奇函数的充要条件A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据函数为奇函数，求得的值，由此确定正确选项.解答过程：由于为奇函数，所以恒成立，即，恒成立，由于，所以.在四个选项中，与等价的是，所以B选项符合.故选：B3.下列说法错误的是（

）A.函数与是相同的函数B.已知函数的定义域为，则函数的定义域为C.若，则D.函数的最小值为6答案：D解析：思路：根据定义域以及对应关系即可判断A，由抽象函数定义域的性质即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由基本不等式即可求解D．解答过程：由，解得，则的定义域为，由，解得，所以的定义域为，又，故函数与是相同的函数，故A正确，不符合题意；由，得，所以的定义域为，故B正确，不符合题意；因，所以，故C正确，不符合题意；因，当且仅当时取等号，因方程无解，等号不成立，故D错误，符合题意．4.已知等比数列，，…，各项为正且公比，则（）A. B.C. D.与的大小关系不能确定答案：C解析：思路：作差并化简得，根据，讨论差的正负即可得解.解答过程：．因为，，，所以若，则，，所以，所以；若，则，，所以，所以.所以恒有．故选：C．5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%答案：B解析：解答过程：试题分析：由题意故选B．考点：正态分布6.若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（）A.1 B.C. D.答案：C解析：思路：设方程的四个根为，利用等差数列的性质求解.解答过程：解：设方程的四个根为，则，，又因为方程的四个根组成一个首项为的等差数列，设，所以，设等差数列的公差为，则，解得，则等差数列为，所以，则，故选：C7.小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（）A.4天 B.8天 C.10天 D.16天答案：A解析：解答过程：记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”，，，，所以，，（天）.8.已知函数与图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题可得存在满足,令,因为函数和在定义域内都是单调递增的,所以函数在定义域内是单调递增的,又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点),所以,故选：B.考点：指对数函数方程单调性二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（）/百万02百万012A. B.C.投资两种项目的收益期望一样多 D.投资项目的风险比项目高答案：ACD解析：思路：根据分布列的性质求出、，再根据期望、方差公式计算可得；解答过程：解：依题意可得，所以，，所以，所以，故A正确；所以，则，故B错误；，所以，故C正确；因为，即，所以投资项目的风险比项目高，故D正确；故选：ACD10.已知正实数，满足，下列说法正确的是（）A.的最大值为2 B.的最小值为4C.的最小值为 D.的最小值为答案：BCD解析：思路：利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将代入，化简，利用基本不等式求解可判断C，利用基本不等式“1”的妙用可判断D.解答过程：对于A,因为，即，解得，又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A错误；对于B，，即，解得（舍），当且仅当时取得等号，故B正确；对于C,由题可得所以，解得，，当且仅当即时取得等号，故C正确；对于D,，当且仅当时取得等号，故D正确，故选:BCD.11.已知定义在R上的可导函数满足：①是奇函数，②.设函数，则（）A.的周期为6B.在至多有两个零点C.曲线的一条对称轴为D.若，则曲线在处的切线方程为答案：AD解析：思路：利用已知的递推关系推导周期；由于，将的零点转化为求的零点；利用对称轴的定义，验证是否成立；利用导数求斜率，结合切点坐标表示切线方程.解答过程：选项A：由，可得，因此的周期为，故A正确；选项B：，由于恒成立，故的零点等价于的零点.由是奇函数得，即；令代入得，即，令得，即，因此在上至少有个零点，故B错误；选项C：由题意知，令，则，故，即关于点中心对称，故C错误；选项D：对求导得，代入得，，故切线方程为，故D正确.第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+=______．答案：解析：解答过程：点处的切线方程是，则，切线斜率为，则，．13.已知数列中，，，，且，则________.答案：4051解析：思路：计算出，可得数列是周期为的循环数列，由可计算的值.解答过程：因为，，，所以当时，得，即，所以；当时，得，即，所以；当时，得，即，所以.所以数列是周期为的循环数列，且.所以.14.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.答案：16；解析：解答过程：依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在正项数列中，，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前100项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知可得为等比数列，再利用解得即可求.（2）由得到，再利用为偶数时，分组求出，再把代入即可.（1）成等差数列，，即，而，为等比数列，设公比为.又，得.（2），当为偶数时，，所以.16.已知函数为定义在上的偶函数，且满足，．（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．答案：（1）.（2）（3）解析：思路：（1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，根据函数的单调性分别求出的最小值，即可求解.（1）因为是上的偶函数，故对任意，恒成立，所以，，令，代入化简得得​，因此的解析式为.（2）由题意可得，易知在上单调递增，因此不等式等价于.令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得，由基本不等式得，当且仅当取最小值，因此，即.（3）对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值.因为单调递增，故，因此存在，使得，即，开口向上，对称轴，若，，得；若，，恒成立；若，，结合恒成立.综上得​，即.17.为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

购买非电动车购买电动车总计男性39645女性301545总计692190能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望．①参考数据：；②参考公式：（i）线性回归方程：，其中．（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．（iii），其中．附表：0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828答案：（1），与线性相关较强（2）可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关（3）的分布列为.012，解析：思路：（1）由相关系数计算公式即可求解判断；（2）通过卡方值的计算即可判断；（3）通过抽样比确男性车主选取2人，女性车主选取5人，再确定的取值求得概率即可求解.（1）相关系数为故与线性相关较强（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别无关；可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关（3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为0，1，2，故，故的分布列为.01218.已知函数，（1）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值；（2）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围．答案：（1）1（2）解析：思路：（1）先将不等式整理后，构造函数，求导判断其单调性，由不等式推得，依题即得对任意恒成立，从而利用导数求出函数的最大值即得；（2）根据有两个不同的极值点，可得是方程的两根，写出韦达定理，求得，由推得，化简，利用求导判断的单调性确定其取值范围即可求得的范围.（1）当时，不等式可化为，变形为，令，求导得，所以在上是增函数，而，即，则，故对任意，不等式恒成立，等价于对任意恒成立，令，则，所以当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以，故实数的取值范围为，所以的最小值为1；（2）因为存在两个不同的极值点，所以由可得是方程的两根，由可得，则，则可得，，故，故，又由可得，因，则，令，则，∵，∴，即，，则，故在区间上单调递减，则有，即，所以实数取值范围.19.2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为；（1）若，求4次后停在初始点的概率；（2）求机器人移动3次后停在初始点前方的概率；（3）设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测