江西省吉安市2025-2026学年高二下册期末教学质量检测数学试卷-含答案

数学总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（）A. B. C. D.2.设等差数列的前n项和为，若，，则（）A.1 B. C.2 D.3.已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点，，，得到y关于x的回归方程为，则m的值为（）A.3.6 B.3.2 C.2.7 D.2.54.随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（）A. B. C. D.5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.7.某深空探测器向地球发送关键数据包，由于存在宇宙射线干扰，每次发送成功的概率均为，且各次发送结果相互独立．若探测器累计成功发送4次，且期间未出现连续两次发送失败，则完成任务并立即进入休眠状态（停止后续发送）．该探测器恰好在第6次发送后完成任务的概率为（）A. B. C. D.8.已知数列满足：，，，数列满足，则数列的前项的积为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（）A.数列为递增数列 B.的最小值为C. D.10.已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（）A.若，则事件A与B为对立事件B.若，则C.若，则D.若，，则11.设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（）A.的图象与轴有且仅有个交点 B.存在实数，使得的图象与轴相切C.若，则方程有唯一实数解 D.若有两个零点，则的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.随机变量X服从正态分布，若，则________．13.已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________．14.某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第颗卫星与基准轨道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差，则前69颗入轨卫星的总偏差为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差．（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围．16.为了解学生每日睡眠时间与课堂专注度的关系，某校随机抽取50名高中生进行调查，整理数据后获得如下不完整列联表：项目课堂专注度达标课堂专注度未达标合计每日睡眠时间小时5每日睡眠时间小时8合计2250（1）请完成列联表，并以频率估计概率，估计每日睡眠时间不足7小时的学生中，课堂专注度未达标的概率；（2）根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生每日睡眠时间与课堂专注度有关？0.050.010.0013.8416.63510.828附：，其中为样本容量．17.已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围．18.现有张卡片，其中张为黑色、张为白色，卡片除颜色外完全相同．从中不放回地随机抽取张放入一个空容器中，记容器中黑色卡片的张数为．每次从该容器中随机取出张卡片：若是黑色卡片，则将其换成一张白色卡片放回容器；若是白色卡片，则将其换成一张黑色卡片放回容器．经过次上述操作后，容器中黑色卡片的张数记为．（1）求；（2）若已知，记；（ⅰ）求随机变量的分布列；（ⅱ）理论表明，当为偶数时，随着操作次数的增加，会逐渐趋近于．当与该趋近值的误差足够小时，即可认为概率变化已趋于稳定．规定：当为偶数，且时，立即停止操作，求此时已进行的操作次数．（参考数据：，，）19.已知函数，为的导函数，函数在点处的切线l与直线平行．（1）求切线l的方程；（2）设函数，．（ⅰ）讨论函数的单调性；（ⅱ）若方程有且仅有三个互不相等的实数根，，，求实数n的取值范围，并证明：．

数学总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：该质点在内的平均速度是.2.设等差数列的前n项和为，若，，则（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用等差数列前项和公式及等差数列性质求解.解答过程：在等差数列中，由，，得，所以.3.已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点，，，得到y关于x的回归方程为，则m的值为（）A.3.6 B.3.2 C.2.7 D.2.5答案：C解析：解答过程：，则，则，得4.随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设，，则，又，则，解得，所以.所以.5.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，，令，求导得，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；因为，所以，所以，即，综上，．6.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.解答过程：要使分段函数在上单调递增，需要满足三个条件：（1）在上单调递增，当时，，因为在上单调递增，所以要使在上单调递增，须满足；（2）在上单调递增，当时，，，，要使在上单调递增，必须满足在时恒成立，即：，，因为，所以，所以，即；（3）为了保证函数在整个上单调递增，必须满足处的左极限小于等于处的右极限，当时，，需满足，解得：；综上所述：.7.某深空探测器向地球发送关键数据包，由于存在宇宙射线干扰，每次发送成功的概率均为，且各次发送结果相互独立．若探测器累计成功发送4次，且期间未出现连续两次发送失败，则完成任务并立即进入休眠状态（停止后续发送）．该探测器恰好在第6次发送后完成任务的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：该探测器恰好在第6次发送后完成任务，所以第6次必然成功，前5次没有出现连续两次失败且成功了次，那么两次失败插空分布在发送成功部分，通过独立事件与互斥事件的概率求出完成任务的概率.解答过程：该探测器恰好在第6次发送后完成任务，所以第6次必然成功，前5次没有出现连续两次失败且成功了次，那么设事件：该探测器恰好在第6次发送后完成任务，则.8.已知数列满足：，，，数列满足，则数列的前项的积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用递推式求出，进而求出，再根据的性质求出前项积，进而求解．解答过程：已知，则，则是首项为2，公差为1的等差数列，即，，时，，符合上式，故，已知，则，设的前项积为，则，故．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（）A.数列为递增数列 B.的最小值为C. D.答案：ABD解析：思路：根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式逐项分析判断.解答过程：在等差数列中，，而，则，对于A，等差数列的公差，数列为递增数列，A正确；对于B，等差数列前8项均为负，从第9项起均为正，因此的最小值为，B正确；对于C，，C错误；对于D，，则，D正确.10.已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（）A.若，则事件A与B为对立事件B.若，则C.若，则D.若，，则答案：BCD解析：解答过程：对于A，由，得，则事件与互斥，但不能得到与一定对立，故A错误；对于B，，得，则，故B正确；对于C，由，，，得，故C正确；对于D，已知，得；，得；，得，故D正确.11.设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（）A.的图象与轴有且仅有个交点 B.存在实数，使得的图象与轴相切C.若，则方程有唯一实数解 D.若有两个零点，则的取值范围为答案：BD解析：思路：对A直接通过函数的最小值判断可得，对B根据导数的几何意义判断可得存在时，的图象与轴相切，对C先判断时有最大值，再结合A选项分析可知，因此可得结果错误，对选项D，先换元，进而通过导数判断的单调性及最大值，再通过构造函数判断最大值时的范围可得.解答过程：对A选项，由求导得：，令得.当时，，单调递减；时，，单调递增.所以函数有最小值为，且时，因此与轴仅有个交点，A错误.对B选项，定义域为，若图象与轴相切，则存在满足.求求导得，代入得：，令得，此时，满足条件，因此存在这样的，B正确.对C选项，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以函数有最大值，因此而由A选项分析知，所以，所以方程无实数解，故C错误.对D选项，令，则，代入得，，当时：，函数单调递增，最多有个零点，不符合；当时：令得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数有最大值为，令，，所以在上单调递减，且.因此当，，即函数有最大值.因为函数在上单调递增，在上单调递减，，当时，，当时，，此时函数在区间，各有一个零点，共两个零点.因此若有两个零点，则的取值范围为，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.随机变量X服从正态分布，若，则________．答案：解析：解答过程：因为随机变量X服从正态分布，所以，所以，所以.13.已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________．答案：解析：思路：构造函数，求导，结合已知条件分析函数单调性，进而利用单调性解不等式．解答过程：令，，故在上单调递增，已知，则，不等式等价于，即，在上单调递增，故，解得或，解集为．14.某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第颗卫星与基准轨道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差，则前69颗入轨卫星的总偏差为________．答案：1193解析：思路：先归纳得数列的通项，再求出数列的前项和，最后求得前69颗入轨卫星的总偏差即.解答过程：由题意得，，，，，，，，.可以归纳出，当时，若，则；若，则．令，则，当为偶数，设，那么,则,,，所以，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差．（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围．答案：（1）（2）解析：（1）设等差数列的公差为，由题意知.因为成等比数列，故.又，所以，，，代入得展开整理得，即.由得，因此数列的通项公式为.（2），数列的前项和因为，所以，故，因此，即的最大值为.不等式对任意恒成立，等价于，整理得，即，解得或.16.为了解学生每日睡眠时间与课堂专注度的关系，某校随机抽取50名高中生进行调查，整理数据后获得如下不完整列联表：项目课堂专注度达标课堂专注度未达标合计每日睡眠时间小时5每日睡眠时间小时8合计2250（1）请完成列联表，并以频率估计概率，估计每日睡眠时间不足7小时的学生中，课堂专注度未达标的概率；（2）根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生每日睡眠时间与课堂专注度有关？0.050.010.0013.8416.63510.828附：，其中为样本容量．答案：（1）补全后的列联表如下：项目课堂专注度达标课堂专注度未达标合计每日睡眠时间≥7小时20525每日睡眠时间<7小时81725合计282250所求概率为（或0.68）；（2）能认为学生每日睡眠时间与课堂专注度有关.解析：（1）先根据合计，求出课堂专注度达标为28，再分别求出纵向值，最后求出横向合计值，即如下：项目课堂专注度达标课堂专注度未达标合计每日睡眠时间≥7小时20525每日睡眠时间<7小时81725合计282250（2）零假设为：学生每日睡眠时间与课堂专注度无关.根据列联表数据，代入卡方统计量公式计算得因为，所以根据小概率值0.001的独立性检验，拒绝，即能认为学生每日睡眠时间与课堂专注度有关.17.已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围．答案：（1）的极小值为，无极大值（2）解析：思路：代入参数值，求导求得函数极值；求出导函数并因式分解，转为求更简单的函数值域，利用函数单调性求的初步范围，利用存在性条件和函数最值进一步缩小的范围得出结论.（1）当时，，定义域为，则，，，当时，，则，单调递减，当时，，则，单调递增，故时，有极小值：，没有极大值.（2），在区间上单调，在上不变号，此时，，令，则在上，恒成立或恒成立，若在区间上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，即，若在区间上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，即.则当时，因在上单调递增，，令，解得，故得；当时，因在上单调递减，，令，即，也即，比较和大小：，且，，.故实数a的取值范围是.18.现有张卡片，其中张为黑色、张为白色，卡片除颜色外完全相同．从中不放回地随机抽取张放入一个空容器中，记容器中黑色卡片的张数为．每次从该容器中随机取出张卡片：若是黑色卡片，则将其换成一张白色卡片放回容器；若是白色卡片，则将其换成一张黑色卡片放回容器．经过次上述操作后，容器中黑色卡片的张数记为．（1）求；（2）若已知，记；（ⅰ）求随机变量的分布列；（ⅱ）理论表明，当为偶数时，随着操作次数的增加，会逐渐趋近于．当与该趋近值的误差足够小时，即可认为概率变化已趋于稳定．规定：当为偶数，且时，立即停止操作，求此时已进行的操作次数．（参考数据：，，）答案：（1）（2）（ⅰ）​（ⅱ）解析：思路：（1）直接根据超几何分布的概率公式计算可得；（2）（ⅰ）由进而可得，，再由概率的乘法公式可得，，从而可得分布列；（ⅱ）先由偶数，​仅取和，进而再推导，再结合等比数列的性质可得，再通过取对数计算可得所求值.（1）表示初始抽取的张卡片中恰有张黑色，由超几何分布得：

.因此.（2）（ⅰ）已知，即初始容器内黑白共张卡片，第次抽牌，抽中黑色卡片（概率为），则黑色卡片变为，即；抽中白色卡片（概率为），则黑色卡片变为，即；因此只能取或：，.​为第二次操作后黑色张数，若（黑白），必抽到白色卡（概率为），替换后，若（黑白）：抽到黑色卡（概率为），替换后，抽到白色卡（概率为），替换后，所以，，.所以的分布列为：​（ⅱ）对偶数，​仅取和，​仅取和，所以的值通过两次抽牌回到的值，每次操作黑色卡片张数变化.①从状态出发，经过两次操作回到状态：路径：，概率；路径：，概率；合计概率.②从状态出发，经过两次操作回到状态，路径：，概率.所以，即整理为等比数列形式：，结合初始，得通项：

​，即.由要求​，代入得：

，，两边取常用对数：

，.因为为偶数，故最小