江苏省南通市启东市第一中学2025-2026学年高三上册第二次素质检测数学试卷-含答案

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. B. C. D.3.已知随机变量X服从正态分布，且，那么（）A.0.2 B.0.6 C.0.4 D.0.84.已知向量和满足，则（）A.1 B. C. D.25.已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（）A. B. C. D.6.记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点．若，则（）A. B. C. D.7.已知双曲线的左焦点为，点分别在的左、右两支上，（为坐标原点），且，则的离心率为（）A. B. C. D.8.已知三次函数的定义域和值域都为，则（）A. B.0 C.1 D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知，，且，下列选项中错误的是（）A.的最小值为9 B.的最小值为2C.的最大值为2 D.的最大值为110.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.与为互斥事件 B.与相互独立C. D.11.设曲线与轴交于两点，是上一点（不在坐标轴上），则（）A.是轴对称图形 B.的面积小于C.围成的封闭图形面积小于 D.为钝角三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若和都为锐角，，则______．13.函数在处的切线方程为，则的值为____________.14.随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的三个内角所对边为，若，.（1）求的值；（2）若，求的面积.16.如图，四棱锥中，四边形为菱形，.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.17.已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且.（1）证明：是等差数列；（2）设是方程的根，数列的前项和为，证明：.18.在坐标平面中，已知抛物线，经过点的直线与交于两点，直线平行于且与切于点.当直线与轴垂直时，.（1）求的方程；（2）若直线与交于点，求的横坐标；（3）求的面积的最小值.19.已知函数及其导函数定义域都为区间是曲线上任意不同的三点.若点的横坐标依次成等差数列，且在点处的切线的斜率大于直线的斜率，则称在上为“中值偏移”函数.（1）设.①讨论的单调性；②若是上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围；（2）证明：在上为“中值偏移”函数.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：验证可知，进而可求交集.解答过程：因为，，可知，所以.故选：C.2.若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据复数运算法则计算.解答过程：根据题意，，则.故选：C3.已知随机变量X服从正态分布，且，那么（）A.0.2 B.0.6 C.0.4 D.0.8答案：C解析：思路：根据正态曲线的对称性求解答案.解答过程：因为随机变量，，由正态分布的对称性可知，．故选：C.4.已知向量和满足，则（）A.1 B. C. D.2答案：D解析：思路：由向量垂直，模长的运算以及向量的数量积计算即可；解答过程：由题意可得，即，又，所以，所以，故选：D.5.已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设球的半径及圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，再根据球与圆锥的表面积公式求得，根据勾股定理求得，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可解答过程：设球的半径及圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，则，所以，球的体积为，圆锥的高，圆锥的体积为，所以圆锥的体积与球的体积的比值为．故选：C．6.记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点．若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由正弦函数的对称性得到到的距离为到的距离的二倍，再结合题意列方程，然后结合二倍角的余弦公式求解即可；解答过程：关于对称，因为，所以到的距离为到的距离的二倍，所以，即，所以，即，即，解得，又，故选：C.7.已知双曲线的左焦点为，点分别在的左、右两支上，（为坐标原点），且，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设双曲线的右焦点为，连接，易得，在中，利用正弦定理求出，再根据双曲线的定义得出的齐次式即可得解.解答过程：设双曲线的右焦点为，连接，则四边形为等腰梯形，故，所以，，在中，由正弦定理得，所以，因为在双曲线左支上，所以，即，所以，即的离心率为.故选：A.8.已知三次函数的定义域和值域都为，则（）A. B.0 C.1 D.答案：D解析：思路：先因为定义域和值域都为，得出，分和两种情况结合导函数得出函数单调性即可根据值域列式求解即可.解答过程：因为，三次函数的定义域和值域都为，所以，所以，所以，当时，不合题意；当时，，单调递减；单调递增；所以，所以，即得.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知，，且，下列选项中错误的是（）A.的最小值为9 B.的最小值为2C.的最大值为2 D.的最大值为1答案：ABD解析：思路：运用乘1法判定A，变形后直接使用基本不等式判定B，C，运用基本不等式结合对数性质计算即可判定D.解答过程：，A错.，当且仅当即时取“=”，此时，故等号取不到，B错.，当且仅当时等号成立，故C对，D错故选：ABD.10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.与为互斥事件 B.与相互独立C. D.答案：BD解析：思路：由互斥事件、相互独立事件的定义判断AB；利用概率的基本性质计算判断C；求出条件概率判断D.解答过程：依题意，不放回的随机取两次，共有种不同结果，，共个不同结果，，共个不同结果，，共个不同结果，对于A，事件能同时发生，如基本事件，与不互斥，A错误；对于B，，，共6个不同结果，，与相互独立，B正确；对于C，，共9个不同结果，，，C错误；对于D，由选项B知，，D正确.故选：BD11.设曲线与轴交于两点，是上一点（不在坐标轴上），则（）A.是轴对称图形 B.的面积小于C.围成的封闭图形面积小于 D.为钝角答案：ABD解析：思路：将换为，换为，可判断A；设，求出及的范围，求的面积可判断B；设是曲线上任一点，由题设得到，即，可判断C；由题设知，利用二次函数的性质求得的范围，再由极化恒等式确定的符号可判断D.解答过程：对于A：将换为，不变，得，与原方程一样，所以曲线C关于轴对称，换为，不变，得，与原方程一样，所以曲线C关于轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，是轴对称图形，故A正确；对于B：令，得，，在曲线上任取一点，且不在坐标轴上，则，∴，，故B正确；对于C：设是曲线上任一点，由，得，所以，所以，∴，即点在单位圆外或圆上，所以曲线C围成的图形面积不小于，故C错误；对于D：由选项B知，，，，因为，，∴，又不共线，故为钝角，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若和都为锐角，，则______．答案：##解析：思路：由同角的三角函数关系结合两角和与差的正弦展开式求解即可；解答过程：因为和都为锐角，，所以由同角的三角函数关系可得，又，，所以，所以，故答案为：.13.函数在处的切线方程为，则的值为____________.答案：解析：思路：由切点既在切线上，又在函数图象上，即可得解.解答过程：将代入切线方程，得，即切点为，因为切点也在函数的图象上，故，解得.故答案为：2.14.随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________．答案：①.4②.##0.75解析：思路：根据给定条件，利用方差的性质求出，再利用二项分布的期望、方差公式求解.解答过程：由，得，，又，因此；又，，则，解得，而，所以当时，.故答案为：4；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的三个内角所对边为，若，.（1）求的值；（2）若，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理和二倍角正弦公式可求得，由二倍角余弦公式可求得结果；（2）利用余弦定理可构造方程求得，进而得到，结合三角形面积公式可求得结果.（1）由正弦定理得：，即，，则.（2），，由余弦定理得：，又，，解得：或（舍），，.16.如图，四棱锥中，四边形为菱形，.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.答案：（1）证明见详解（2）解析：思路：（1）取的中点，可证平面，进而可得；（2）过作，过作，求相应长度，根据可得，进而可得结果.（1）取的中点，连接，由题意可知：为等边三角形，且，则，且，平面，可得平面，又因为平面，所以.（2）过作，垂足为，可知，在中，由余弦定理可得，则，过作，垂足为，则，可得，因为，则，即，解得，则，可得，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.17.已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且.（1）证明：是等差数列；（2）设是方程的根，数列的前项和为，证明：.答案：（1）证明见详解（2）证明见详解解析：思路：（1）根据题意结合等差数列定义可得，，即可得，再求，验证可得即可；（2）构建，利用导数结合零点存在性定理可得，分析可知数列为等比数列，结合等比数列求和公式分析证明.（1）因为是公差为6的等差数列，则，设，可得，，又因为是公差为9的等差数列，则，可得，即，且，解得，即，，可得，综上所述：，所以是等差数列.（2）构建，则是函数的零点因为，则在上单调递增，且，可知有且仅有一个零点，又因为，可知数列是以首项，公比为的等比数列，则，又因为，可得，所以.18.在坐标平面中，已知抛物线，经过点的直线与交于两点，直线平行于且与切于点.当直线与轴垂直时，.（1）求的方程；（2）若直线与交于点，求的横坐标；（3）求的面积的最小值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由题意可得，结合平面垂直向量的坐标表示计算即可求解；（2）设，利用导数的几何意义求得，联立方程即可求解；（3）根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，联立方程与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式表示出，得（令），结合幂函数的性质即可求解.（1）因为轴，所以，代入方程，得，设，由，得，即，解得，所以的方程为.（2）设，不妨设，如图，由，得，则，所以，得，故，得，所以，消去得，即的横坐标为.（3）设，由（2）得，，则点到直线的距离为；由，得，，，所以，故，令，则，所以，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为4.19.已知函数及其导函数定义域都为区间是曲线上任意不同的三点.若点的横坐标依次成等差数列，且在点处的切线的斜率大于直线的斜率，则称在上为“中值偏移”函数.（1）设.①讨论的单调性；②若是上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围；（2）证明：在上为“中值偏移”函数.答案：（1）①当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.②（2）不妨设，因为，所以以为切点的切线的斜率．因为直线的斜率，所以．设，则.设．因为，设，则，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以是＂中值偏移＂函数．解析：思路：（1）①利用导数的应用分类讨论含参函数的单调性即可；②设，计算的表达式，再设，