江苏省无锡市江阴市某校2025-2026学年高三下册4月阶段性检测数学试卷-含答案

数学满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为（）A.2 B.0 C.-2 D.3.展开式中的常数项是（）A.-540 B.-20 C.20 D.5404.记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（）A.0 B.6 C.12 D.185.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（）A. B. C. D.6.已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（）A.5 B.4 C.3 D.27.已知不等式对任意恒成立，则实数a的最大值为（）A.1 B. C.-1 D.08.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，平面，则的最小值是（）A.2 B. C. D.3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，且，，则（）A. B.C. D.10.如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（）A. B.双曲线的离心率为3C. D.的面积为11.设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（）A.若，则；B.若，则；C.若，，则；D.若，则．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将1到18这18个正整数平均分成A、B两组，每组各9个数，使得A组的中位数比B组的中位数小1，则共有________种分法．13.已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________．14.已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值．16.三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．（1）求侧棱的长；（2）若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值．17.元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动．（1）为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下列联表，已知，是否有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？北方南方汤圆1636元宵2424（2）在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答．（i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率；（ii）已知：若是两点分布，且，则，若甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，计算的数学期望．附：18.已知O为坐标原点，椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点P为直线上一点（P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．（ⅰ）证明：直线AB过定点；（ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B交x轴于点M，设，设，的面积分别为，，求的最大值．19.已知函数．（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；（2）当时，求证在上只有一个零点，且．

数学满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据对数函数的性质和一元二次不等式的解法，分别求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.解答过程：由，可得，则，又由，解得，因为，所以，所以．故选：D．2.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为（）A.2 B.0 C.-2 D.答案：C解析：解答过程：因为，所以若为实数，则，所以.3.展开式中的常数项是（）A.-540 B.-20 C.20 D.540答案：A解析：解答过程：展开式的通项公式是，令，得，所以.4.记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（）A.0 B.6 C.12 D.18答案：C解析：思路：由等差数列的性质可得，再由等比中项的性质可得，结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.解答过程：设等差数列的公差为，由可得，即，又，，成等比数列，所以，即，化简可得，解得或（舍），则，所以，则.故选：C5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，求出，然后带入，即可求出15h后还剩污染物的百分数.解答过程：根据题意时，，又在前5h消除了的污染物，则，则15h后还剩污染物为，所以15h后还剩污染物的百分数为.故选：C6.已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：A解析：思路：将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值.解答过程：的焦点为，准线为，即为，所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部，过点作垂直准线，交准线于点，所以，当且仅当三点共线时取等号，又当且仅当三点共线时取最小值，此时最小值为，所以的最小值为5.7.已知不等式对任意恒成立，则实数a的最大值为（）A.1 B. C.-1 D.0答案：B解析：思路：令，利用导数分析函数的单调性，并求得其最大值，即可求得实数a的最大值.解答过程：令，则.当时，，所以，单调递增；当时，，所以，单调递减.所以在处取得极大值，即最大值，最大值为.由不等式对任意恒成立，得，所以，故实数a的最大值为.8.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，平面，则的最小值是（）A.2 B. C. D.3答案：B解析：思路：先根据题中的关系确定点在平面中的位置，在求的最小值.解答过程：如图，分别取棱，的中点，，连接，，．因为正方体中，，所以平面内两相交直线，与平面平行所以平面，则点在线段上．过点作，垂足为，连接DH，则，当且仅当与重合时，．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，且，，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据题意，结合同角基本关系式求出，再利用两角和差公式逐项判断.解答过程：根据题意，，，所以，则，A错误；，因为，则，所以，B正确；由，则，所以，C错误；因为，则，D正确.10.如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（）A. B.双曲线的离心率为3C. D.的面积为答案：ACD解析：思路：A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理求解；D.由三角形的面积公式求解.解答过程：对于A，因为，且（公共角），所以，A正确；对于B，双曲线，，因为，联立得：，，由，得，则，，所以，又，即，得，故，B错误；对于C，在中，，，，由余弦定理得，C正确；对于D，，因为，所以,又因为，，所以的面积，D正确.11.设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（）A.若，则；B.若，则；C.若，，则；D.若，则．答案：AC解析：思路：利用条件概率公式推导即可判断A；利用条件概率公式，结合对立事件性质，即可判断B；利用条件概率公式将两个式子展开化简即可判断C；利用对立事件的概率和，再结合条件概率公式和加法公式推导，即可判断D.解答过程：A.根据条件概率公式得,即，两边同除以得，即，A正确；B.已知，即,又整理得，，即，即，因此，B错误；C.化简得，，C正确；D.已知，且，即，所以，整理得，而，因此，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将1到18这18个正整数平均分成A、B两组，每组各9个数，使得A组的中位数比B组的中位数小1，则共有________种分法．答案：4900解析：思路：首先确定A，B两组的中位数，再对其他的数字分组，利用组合数公式，即可求解.解答过程：将到这个正整数分成、两组，每组个数，将每组从小到大排序后，第个数就是该组的中位数.设组的中位数为，组的中位数为，根据题意得.从小到大排序后，组有个数小于，个数大于；组有个数小于，个数大于.两个中位数和是相邻的两个数，所有小于​的数共有个，这些数都要分到、两组中小于各自中位数的位置：组需要个，组需要个，因此一共需要个数，即

，得

，因此.因此需将小于9的8个数平分到A，B两组，大于10的8个数平分到A，B两组，共有种分法.13.已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________．答案：解析：思路：数列表示所有正奇数，分是奇数和偶数分析数列中项的奇偶性.解答过程：已知，数列的项为正奇数，当为奇数时，设，则是偶数，则数列与没有公共项；当为偶数时，设，则是奇数，符合要求，则数列与的公共项就是，即，故.14.已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________．答案：##解析：思路：设出公切线在两函数图象上的切点，用两种方式表示出公切线，得到对应等量关系，据此可得答案.解答过程：设公切线在图象上的切点为，结合，可得公切线方程为：；设公切线在图象上的切点为，结合，可得公切线方程还可表示为：.依题意可得，由②得，即，代入①，得，又，，从而.令，则.令，则，则在上单调递减，注意到，则，则在上单调递增，在上单调递减，从而，即实数m的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出；（2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，即，，又，所以，所以，所以；（2）由（1）知，，又，则由正弦定理得．由余弦定理可得，所以，所以，根据正弦定理得，，因为，则，所以，所以．16.三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．（1）求侧棱的长；（2）若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值．答案：（1）2（2）解析：思路：（1）在平面内过A作，垂足为D，证明平面，根据题意算出，即可求解侧棱的长；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解.（1）在平面内过A作，垂足为D，因为侧面为矩形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为，所以，平面，平面平面，所以平面.所以，解得，因为，所以，所以；（2）如图，以A为坐标原点，以AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，故，.因为，则，故，设平面的法向量为，则,即，令，则，故平面的一个法向量为，设直线AE与平面所成角为，则，所以直线AE与平面所成角的正弦值为．17.元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动．（1）为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下列联表，已知，是否有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？北方南方汤圆1636元宵2424（2）在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答．（i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率；（ii）已知：若是两点分布，且，则，若甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，计算的数学期望．附：答案：（1）有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关；（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）利用独立性检验公式进行计算，并判断与的大小关系，即可作出判断；（2）（ⅰ）记事件为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”，利用组合公式计算总的基事件个数和事件包含的基事件个数，再利用古典概型公式计算即可求解；（ⅱ）设随机变量为第题与第题均被选中，为其余情况，结合题中条件进行求解即可.（1）列联表如下：

北方南方合计汤圆163652元宵242448合计4060100原假设：吃汤圆或元宵与地域无关．，故拒绝，即有95%的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关．（2）（ⅰ）记事件A为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”，则．（ⅱ）设随机变量为第题与第题均被选中，为其余情况，则，由甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，则由定义：若是两点分布，且，则，则．18.已知O为坐标原点，椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点P为直线上一点（P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．（ⅰ）证明：直线AB过定点；（ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B交x轴于点M，设，设，的面积分别为，，求的最大值．答案：（1）（2）（ⅰ）证明：设，，，由题意中的性质可得，切线PA方程为，切线PB方程为，因为两条切线都经过点，所以，，故直线AB的方程为：，显然当时，，故直线AB经过定点．（ⅱ）．解析：思路：（1）根据离心率和点坐标，得到方程，求出，得到椭圆方程；（2）（ⅰ）求出切线PA和切线PB的方程，得到直线AB的方程，当时，，故直线AB经过定点．（ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，得到两