山东菏泽市牡丹区长城学校2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习（含答案）

山东菏泽市牡丹区长城学校2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习一、单选题1．习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”党的十八大以来，我国航天事业不断刷新纪录，进入创新发展“快车道”、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列变形是因式分解的是（

）A．x2+2x=x(x+2) C．x2+2x=x3．下列运算正确的是（

）A．am+bC．ay⋅y4．下列说法中正确的是（

）A．四边相等的四边形是正方形B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线相等的平行四边形是矩形5．如果分式xy2x−3y中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（

A．不变 B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的14 D．缩小为原来的6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数是（

）A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或117．每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘60000m3的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高25%，将提前3天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为xA．600001+25%xC．60000x−600008．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，EF=10，则BD的长度是（

）A．86 B．20 C．1229．若不等式组x<1x<mA．m≤1 B．m=1 C．m≥1 D．m＜110．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+12∠C；②若OD=a，AB+BC+CA=b，则S△ABC=ab；③当∠C=60°A．①② B．②③ C．①②③ D．①③二、填空题11．当x=___________时，分式3x−1x+312．若分式方程m−1x−2+12−x=213．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交边AB于点E，再分别以点D、E为圆心，以大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长AF交边CD于点G．已知AE=10，▱ABCD的周长为48，则GC的长是14．若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是15．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥BC交BC于点E，已知OE=3，OC=5，则菱形ABCD的面积为___________．三、解答题16．解方程：(1)1x−2(2)x17．如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF，AC与BD相交于点O，求证：BE=DF．18．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，延长BC至点F，使CF=DE，连接CE，DF．(1)请判断四边形DECF的形状，并说明理由；(2)若∠ACB=90°，AC=12，19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,2),B(−1,4)，C(−4,5)，请解答下列问题：(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点(2)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB2C2，请作出(3)在平面上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点D的坐标，若不存在，请说明理由．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB=2CD，E为AB中点，连接(1)求证：四边形AECD为菱形；(2)若∠D=120°,DC=2，求四边形AECD的面积．21．人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布DeepSeek−V3模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？22．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：4x2−8xx−2=(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①(x−1)(2x−3)(x+2)(x−1)(x+2)；②2x+5x+3；③(2)若分式x2−4x+mx+n（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x−7，求m(3)若分式−2x3+2xA的“巧整式”为23．在菱形ABCD中，∠B=α0°<α≤90°，点O′在对角线AC上运动（点O′不与点A，点C重合），O′CAC=k，以点O′为顶点作菱形A′B′C′O′，且菱形A′B′C特例感知】（1）如图1，当α=90°，k=12时，则CE，CF，【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，α=60°，求CE+CF的值（用含k的代数式表示）；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接O′B,O《山东菏泽市牡丹区长城学校2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习》参考答案题号12345678910答案BABDBDCDAD11．-312．213．414．k≤115．3016．（1）解：原式去分母得：1+3x−2整理得：1+3x−6=x−1，解得：x=2，检验：当x=2时，x−2=0，∴x=2是方程的增根，∴原分式方程无解；（2）解：a=1，b=−4，c=1∴Δ=∴x=−b±∴x1=2+317．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDF(SAS∴BE=DF．18．(1)四边形DECF是平行四边形，理由如下：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，即又∵CF=DE，∴四边形DECF是平行四边形；（2）解：∵点D是AC的中点，AC=12，∴CD=1∵∠ACB=90°，DE∥∴∠CDE=180°−∠ACB=90°，即CD⊥DE，∴S四边形19．(1)如图，△A(2)如图，△AB2(3)(−5,3)或(−3,7)或(1,1)20．(1)证明：∵E为AB中点，∴AB=2AE，AB=2CD，∴AE=CD，又CD∥∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∵AB∥∴∠DCA=∠EAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形AECD是菱形；（2）解：过D作DH⊥AB于H，∵四边形AECD是菱形，∠ADC=120°,DC=2，∴∠DAH=180°−∠ADC=60°，AE=AD=CD=2，∴∠ADH=90°−∠DAE=30°，∴AH=12AD=1∴四边形AECD的面积为AE⋅DH=2321．（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为x+200元．根据题意，得4000x+200解得x=300，经检验，x=300是所列分式方程的解，300+200=500(元)．答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元．（2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人40−m台．根据题意，得40−m≤3m，解得m≥10．设共花费w元，则w=0.8×500m+0.8×30040−m∵k=160>0，∴w随m的减小而减小，∵m≥10，∴当m=10时，w值最小．w最小40−10=30(台)．答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．22．（1）解：∵(x−1)(2x−3)(x+2)(x−1)(x+2)=2x−3∴①是“巧分式”；∵2x+5x+3=2x+6−1∴②不是“巧分式”；∵x2−y∴③是“巧分式”；（2）解：∵分式x2−4x+mx+n（m，n∴x+n∴x∴n−7=−4−7n=m解得：m=−21n=3(3)是，理由：∵分式−2x3+2x∴A=−2∴A=2x∵2x又x+1是整式，∴2x23．解：（1）当α=90°，k=1四边形ABCD和A′B′C′如图1，连接O′B，则O′B=O∴∠BO∴△BO′E≌△C∴BE=CF，∵BE+CE=BC，∴CF+CE=BC；故答案为：CF+CE=BC；（2）如图2，过点O′作O′G∥AB，交BC∵四边形ABCD和四边形A′B′∴AB=BC=CD=AD=A′B∴△ABC、△ACD均为等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°，AC=AB=8，∵O∴∠CO∴△O∴O∵∠EO∴∠EO∴△O′EG