陕西西安市碑林区西安翱翔中学2026-2027学年上学期九年级开学数学试题（含答案）

陕西西安市碑林区西安翱翔中学2026-2027学年上学期九年级开学数学试题一、单选题1．数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．实数a与b在数轴上的对应点的位置如图所示，若bx<ax，则x的值可能为（

）A．−1 B．−13 C．0 3．在一个不透明的纸箱中装有除颜色外其他完全相同的4个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，则纸箱中红球和黑球共有（

）A．16个 B．14个 C．12个 D．10个4．若分式x2−9x+3的值为0，则xA．3 B．3或−3 C．−3 D．05．如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，∠BAD的平分线与边BC交于点P，E是AP的中点，若AB=8，AD=12，则OE的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，矩形的长和宽分别为a、b，其周长为16，面积为12，则2a2b+2aA．80 B．96 C．144 D．1927．在平面直角坐标系中，若直线y=3x+a不经过第二象限，则关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个8．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=22，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′的位置，连接CA．23−2 B．3−1 C．二、填空题9．分解因式：xy210．若n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于______．11．直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式组0＜x+1≤mx+n的解集为__．

12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E点，若∠ADC=130°，则∠AOE=________．13．关于x的一元二次方程x2−2k−1x+k2=0有两个实数根x1、14．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别为AD、BC上两个动点，且∠EFC=60°，连接AF，CE，当AF+EF+CE最小时，△AEF的面积为________．三、解答题15．解不等式组：x−216．先化简，再求值：x2x−1−x+1÷417．如图，已知正方形ABCD，请用尺规作图法，在正方形ABCD内部找一点P，使得PB=PC，且∠PBC=30°．（保留作图痕迹，不写作法）18．解方程：(1)x2(2)x19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BC延长线上一点，CE=BC，连接AE，AE⊥AB，连接DE．(1)求证：四边形ACED是菱形；(2)若AC=2.5，AB=3，求△ABE的周长．20．中国是茶的发源地，通过丝绸之路、茶马古道、海上贸易传至世界各地，深刻影响全球饮茶文化．某经销店在茶品促销会购进一批A，B两款茶杯的金额分别是7200元、3000元，A款茶杯单价是B款茶杯的1.2倍，购进A款茶杯的数量比B款茶杯多60个．(1)A，B两款茶杯的进货单价是多少元？(2)为满足消费者需求，该店准备再次购进A，B两款茶杯共120个，且满足A款茶杯的数量不少于B款茶杯数量的一半，若两款茶杯的进价不变，请设计出最省钱的进货方案，并求出进货的总费用的最小值．21．陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱．为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会．(1)若从中随机抽选一种，喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是；(2)班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B0,6，线段OA的长是一元二次方程x2−6x+9=0的根，直线l上有一点C满足S(1)求直线l的解析式和点C的坐标；(2)将直线l绕点C逆时针旋转90°得直线l′，若E是直线l上一动点，过点E作EF∥x轴交直线l′于点F，作EM⊥x轴，FN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形23．问题提出(1)如图①，在△ABC中，取AB的中点D，AC的中点E，连接DE，则DE与BC的数量关系是，位置关系是；问题探究(2)如图②，菱形ABCD的周长为8，面积为23，E为AB中点，若P为对角线BD上一动点，Q为AD边上一动点，求PE+PQ问题解决(3)如图③，某地计划修建五边形的广场ABCDE，其中AB=BC，CD=DE，AE∥CD，DE⊥AE，∠CAB=60°，由于受地理位置的影响，∠CAE<90°．现规划△ABC区域为休闲区，四边形ACDE为园林区，根据要求，现计划给休闲区的AC上设一入口M，BC上设一入口N，满足CN=2AM，连接MN，取MN的中点P，AB的中点Q，计划修建步道PA和PQ；同时计划在园林区修建一条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为AC的中点，出口定为点D，为了提升市民体验的舒适感，想要让园区步道PA+PQ最短，让绿色长廊OD最长，试求当步道PA+PQ的最小值为300米时，绿色长廊OD的最大值．《陕西西安市碑林区西安翱翔中学2026-2027学年上学期九年级开学数学试题》参考答案题号12345678答案CDAABDBA9．x10．1011．﹣1＜x≤1．12．65°13．−314．515．解：x−23解不等式①：两边同乘3得：x−2≥3x−12，整理得：−2x≥−10，解得x≤5，解不等式②：去括号得：3−5x+1≤7−2x，整理得：−3x≤3，解得x≥−1，所以不等式组的解集为−1≤x≤5．16．解：x====1∵x满足方程x2∴x1=0，∵x2∴x−1≠0，4x解得：x≠1，x≠1∴x=0，当x=0时，原式=117．解：所作点P如图所示：18．（1）解：x2其中a=1,b=−2,c=−1，∴Δ=∴x=2±即x1（2）x2因式分解得(x−1)(x+3)=0∴x−1=0或x+3=0解得x19．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC，AB∥CD，∵CE=BC，∴AD=CE∴四边形ACED是平行四边形∵AE⊥AB，∴∠BAE=90∵AB∥CD，∴∠COE=∠BAE=90∴AE⊥CD，∴平行四边形ACED是菱形．（2）∵CE=BC，∠BAE=90∴BE=2AC=5,在Rt△ABE中，AB=3∴由勾股定理得AE=∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=3+4+5=12．20．（1）解：设B款茶杯的进货单价为x元，则A款茶杯的进货单价为1.2x元，由题意可得，72001.2x60003000解得x=50，经检验，x=50是原分式方程的解，∴1.2x=60，答：A款茶杯进货单价为60元，B款茶杯进货单价为50元；（2）解：设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯120−a个，总费用w元，由题意可得，w=60a+50120−a∵10∴w随a的增大而增大，∵A款茶杯的数量不少于B款茶杯数量的一半，∴a≥12120−a解得a≥40，且a≤120，∵a为整数，∴当a=40时，w取得最小值，此时w=10×40+6000=6400,120−a=80，答：选择购进A款茶杯40个，购进B款茶杯80个，进货总费用最低，进货总费用的最小值为6400元．21．（1）解：喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是14（2）解：分别用A，B，C，D表示陕北秧歌、秦腔、西安鼓乐和华阴老腔，用列表法把所有等可能结果表示出来如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学恰好选中同一种的有4种，∴甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率为41622．（1）解：x2解得：x1∵线段OA的长是一元二次方程x2∴OA=3，∴点A的坐标为−3,0，设直线l的解析式为y=kx+b，把点B0,6，A−3k+b=0b=6解得：k=2b=6∴直线l的解析式为y=2x+6，∵B0,6∴OB=6，∵S△AOC∴S△AOB∵点C在第二象限，∴3×12OB×解得：xC∴点C的坐标为−1,4；（2）解：如图，设旋转后点B的对应点为点P，过点C作LK⊥y轴于点K，过点P作PL⊥x轴于点J，交LK于点L，则CK=1,BK=6−4=2,LJ=4，∠L=∠BKC=90°,BC=PC，∴∠BCK+∠CBK=90°，由旋转的性质得：∠BCP=90°，∴∠BCK+∠PCL=90°，∴∠CBK=∠PCL，∴△BCK≌△CPLAAS∴PL=CK=1,CL=BK=2，∴LK=3，PJ=5，∴点P的坐标为−3,5，设直线l′的解析式为y=把点−3,5，−1,4代入得：−3k1+∴直线l′的解析式为y=−设点E的坐标为m,2m+6，则点F的坐标为−4m−5,2m+6，EM=2m+6∴EF=5m+5∵四边形EMNF为正方形，∴EF=EM，∴5m+5=解得：m=−117或∴点E的坐标为−117,23．（1）解：∵在△ABC中，取AB的中点D，AC的中点E，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1（2）解：如图所示，取BC的中点F，连接QF,PF，过点A作AG⊥BC于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD,AD∥BC，∠ABD=∠CBD；∵菱形ABCD的周长为8，∴AB+BC+CD+AD=8，∴AB=BC=CD=AD=2，∵菱形ABCD的面积为23∴BC⋅AG=23∴AG=3∵点E，点F分别是AB,BC的中点，∴BE=1∴BE=BF，又∵BP=BP,∠EBP=∠FBP，∴△EBP≌△FBPSAS∴PE=PF，∴PE+PQ=PF+PQ≥QF，∴当Q、P、F三点共线，且QF⊥AD时，PE+PQ有最小值，最小值为QF的长，∵AD∥BC，且AG⊥BC，∴当QF⊥AD时，满足QF=AG=3∴PE+PQ的最小值为3；（3）解：如图③所示，过点M作MF∥CN，且使得MF=CN，连接AF,NF,CF,CQ，∴四边形FMCN是平行四边形，∴MF=CN；∵AB=BC,∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=AB；∵CN∥MF，∴∠AMF=∠ACB=60°；如图③所示，取MF的中点G，连接AG，∴MG=FG=1∵CN=2AM，即AM=1∴AM=MG，∴△AMG是等边三角形，∴AG=MG=AM=FG，∠AGM=∠MAG=60°，∴∠GFA=∠GAF，∵∠AGM=∠GFA+∠GAF，∴∠GFA=∠GAF=30°，∴∠MAF=∠GAF+∠MAG=90°；∵四边形FMCN是平行四边形，点P为MN的中点，∴点P为CF的中点，∴AP=CP=1∴PA+PQ=PC+PQ≥CQ，∴当C、P、Q三点共线时，PA+PQ有最小值，最小值为CQ的长，∵步道PA+PQ的最小值为300米，∴CQ=300米∵点Q为AB的中点，∴CQ⊥AB，AQ=1∴CQ=A∴AB=2003∴AC=2003如图③所示，延长DO交EA的延长线于点K，过点D作DT⊥DO，且使得DT=DO，连接OE,ET,OT，∵AE∥CD