2025年高一数学秋季开学摸底考01解析版

2025年秋季高一数学开学摸底考试模拟卷01

数学•全解全析

1.已知集合/={x\-l<x<1}B={x|04义42},则{n8=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}C.{x|0<x<l}D.{x|0<x<2}

【答案】C

【分析】由交集的定义可得.

【详解】由题意可得力nF={x|-1<x<1]n(x\0<x<2}={x|0<x<1).

故选：C.

2.已知x>0,则l+x的最小值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】因%>0,则％+1>1,

则」-+%=」-+%+1-1>2叵1=3,等号成立时x=1.

l+x1+xyj1+x

故2+x的最小值是3.

l+x

故选：C

3.若函数/(%)=VmX-2%+1E勺定义域为R,则实数〃?的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+8)C.[0,+8)D.[1,+co)

【答案】D

【分析】当m=0时，不符合题意；当时，根据二次函数的图象列式可得结果.

【详解】当根=0时，f(x)=，-2%+1的定义域为(一8,3,不符合题意；

当mH0时，依题意得-2x+120在R上恒成立，则(丁一八，

解得m'l.

故选：D

4.设a,b,c分别是△/IB。的三条边，旦QWbWc,则△为锐角三角形的充要条件是()

A.a2+b2>c2B.a2+b2>c2C.a2+b2<c2D.a2+b2<c2

【答案】B

【详解】记边a,b,c,所对的角分别为儿B,C.根据题意aWbWc,则CN8N4故证明如下：必要性,

在△ABC中，假设。是锐角，作4D18C,。为垂足，如图1.^AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-

CD)2=AC2-CD2+CB2+CD2-2CB•CD=AC2+CB2-2CB•CD<AC2+CB2,BPc2<a2+b2.充分

性，在△ABC中，因为a2+b2>c2,所以。不是直角.假设C为钝角，如图2,作401BC,交4c的延长线

1/9

于点D.贝IJAB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC•CD=AC2+

BC2+2BC-CD>AC2+BC2,即c2>b2+a2,与夕+川〉。2矛盾.故C为锐角,则4B都为锐角，即△力8。

为锐角三角形.

5.已知关于X的一元二次不等式Q%24-bx-c<0的解集为{x[3<%<5],则不等式c%2+bx-a>0的解

集为（）

A.卜y或%B.卜卜〈_3或%>一a

x<x<

。l\ii]D.[x|-l<x<-1]

【答案】D

【分析】由题意可得a>0且方程a/+b%—c=o的解为3,5,利用韦达定理将b,c用Q表示，冉根据一元二

次不等式的解法即可得解.

【详解】因为关于x的一元二次不等式+bx-c<0的解集为{%|3VxV5},

所以Q>0且方程Q无2+bx-c=Q的解为3,5,

所以一2=8,—*=15,所以b=-8Q,C=-15a,

aa

则不等式c%2+bx-a>0,即为不等式一15Q/-8ax-a>0,

则15必+8%+1V0,解得一；<xV—

所以不等式Cd+bX—Q>0的解集为1|-1<X<-1）.

故选：D.

6.若函数八2%-1）的定义域为则、=隼肆的定义域为（）

vx—1

A.{1}B.（词C.（|,|]D.（1,|]

【答案】D

【分析】根据题意先求得函数/（%）的定义域为[-7,1],然后结合抽象函数定义域与4口求解即可；

【详解】由题意可知一34工41,所以一7W2X—1W1,要使函数,=勺罟有意义，则{-

解得1V”号

故选：D

7.已知命题p:Vx£R,/+x+a。0,若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）

A.a<7B.a<-

44

2/9

C.QV-*或Q>0D.a<—>0

【答案】A

【分析】由其否定为真命题，通过AN0求解即可；

【详解】因为命题p是假命题，

可得：mxWR,X2+%+Q=0为真命题；

可得：A=l—4QN0,

解得；4

故选：A

8.已知函数/(%)的定义域为Rja)-1为奇函数,f(x+2)为偶函数，则f(l)+/(2)+…+/(16)=()

A.0B.16C.22D.32

【答案】B

【分析】由/(乃一1为奇函数得对称中心为(0,1),结合/(无+2)为偶函数，求周期为8,从而求出/(1)+/(2)+

•••+/(8),即可得到f(l)+f(2)+…+f(16)的值.

【详解】因为/1(%)-1为奇函数，则/(0)=1，且函数/(%)的图象关于(0,1)中心对称，即/(%)+/(-x)=2,

因为/(%+2)为偶函数,所以f(%+2)=/(2-%),则/(X+4)=/(-X),

所以/(%)+/(%+4)=2,/(x+4)+/(x+8)=2,所以/•(%)=/(%+8),故"")的周期为8,

因为/⑴+f(5)=2,f(2)+f(6)=27(3)+f(7)=2J(4)+/(8)=2,

所以f(l)+f(2)+…+/(16)=2[f(l)+f(2)+…+/(8)]=16,

故选：B.

【点睛】关键点点睛：

由/(幻-1为奇函数，/(%+2)为偶函数，求对称中心和对称轴.推函数/(%)的周期，关于抽象函数考查对

称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛3,2,1｝

B.。与｛0｝是同一个集合

C.集合｛%|y=x2-1｝与集合｛y|y=x2-1｝是同一个集合

D.集合｛x|%2+5x+6=0｝与集合｛—2,-3｝是同一个集合

【答案】AD

【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD,可计算出各自集合后判断其正误.

【详解】对于A,根据集合元素的无序性可得｛1,2,3｝、｛3,2,1｝表示同一集合，元素有1,2,3,

故A正确.

对于B,｛0｝不是空集，故B错误.

3/9

对于C,{x\y=x2-1]=R,而{y|y=x2-1}=[y\y>-1},

故两个集合不是同一个集合，故C错误.

对于D,{%|%2+5x+6=0}={-2,-3},故D正确.

故选:AD.

10.若X,»满足％2+y2一=1,则（）

A.x4-y<1B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为帅工(手)<GR),由d+y2一孙=1可变形为，(%+y)2一1=3町,43(等),

解得-24x+yW2,当且仅当％=y=-l时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错

误，B正确；

由%2+y2一=1可变形为(工2+y2)-1二孙三二手，解得％2+,232,当且仅当％=y=±1时取等号，

所以C正确；

因为+y2_盯二i变形可得(无一+1y2=1,设无一”cos0,yy=sin<9,所以x=cos6+,sin6,y=

卷sin。，因此%2+y2=cos2。+|sin20+.sinOcos。=14-3sin28—|cos20+1

="|sin侬一步［|,2卜所以当x=*y=誉时满足等式，但是/+y2工1不成立，所以D错误.

故选：BC.

11.下列说法正确的是()

A.若/(%)的定义域为［—2,2］,则/'(2%—1)的定义域为［―

B.函数y=白的值域为(-8,2)U(2,+8)

C.函数y=2%+—%的值域为(一8篇

D.函数f(%)=X2-2X+4在［-2,2］上的值域为［4,12］

【答案】AC

【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判

断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C：利用配方法，结合二次函数的性质判断D.

【详解】对于A,因为/(%)的定义域为［一2,2］,所以一2W2为一142,

解得—即/'(24—1)的定义域为［―g,|］,故A正确：

M工nXXX-l+141

所以yA-l,即函数、=看的值域为(-8,-l)u(-l,+8),故B不正确；

4/9

对于C,令£=的』，则为二1一/,t>0>

所以y=2(1-［2)+£=-2产+亡+2=-2(1-3+装，t>0,

所以当t=*时，该函数取得最大值，最大值为日，

所以函数y=2%+«^的值域为(一8,蔡卜故C正确；

对于D,/-(X)=X2-2X4-4=(X-1)2+3,其图象的对称轴为直线4=1,且/'(1)=3,/(-2)=12,

所以函数f(x)=X2-2X+4在［-2,2］上的值域为［3,12］,故D不正确.

故选：AC.

第n卷(非选择题)

三、填空题

12.不等式x+W2>0的解集为_______.

【答案】{可无>1或％<-2}

【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.

【详解】根据分式不等式解法可知m>0等价于(％-l)(x+2)>0,

由一元二次不等式解法可得%>1或％2；

所以不等式沿>0的解集为{幻%>1或％〈一2).

故答案为：卜|%>1或"〈一2}

13.已知累函数/(%)过点卜,苧)，若/•(。+1)</(3-2力则实数。的取值范围是.

【答案】(M)

【分析】设出幕函数解析式y=犬代入点待定。，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得.

【详解】设幕函数/。)=VI因为函数图象过点(2爷，

则2a=曰=2-1解得a=W

则/(%)=”=/其定义域为(0,+8),且/Q)在(0,+8)单调递减.

所以由/(Q+1)V/(3—2a),

a+1>03

可.得(,3—2a>0,解得32VaV5.

(a+1>3—2a

所以实数a的取值范围是(|().

故答案为：(1,|)-

14.设集合M={123,4,5,6},选择M的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于4中最大的数，则不同的

选择方法共有种.

【答案】129

5.9

【分析】讨论“中最大的数，分别求出力和8的非空子集，从而求得正确答案.

【详解】当4中最大的数为1时,4可以是{2,3,456}的非空子集，

有25—1=31（种）选择方法；

当,4中最大的数为2时，力可以是{2}或{1,2},

B可以是{3,4,5,6}的非空子集，有2X（24-1）=30（种）选择方法；

当力中最大的数为3时,4可以是{3},{1,3},{2,3}或{1,2,3},

8可以是{4,5,6}的非空子集，有4x（23—1）=28（种）选择方法；

当4中最大的数为4时，N可以是⑷,{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},

或{123,4},8可以是{5,6}的非空子集，有8x（2?-1）=24（种）选择方法.

当4中最大的数为5时,A可以是:{5},{1,5},{2,5},{3,5},{4,5},

{1,2,5},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,5},{2,4,5},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},

{123,4,5},8是{6},W16x1=16（种）选择方法.

所以满足条件的集合共有31+30+28+24+16=129（种）不同的选择方法.

故答案为；129

四、解答题

15.已知全集为R,集合<={x|0v2x+aW3},B=[x\-<x<2].

（1）当。=1时,求力U互；

（2）若4nB=4求实数a的取值范围.

【答案】（1）4UB=（-co,1]u[2,4-00）

（2）a€（-1,1].

【分析】（1）当a=l时，求得集合48,进而可求AU瓦

（2）由已知可得力G8,可得一楙之一,且辞<2,求解即可.

【详解】（1）当a=l时，力=（-a1].....................................................3分

B=（-8,一,U[2,+oo）,

所以4U豆=（-8,1]U[2,+8）；..........................................................6分

⑵4=（一成与斗因为4=4=

又因为所以一与之一上且一V2,解得，ae（-l,l]...................................13分

16.（15分）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”

变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，

故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝亳放松.在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司

一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为较万元.一年的

总费用y（万元）包含运费与存储费用.

6.9

(1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围.

(2)要使总费用最小，求x的值.

【答案】(1)团204x445}

(2)30

【分析】(1)由题得购买货物的次数为广，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用H再由yW

260,x>0即可求解工的取值范围.

(2)先由(1)得一年的总费用了，再直接利用基本不等式即可求出y最小时x的值.

【详解】(1)因为公司一年购买某种货物60()吨，每次购买x吨，

所以购买货物的次数为缈，

X

Hr600I43600c/V

XX

化简得好-65x+900<0,x>0,解得20<x<45,

所以x的取值范围为{%[20<x<45}........................................................................................................7分

(2)由(1)可知丫=平+4%%>0,

因为理+4%22/刎•4%=240,当且仅当军”=4%即％=30时等号成立，..................12分

xyxx

所以当％=30时，一年的总费用最小，

故工的值为30...........................................................................................................................................15分

17.(15分)已知关于％的不等式ax?+以一12之0的解集为{x|x<-3或%>4).

⑴求a、b的值;

(2)求关于%的不等式b不+ax4-6>0的解集.

【答案】(l)a=1,6=—1

(2){x|-2<x<3}

【分析】(1)根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可;

(2)代入参数，解一元二次不等式即可.

【详解】(1)关于3的不等式ax?+fox-12>0的解集为<-3或%>4],

・・・a>0,且一3和4是方程a%2+以-12=0的两实数根...................................3分

f-3+4=--

由根与系数的关系知，1解得。=1,6=-1；............................................................7分

-3x4=--

Ia

(2)由(1)知，Q=l,b=-1时，

不等式Zu2+ax+6>0为-X2+X+6>0=>(X+2)(X—3)<0.....................................................10分

-2<x<3,

:.不等式bd+ax+6>0的解集是{刈-2WxW3)..........................................................................15分

18.(17分)已知函数/(X)=若是定义在上的奇函数，且=

7/9

⑴求zn,n的值；

(2)判断f(x)的单调性，并用定义法证明你的结论；

(3)求使/'(Q-1)+/(a2-1)<0成立的实数a的取值范围.

【答案】(l)m=2,n=0；

(2)/。)在上单调递增，证明见解析；

⑶［0,1).

【分析】(1)由奇函数性质利用/(0)=0以及/(1)=1可得结果；

(2)利用函数单调性定义按步骤即可证得/(乃在［-1,1］上单调递增；

(3)由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为［0,1).

【详解】(1)由题意可知/(0)=0,故九=0.................................................2分

又由/(1)=1可得/(1)=券=1,解得m=2；............................................4分

所以/(%)=含

此时/■(%)定义域关于原点对称，E/(-x)=1奈7=一磊=一/(%)，

故/(x)是定义在［-1,1］上的奇函数，满足题意，

所以m=2,n=0.........................................................................5分

(2)f(x)在［一1,1］上单调递增，证明如下:

取任意%1，*2金［-11］，且为1<%2,

milf(2xi_2X_2x1(x/l)-2x2(M+1)_2(3一一2)(1一」入2)公

人J八Y/)一/02)一和一前2――(耳+1)«+1)—-(蜡+1)(显+】；：...........................77分

因为修,工2£1川，且必〈工2，

所以％1—%2<0,%i+1>0,+1>0,%i%2<1，

所以1-xYx2>0,.......................................................................9分

所以/(巧)一/(%2)=27；部芥“<0,即f(/)V/(%2)，

因此/(%)在上单调递增..............................................................10分

(3)由(1)(2)可知，/(%)是在［-1,<上单调递增的奇函数,

所以由/'(a-1)4-/-(a2-l)<0可得f(a-1)<-/(a2-1)=/(I-a2),.....................12分

(-1<a-1<10<a<2

因此需满足一1三次一1&1,解得一&WQW迎，即0WQV1：

a-1<1-a2-2<a<1

故实数a的取值范围为［0,1)...............................................................15分

19.(17分)高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集力,

B,定义力BB={(x,y)\xeA且yeB},将4gB称为Z与B的笛卡尔积”

(1)若4={-L0,l}，B={-1,1},求A⑥8和B®4

(2)试证明：“Ai0A2=A20是“A=的充要条件;

(3)若集合”是有限集，将集合，的元素个数记为阳|.已知=m3(77ie/V"),且存在实数Q满足

8/9

也然竽侬？Q对任意mGN*恒成立.求Q的取值范围，并指明当a取到最值时|%|和|力1满足的关系式及

m应满足的条件.

【答案】(1)答案见详解

(2)证明见详解

(3)答案见详解

【分析】(1)根据408的定义直接运算求解：

(2)根据4㊁8的定义结合充分必要条件分析证明：