北京市某中学2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷（含答案）

北京市陈经纶中学2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷

一、选择题（每题2分，共16分,下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.）

1.卜.列长度的三条线段,能组成三角形的是（

A.2,2,5B.3,4,7C.3,6,8D.3,5,9

2.下列运算正确的是（）

A.4.砂=B.a6-r-a3=a3

C.（Q3）2=Q5D.(-2a2)2=-4a4

4.如图，已知乙4co=130。，48=20。，则乙4的度数是（）

A.110°B.30°C.150°D.90°

5.下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是()

A.(%+2)0+2)B.(-x+y)(x-y)

C.(x-y)(x+y)D.(-x-y)(x+y)

6.下列各式添括号，正确的是()

A.a+b—c=Q+(b+c)B.—3x4-6y—3=-3(x+2y+1)

C.a—b+2m=a—(—b+2m)D.10-2x+y2=(10-2x)+y2

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点48分别在x轴，y轴上，/-BAC=90°,AB=AC,若。4=2,

OB=4,则点。的坐标为（）

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A.(6,-2)B.(-6,-2)C.(4,-2)D.(-4,-2)

8.如图，正方形ABC。是由四个全等的直角三角形和小正方形E7GH拼成，连接AC,EC,若想求出图中阴影

部分的面积，只需知道（）

A.48的长B.4E的长C."的长D.CE的长

二、填空题（每题3分，共24分）

9.在CABC中，々4=48°,乙8=30。，则乙。=.

10.若等腰三角形的两边长分别是4和9,则周长为.

11.计算：（一28吐产）+（7/y）=.

12.如图，△4BC三△ADE,48=30。，ZC=105°,则4EAO=.

13.已知2爪+”=32,贝lj7-2m-2n=.

14.如图，为某年某月的日历（数字隐去）其中4,B,C,。代表当日的数字，设4代表的数字为m,则小

D-AC=.（用含m的代数式表示）

15.如图，已知4。是△ABC中BC边上的中线，点£、尸分别在BC、04的延长线上，CE=BC,AF=AD,如

果A/BC的面积是8,那么aOEF的面积等于

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A

BDE

16.我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（Q+b）n（九为

非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.

（1）0+2）5的展开式中X的一次项系数是；

（2）（Q+6）2025的展开的多项式中各项系数之和为

(Q+b)°=1.............................1

(Q+b)1a+b......................11

(a+b)2=/+2必+/...................121

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.............133I

(a+b*a4+4a3b+6a2b2+4ab\b4........14641

三、解答题(共60分)

17.计算：m7-ms+(-m3)4-(-2m4)3

18.先化简，再求值：[(3x+1)(3%-1)一(2%+3/+(x+2)(%+5)]+其中％=-1.

19.如图，在AAC尸和ABOE中，，点A,B,C,。在同一直线上，乙CAF=^DBE,AB=CD,乙E=cF.求

证：CF||DE.

20.已知：如图Rt△4BC中，^ACB=90°.

求作：点P,使得点P在力C上，且点P到48的距离等于尸C.

作法：①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA、8c于点D、E；

②分别以点D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在乙4BC内部交于点F；

③作射线BF交力C于点P.

则点P即为所求.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

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（2）完成下面证明.

证明：连接。F、FE

在aBD尸和△BEF中

(DB=EB

DF=EF

[BF=BF

：.△BDF=△BEF(①)(填推理的依据)

，Z.ABF=乙CBF

vZ.4CB=90°,点P在AC上

PC1BC

作PQ1于点Q

•.•点P在上

APC=(②)(③)(填推理的依据).

21.如图，△48C中，AO是BC上的高，4E平分4C,48=65°,乙C=45。，求々04E的度数.

22.如图，在和RtaOEC中，乙B=（DEC=90。,延长DE交4B于点F,已知=DE,AC=

DC,若AF=3,DE=7,求E尸的长度.

23.观察下列一组等式：

(a+l)(a2-a+1)=Q3+1；

(Q-2)(a2+2Q+4)=Q3-8；

(Q+3)(Q2-3Q+9)=Q3+27；

(a-4)(a2+4a+16)=a3-64.

(1)利用你的发现填空.

①(x—3)(/+4-9)=；

②(2x+l)()=8X3+1；

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③（）（x2+4xy+16y2）=%3—64y3；

（2）利用你发现的规律计算：（a十D）（Q—Z?）（Q2十帅十产乂层—口。十沙2）

（3）利用你发现的规律解决问题.若a+8=3,ab=-10,则〃+/的值为.

24.如图，在△4BC中，AC=BC,4/lCB=90。，点。在BC的延长线上，M是B0的中点，£是线段C4上一动

点，且C£=CO,连接40,作。尸140交£M延长线于点F.猜想线段4。与。尸的数量关系，并证明你的结

论.

25.数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题.

（1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式.

图1：__________:图2：（a—b）2—a2—2ab4-b2;图3：

图1图2图3

这几个数学公式都可以从"数''和"形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问

题.例如：如图4,已知a+b=3,ab=1,求小+房的值.

图4

方法一：从“数''的角度解：

•••Q+匕=3,

(a+b)2=9,即：a2+2ab+b2=9,

又ab=

•••a2+b2=7.

方法二：从“形”的角度解：

•••Q+b=3,

A5大正方形=9,

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又♦：ab=1,

：•S?=S3—ab=1,

,,,S〔+S4=S大正方形一S2-S3=9—1—1=7.即次+庐=7.

类比迁移：

(2)若Q+b=5,ab-6,则Q2+b2=.

(3)若Q,匕为非负数，a—b=3,ab=则Q+b=.

(4)若(5-x)(x-1)=3,则(5-x)2+(x-l)2=.

(5)如图5,点C是线段AB上的一点，以AC,8C为边向两边作正方形，设48=10,两个正方形的面积

和SI+S2=72,求图中阴影部分面积.

26.“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活

运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段(角)的数量关系问题.

某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行「深入学习：

已知在四边形ABC。中，AB=AD,E,尸分别是直线BC,CO上的点.

(1)如图，若力AD1CD,E,尸分别在线段BC,CD上，且满足/E4F=2乙BAD,试探究线段

EF,BE,DF之间的数量关系.

GA

数学小组探究此问题的方法是：延长C8到点G,使BG=O£连接4G,先证△A8G与△4。尸的全等，再证

△AE尸与AAEG的全等，可得到E凡BE,OF之间的数量关系.经过以上分析，直接写出线段E凡BE,FD

之间的数量关系为.

(2)如图，若乙4BC+乙WC=180。，点E,点尸分别在线段C8,OC的延长线上，且满足乙44F=

上84D,试探究线段EF,BE,09之间的数量关系.

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A

D

E

数学小组的同学们先猜想线段EF,BE,。尸之间的数量关系，然后借助第(1)问中研究何题的思路和方

法进行探讨，发现有以下两种证明方法：

方法1：延长BE至点G,使得BG=DF,先证△4BG与△/WF的全等，再证△4EF与△AEG的全

等，可得到线段EF,BE,OF的之间的数量关系.

方法2：在。尸上截取0G=8E,先证△AOG与△A8E的全等，再证△4E尸与△AG尸的全等，可得到

EF,BE,OF之间的数量关系.

请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明.

(3)如图，若乙4BC+乙ADC=180。不变，点E在C8的延长线上，点尸在CO的延长线上，若EF=BE+

DF,请直接写出NZMF与々B40的数量关系.

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、・・・2+2=4V5,

・•・不能组成三角形；

B、,.，3+4=7=7,

・•・不能组成三角形；

C、•••3+6=9>8

・•・能组成三角形；

D、v3+5=8<9,

・•・不能组成三角形.

故选：C.

【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.

2.【答案】B

【解析】【分析】解：选项A:a2.a5=a2+5=a7,故错误;

选项B:+03=06-3=。3,故正确；

选项C：(cz3)2=a6,故错误；

选项D：(—2a2)2=4a",故错误;

故选：B.

【解答】根据同底数事的乘法，除法，幕的乘方，积的乘方逐项进行判断即可求出答案.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：与全等的图案是

故选：C.

【分析】根据全等图形的定义即可求力答案.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：:乙1。。=130°,乙B=20°,

.\z/l=130o-20o=110o.

故选A.

【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：选项A：a+2)(x+2)=a+2)2,不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计

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算；

选项B：(―x+y)(x—y)——(x—y)(x—y)=—(x—y)2,不符合平方差公式形式,不能用平方差公式计

算；

选项C(x-y)(x+y),符合平方差公式形式，可用平方差公式计算；

选项D：(-x-y)(x+y)=-(x+y)(x+y)=-(x+y)2,不符合平方差公式形式,不能用平方差公式计

算.

故选：C.

【分析】根据平方差公式逐项进行判断即可求出答案.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：选项A：

・・,右边Q+(b+c)=a+b+cWa+b—c,

**•A错误.

选项B：

,**右边-3(%+2y+1)=-3x—6y—3H—3x+6y—3,

・•・B错误.

选项C：

:右边Q一(—b+2m)=a+b-2ma-b2m,

・•・C错误.

选项D：

右边(10-2%)+y2=10-2x+y2,

・•・D正确.

故选：D.

【分析】根据添括号法则逐项进行判断即可求出答案.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，过点C作CHJLx轴，

则4CH4=^AOB=90°,

*：LBAC=90°,

/.zl+z2=zl+z3=90°,

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Az.2=Z3»

*：AD=AC.

三△BOA(AAS),

：.OA=CH=2,OB=AH=4,

・・・0H=40+4H=2+4=6,

•・•。(―6,—2),

故选：B.

【分析】过点C作轴，则乙CM==90。，根据角之间的关系可得乙2=43,再限据全等三角形

判定定理可得三△BOA(AAS),则。4=CH=2,OB=AH=4,再根据边之间的关系可得OH,再根

据点的坐标即可求出答案.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：:△ABE^ABCF,

，AE=BF,

•・•四边形EFGH是正方形，且△ABE是直角三角形，

：.Z.AEB=Z-AEF=90°,AE||CG,

・•・图中阴影部分的面积=SMBE+S^ACE=鼻E•BE+鼻E-EF=鼻E•(BE+EF)=^AE2

・•・若想求出图中阴影部分的面积，只需知道4E的长.

故答案为：B.

【分析】利用全等三角形的对应边相等得AE二BF,正方形的性质得NAEB=NAEF=90。，AE/7CG,由平行

线间的距离处处相等得出4ACE中，AE边上的高等于EF的长，然后根据三角形面积公式，将阴影部分面

积转化为义4尸，从而确定所需条件.

9.【答案】102。

【解析】【解答】解：；4力=48°,LB=30°,

ZC=180°-Z.A-Z.B=180°-48°-30°=102°.

故答案为：102°.

【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案.

10.【答案】22

【解析】【解答】解：若等腰三角形的两边长分别为4和9,分两种情况：

①当4为底时，其它两边都为9,而4+9>9,可以构成三角形，周长为4+9+9=2217；

②当9为底时，其它两边都为4,4+4=8V9,所以不能构成三角形，故舍去.

所以等腰三角形的两边长分别为4和9,其周长为22.

故答案为：22

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【分析】根据等腰三角形性质，结合三角形的三边关系即可求出答案.

ILt答案】一4y

【解析】【解答］解:原式=(-28+7)・(—+%4).(y2+y)

=—4y

故答案为：—4y.

【分析】根据单项式除以单项式即可求出答案.

12.【答案】450

【解析】【解答】解：VZF=30°,Z.C=105°,

J./-BAC=180°一乙B—乙C=45°,

•.'△ABC=LADE,

：,Z.EAD=BAC=45°,

故答案为：45。.

【分析】根据三角形内角和定理可得/BAC,再根据全等三角形性质即可求出答案.

13.【答案】一3

【解析】【解答】V2m+n=32,且32=2s,

A2m+n=25>

4-n=5,

?.7-2m-2n=7-2(m+n)=7-2x5=7-10=-3.

故答案为：一3.

【分析】根据有理数的乘方的意义，求出m+n=5,化简代数式，再整体代入即可求出答案.

14.【答案】7m+48

【解析】【解答】解：:设4代表的数字为m,

・・・C代表的数字为m+7,B代表的数字为m+6,D代表的数字为m+8,

=(m+6)(m+8)-m(m+7)

=m2+14m+48-m2-7m

=7m+48.

故答案为：7m+48.

【分析】设4代表的数字为m,由题意可得C代表的数字为m+7,B代表的数字为m+6,D代表的数字为

血+8,再代入代数式，结合多项式乘多项式，单项式乘多项式化简，再合并同类项即可求出答案.

15.【答案】24

【解析】【解答］解:连接BF,CF,

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F

••SABCF=16，

VCE=BC,

:•sABCF=S&EFC=16，

=

•DEF=SRACD+SAACF+S&EFC24，

故答案为:24.

【分析】连接BF,C凡根据三角形中线性质及三角形面积即可.求出答案.

16.【答案】80；22025

【解析】【解答】解:(1)根据题中规律可得3+6)5=05+5。4匕+10心户+1002户+5立4+户,

令Q=x,b=2,

则(x+2)5=x5+5x4x2+10x3-22+10x2-23+5x-24+25,

・・・。+2)5的展开式中工的一次项系数是5x24=80,

故答案为：80.

(2)V(a+b)0=1,系数之和是20=1;

(a+b)i=Q+b，系数之和是21=2；

(。+与2=4+2力+匕2,系数之和是22；

(a+b)n,展开各项系数之和是2。

・・・(。+6)2025展开各项的系数之和为22025.

故答案为：22025.

【分析】(1)根据前4个的展开式，总结规律，即可求出答案.

(2)根据(1)中规律即可求出答案.

17.【答案】解：m7-m5+(―m3)4-(—2m1)3

=m12+m12-(—8m12)

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=m12+m12+87nl2

二1O77112.

【解析】【分析】根据同底数事的乘法，积的乘方，事的乘方化简，再合并同类项即可求出答案.

18.【答案】解：[(3X+1)(3X-1)-(2X+3)2+Q+2)(X+5)]+X

=[9x2-1-(4x2+12x+9)+为2+5%+2x+10]+x

=(9x2-1-4x2-12x-9+x2+5x4-2x+10)-rx

=(6x2-5%)+x

=6x-5,

当％=-1时，原式=6x(-1)-5=-11.

【解析】【分析】根据平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式化简括号内，再根据多项式除以单项式

化简，再将x值代入即可求出答案.

19.【答案】证明：•.•48=CD,

AB+BC=CD+BC,

AC=BD,

在/和ABOE中

(zF=z.F

\z.CAF=^DBE,

(AC=BD

ACF=^BDE(AASy

•••乙ACF=乙BDE,

CF||DE.

【解析】【分析】根据边之间的关系可得4：=80,再根据确定三角形判定定理可得△46平BDE(44S),

则/4CF=乙BDE,再根据直线平行判定定理即可求出答案.

20.【答案】(1)解：如图所示：

(2)证明：连接DAFE

在^BE/7中

(DB=EB

\DF=EF

[BF=BF

/.△BDF=△BEF(①三边对应相等的两个三角形全等)(填推理的依据)

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乙ABF=乙CBF

V乙ACB=90°,点P在AC上

PC1BC

作PQ14B于点Q

•••点P在BF上

APC=（②丝）（③角平分线上的点到角两边的距离相等）（填推理的依据）.

故答案为：SSS（或三边对应相等的两个三角形全等），PQ,角平分线上的点到角两边的距离相等.

【解析】【分析】（1）按照题目中的已知作法作图即可；

（2）先根据全等三角形的判定SSS得出△BDFWABE凡根据全等三角形的性质（对应边相等）得出

△ABF=/BF,再根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）即可得出答案.

（1）解：如图所示：

（2）证明：连接0尸、FE

SA8。尸和^BEF中

（DB=EB

\DF=EF

=BF

BDFBEF（①三边对应相等的两个三角形全等）（填推理的依据）

•••乙ABF=Z.CBF

•••^ACB=90°,点P在AC上

.・.PC1BC

作PQ14B于点Q

•・•点P在BF上

PC=（②丝）（③角平分线Q的点到角两边的距离相等）（填推理的依据）.

故答案为：SSS（或三边对应相等的两个三角形全等），PQ,角平分线上的点到角两边的距离相等.

21.【答案】解：在△4BC中，4B/K+NB+4c=180。，=65。，zC=45°,

：.^BAC=1800--zC=180°-65°-45°=70°,

TAE平分/84C,

：-Z-BAE=^BAC=1x70°=35。，

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在△4B0中，48=65。，AD1BD,

：.^ADB=90°,乙BAD=90°一乙B=90°-65°=25°,

：,Z-DAE=匕BAE-/-BAD=35°-25°=10°.

【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得/BAC,再根据角平分线定义可得4484C=35。，根据

直角三角形两锐角互余可得NBAD,再根据角之间的关系即可求出答案.

22.【答案】解：•••AB=DE,DE=7,

二AB=7,

-BF=AB-AF,AF=3,

BF=4,

在RtZkABC和RtaOEC中

(AC=DC

=DE'

：.RtAABC毛Rt&DEC(HL),

ABC=EC,

在RtaBFC和中

(CF=CF

(BC=EC

Rt△BFC三RtAEFC(HL),

BF=EF,

BF=4,

•••EF=4.

【解析】【分析】根据边之间的关系可得BF,再根据全等三角形判定定理可得心△ABC三R%DEC(HL),

则8c=EC,根据全等三角形判定定理可得R£△BFC=RtEFC(HL),则BF=EF,即可求出答案.

23.【答案】(1)@x3-27；②4/一2%+1；③x-4y

(2)解：(Q+8)(Q—/j)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)

=[(a+b)(a2-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]

=(a3+b3)(a3-b3)

=a6-b6.

(3)117

【解析】【解答】(1)解：①(％-3)(x24-3x+9)=x3—33=x3-27；

@(2x+l)(4x2-2%+1)=(2x)3+13=8X3+1；

(3)(%-4y)(x2+4xy+16y2)=x3-(4y)3=%3—64y3.

2

故答案为：①炉一27；(2)4X-2X+1;③x—4y；

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(3)解：*.*a+b=3,ab=-10,

则加十匕3

=(a+d)(a2-ab+b2>)

=(a+b)[(a+bp-3nb]

=3X[32-3X(-10)]

=3x39

=117

故答案为：117

【分析】（1）根据前4个等式的变换，总结规律，即可求出答案.

（2）根据（1）中规律化简，结合平方差公式即可求出答案.

（3）根据（1）中规律化简，再整体代入即可求出答案.

(1)解：①。-3)(7+3%+9)=x3-33=%3-27；

@(2x+1)(4/-2x+1)=(2x)3+俨=8无3+i；

③(％-4y)(/+4xy+16*)=x3-(4y)3=x3-64y3.

故答案为：@x3-27；②4/一2工+1：③x-4y；

(2)解：(a+b)(a-b)(a2+ab+b2>)(a2-ab+b2)

=[(a+WM-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]

=(a3+b3)(a3-b3)

=a6-b6.

(3)解：*.*a+b=3»ab=-10,

则加+庐

=(a+b)(a2-ab+b2>)

=(a+d)[(a+bp—3ab]

=3X[32-3X(-10)]

=3x39

=117.

24.【答案】解：AD=DF,证明如下

证明：连接EB,

DB

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VZ-ACB=90°,点C在8D上,

^ACD=<LACB=90°,

在△ADC和△BEC中

AC=BC

Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

•••△/OC三△8EC(S4S),

•••Z-DAC=乙EBC,AD=BE,

vDF1AD,

^ADF=90°,

•••Z.ADF=Z.ADB+乙BDF,

•••乙/lOC+48DF=90。,

在△{1)*,Z-ACD=90°,

乙ADC+乙DAC=90°,

•••Z.DAC=乙BDF,

:.乙EBC=乙BDF,

•.•点M为BD的中点，

:.BM=DM,

在aBME和中

NEBM=乙MDF

BM=DM,

{Z.BME=Z.DMF

BME三△DM"(ASA),

BE=DF,

:.AD=DF.

【解析】【分析】连接EB,根据全等三角形判定定理可得△40C三△BEC(S4S),则4/MC=z£BC,AD=

BE,再根据角之间的关系可得。几根据线段中点可得BM=O例，再根据全等三角形判定定理及

性质即可求出答案.

25.【答案】(1)(a+b)2=a2+2ab+d2，(a+h)(a—b)=a2-d2;

(2)13；

(3)\^13；

(4)10；

解:(5)设4c=a,BC=b,

22

则a+b=4C+BC=4B=10,a+d=+S2=72,

第17页

222

(Q+b)=a+2ab4-b,

100=72+2ab,

解得：ab=14,

・•・阴影部分的面积为,M=7.

【解析】【解答]解：(1)图1是边长为Q+b的正方形，因此面积为(Q+b)2,

组成图1四个部分的面积和为次+2岫+匕2,

22

因此(Q+b)=a+2ab+b2,

图2阴影部分是边长为Q-b的正方形，因此面积为(a-b)2,

图2阴影部分也可以看作大正方形减去空白部分的面积，即小一2ab+启，

因此有(a—b)2=a2—2ab+b2»

图3左图阴影部分是长为a+b,宽为Q-b的长方形，因此面积为(a+b)(a-b),

图3右图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即Q2一户，

因此有(a+b)(a—b)=a2—b2,

故答案为：(a4-b)2=a2+2ab+b1,(a+b)(a—b)=a2—b2;

(2)a-i-b=5,ab=6,

(a+b)2=a?+2ab4-b2=25,

:.a?+12+力2=25,

Q2+庐=13,

故答案为：13；

(3)：Q—匕=3,ab=It

222

则(Q+b)=(a—b)+4ab=3+4x1=13,

Q+b=y/13.

(4)V(5-x)(x-l)=3,(5-x)+(x-l)=4,

则(5—%尸+(%—1尸

=[(5-x)+(x-l)l2-2(5-x)(x-l)

=42-2x3

=10

【分析】(1)结合正方形面积计算即可求出答案.

(2)根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案.

(3)根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案.

(4)根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案.

(5)设==由题意可得。+6=10,小+/=72,将完全平方式展开，再整体代入，解方程即

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可求出答案.

2G.【答案】（1）EF=BE+DF

（2）如图2,DF=EF+BE,

理由如下：

在。尸上截取DG=8E,连接4G,

图2

•••乙ABC+4。=180°,Z-ABC+匕ABE=180°,

乙ABE=Z.D,

在△ADG和△ABE中

DG=BE

Z.ABE=4。，

AD=AB

:AADG三△48E(SAS),

:.Z.DAG=z.EAB,AE=AG»

Z.EAG=乙BAD,

•：^FAE=^BAD,

1

:.^FAE=^EAG,

•••Z-EAF=Z.GAF

在和4GA厂中，

(AFAF

l^EAF乙GAF